生活中的概率问.docx

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1、生活中的概率问生活中的概率统计 古典概型的定义 如果随机试验满足两个条件：有限性：样本空间所包含的基本事件仅有n个；等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.称这样的数学模型称为古典概型. 在古典概型中，设随机事件A含有m个样本点，那么事件A发生的概率定义为 m P(A)=. n古典概型的基本模型摸球模型 一无放回地摸球模型 设袋中有4只白球和2只黑球，现从中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率。 解：设A=摸得2只都是白球 2A4432=。 解法一：分析：把球看成是彼此可以分辨的。则P(A)=2=A66552C42解法二：分析：若把球看成是不可分辨的。则P(A)=2=。 C65解法

2、三：分析：用事件的“分解”及概率的运算法。 设Bi=第i次摸到白球(i=1,2)，则 P(A)=P(B1B2)=P(B1)P(B2B1)=432=。(乘法公式) 655二有放回地摸球模型 袋中有4个红球，6个黑球。从中有放回地摸球3次，求前两次摸到黑球、第三次摸到红球的概率。 解法一：用古典概率方法求解。 664 P(A)=0.144 。 310解法二：令Ai=第i次摸到黑球。 P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=独立性664=0.144。 101010摸球模型的应用： 抽奖问题1 某班级只有一张晚会入场券，而有10位同学都要参加，教师采用抽签的方式来确定这张入场券给

3、谁。这跟抽签的顺序有关吗？ 分析：设给10个同样大小的球编号，抽到1号球得晚会入场券。 设Ai：第i个人抽到1号球。 则P(A1)=1， 10P(A2)=P(A1)P(A2A1)+P(A1)P(A2A1)=0+911= 10910P(Ai)=P(A1A2LAi-1Ai)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)LP(AiA1LAi-1) 9810-i+111L= 10910-i+210-i+110由上式可知：当一个人抽签时，若他前面的人抽的结果都不公开时，那么每个人抽到的概率都相等。 抽奖问题2若某班级有a+b个人，其中有a个人可以抽到晚会入场券，那么他们抽到入场券的概率与抽的次序有关吗？对

4、抽奖人有何约定？ =分析： 设Ai：第i个人抽到入场券。 P(A1)=a， a+bP(A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2A1)+P(A1)P(A2A1) =P(A3)=？ aa-1baa +=a+ba+b-1a+ba+b-1a+b电话号码问题 在七位数的电话号码中，求数字0恰好出现了三次的概率。 分析：把0看作红球，19都看作黑球，本例相当于袋中有1只红球，9只黑球采用有放回摸取方式，从中摸球7次，求其中恰有3次摸到红球，但第一次不能摸到红球的概率。 39C61393 P(A)=。 107骰子问题 掷3颗均匀骰子，求点数之和为4的概率。 分析：同时掷3颗骰子和先后掷1颗

5、骰子3次效果是一样的。掷一次骰子出现3点，可看成从装有编号为16的6个球的袋子中，有放回地取一次球，取出的是3号球。所以本问题的概率等于从装有编号16的6个球的袋子中，有放回地取球3次，求3个球的编号之和为4的概率。 C32121 P(A)= 36 投球问题 把4个球放到3个杯子中去，求第1、2个杯子中各有2个球的概率，其中假设每个杯子可放任意多个球。 解：先求4个球放入3个杯子的基本事件总数。因为每个球都可以放入3个杯子中的任意一个，有3种不同的放法。又因为一个杯子中放入的球数无限制，所以4个球放入3个杯子的基本事件总数为34。第1、2个杯子中各有2个球所包含的基本事件数为从4个球中任取22

6、2C2。 个球放入第1个杯子，再将剩余的2个球放入第2个杯子，即共有C422C4C22。 P(A)=2734分房问题 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住，求下列事件的概率： 指定的n个房间各有一个人住； 恰好有n个房间，其中各住一个人。 分析：因为每一个人有N个房间可供选择所以n个人住的方式共有Nn，它们是等可能的。 指定的n个房间各有一个人住，其可能总数为n个人的全排列n!，于是 n!p1=n。 N恰好有n个房间，其中各住一个人：这n个房间可以在N个房间中任意选取，其总数n有CN，对选定的n个房间，按题的讨论，所以 n p2=CNn!。 nN生日问题 某班有50个学

7、生，求至少有两人在同一天生日的概率。 分析：把学生看成“球”，一年365天看成是杯子。此问题可转化为把50个球放入365个杯子中去，求至少有一个杯子中至少有两个球的概率。用对立事件求之。P(A)=1-P(A) 50C365 P(A)=1-0.97 50365问：其中0.97如何解释？ 思考题：某班有20个学生都是同一年出生的，求有10个学生生日是x月x日、另外10个学生生日是x月x日的概率。 分析：把学生看作“球”，一年365天看成365个“杯子”，此问题即归属于将20个球放入365个杯子中去的概率模型，原问题转化为求第1和第365只杯子中各有10个球的概率。 1010C20C10 P(A)=

8、。 20365生日问题 求500人中至少有1人的生日是x月x日的概率。 解：设A=500人中至少有1人的生日是x月x日。 Bi=500人中恰有i个人生日在x月x日，Bi互不相容(i=1,2,L,500) i500-i500-i(C5001)(C500)-i364解法一：P(A)=P(UBi)=P(Bi)=。 500365i=1i=1i=1500500500其中把P(Bi)年成500个球放到365个杯子中去，x月x日这个杯子恰有i个球的概率。 解法二：用逆事件处理。 364500 P(A)=1-P(B0)=1-。 365500解法三：用事件的独立性。设Ci=第i个人生日在x月x日(i=1,2,L

9、,500)。显著Ci相互独立，故 P(A)=1-P(B0)=1-P(ICi)=1-P(Ci) i=1i=1500500500364364364364 =1-。 L=1-500365365365365解法四：用贝努利概型。把对每个人的生日是否在x月x日进行观察看成是一次试验，此进相当于进行了500次独立试验，每次试验结果只有2个：“是”或“不是”，且每个试验结1果为“是” 的概率都是。令x表示500重贝努利试验中“是”发生的次数，则 3651015000 P(A)=P(x1)=1-P(x=0)=1-C500(1-) 365365364500 =1-。 365知识点： 贝努利概型 如果试验E只有两

10、个可能的结果：A与A，并且P(A)=p (0p0，则对任ii=1 可见，概率正是生命的指引。概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为”。 赌注押在哪？ 17世纪末，法国的Chevalies De Mere注意到在赌博中一对骰子抛25次，把赌注押到“至少出现一次双六”比把赌注押到“完全不出现双六”有利。但他本人找不出原因，后来请当时著名的法国数学家Pascal才解决了这一问题。这问题应如何解决呢？ 解：题中一对骰子抛25次，是指2颗同样的骰子同时抛掷，共抛25次。“至少出现一次双六”是指抛25次中至少出现一次数对(6,6)，“完全不出现双六” 是指抛25

11、次出现的数对完全没有(6,6)，它是B的对立事件B。因此，题中把赌注押到“至少出现一次双六”比押到“完全不出现双六”有利的意思，即为P(B)P(B)。因为P(B)+P(B)=1，故只要证明P(B)1。 2 一对骰子抛1次有36种情况，其中只有1种是(6,6)。因此一对骰子抛1次出现双6的概率为1。 36设Ai=第i次抛掷时出现对(6,6)(i=1,2,L6)，则有 135，P(Ai)= 3636一对骰子抛1次，可视为1次随机试验，一对骰子抛25次可视为25重独立贝努利试验。 P(Ai)= B=UAi i=125 P(B)=P(UAi)=1-P(A1A2LA25)=1-P(A1)P(A2)LP(

12、A25) i=12535251)=0.5045。 362注：进一步讨论投掷次数对结论的影响也是很有趣的，值得考虑一下的是为什么正好掷25次呢？掷的次数少了或多了会怎样呢？这只要在上面的不等式中把25换成n，看会出现什么结果，要决定n，使 =1-( P(B)=P(UAi)i=1n1 2即 P(B)=P(UAi)=1-P(A1A2LAn)=1-P(A1)P(A2)LP(An) i=12535n1) 362解之得 n24.67 =1-(故要使P(B)P(B)，抛掷25次是起码的要求，少于25次不行。当然抛掷的次数超过25次越多，对事件“至少出现一次双六”的发生越有利，且 35 lim1-n=1 n3

13、6奖金如何分配才算公平 问题 在一次乒乓球比赛中设立奖金1000元。比赛规定：谁先胜3盘，谁获得全部奖金。设甲、乙二人的球技相当，现已打了3盘，甲2胜1负，由于某特殊原因必须中止比赛。问这1000元应如何分配才算公平？ 分析：方案一：平均分，这对甲欠公平。方案二：全部归甲，这对乙不公平。方案三：按已21胜盘数的比例对甲、乙进行分配。方案三看似合理，双方可以接受的方法，即甲拿，乙拿。33仔细分析，发现这也并不合理。理由如下：设想继续比赛，要使甲、乙有一个胜3盘，只要再比2盘即可，结果无非是以下四种情况之一：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙 其中“甲乙”表示第4盘甲胜、第5盘乙胜，其余类推。把乙比赛过的3盘

14、与上述四种结果结合，即甲乙打完5盘，可以看出前3个结果都是甲先胜3盘，因而甲可得1000元，只有最后一个结果才由乙得1000元。在球技相当的条件下，上述四个结果应有等可能性。因此，方案四是因为甲乙最终获胜可能性的大小这比为3：1，所以全部奖金应按制胜率的比例分，即甲分750元，乙分250元，才算公平合理。 用全概率公式计算：若再比一盘，甲乙胜的概率各为1。若甲胜，由甲得全部奖金；若乙胜，2则甲乙各胜2盘，奖金平分。所以有 11甲得奖金=1000+500=750。 22 这个问题实际上是利用了加权平均数的方法，即求均值的思想方法，在决策分析中经常用到。 数学期望： 若离散型随机变量x可能取值为a

15、i (i=1,2,L) ，其分布列为pi (i=1,2,L)，则当 ai=1ipi+ 时，称x存在数学期望，并且数学期望为Ex=aipi。 i=1如果aipi=+，则称x的数学期望不存在。 i=1数学期望应用举例 承包工程问题 某工程队承包一项工程。若三天完成可获利10000元，四天完成可获利2500元，五天完成要罚款7000元。由以往经验知：获利金额x的分布列为 x 10000 2500 -7000 问承包这种工程平均可获利多少元？ 分析：假设承包这种工程N项，其中有a1项获利10000元，有a215 p 88项获利2500元，有a3项获利-7000元。则a1+a2+a3=N。 2 1000

16、0a12500a2-7000a38则 承包这N项工程平均每项获利= +NNNaa1a+25002+(-7000)3 NNN =100001+25005+(-7000)2=1062.5 888 =10000其中我们注意到: 商店进货问题： ai是对应随机变量取相应值的概率。 N已知顾客对商店中某种食品每天的需求量x的分布如下： x0.05 0.10 0.10 0.25 0.20 0.15 0.05 0.05 0.05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 每出售一袋食品商店可获利4元，但若当天卖不完，每袋食品将损失3元，商店希望利润达到极大，那么每天对这种食品应进货多少袋？ 由于对该食品的需求量是

17、随机的，因此事先无法确定利润，也无法使某天的利润达到极大，但由于商店天天营业，可以通过控制进货使该食品的平均利润达到极大。 解:这种食品平均每天的需求量 =00.05+10.1+20.1+30.25+40.2+50.15+60.05+70.05+80.05 =3.65 (袋) 开门次数问题： 某人的一串钥匙有n把,其中只有一把能打开自己家的门.当他随意地试用这串钥匙时,求打开门时乙试用过的钥匙数的数学期望.假定 他把每次用过的钥匙分开；他每次用过的再混杂在这串钥匙中。 解：先求分布列,再求数学期望. (1) P(x=k)=n-1n-2Ln-k+1nn-111= k=1,2,n n-k+2n-k

18、+1n Ex=k1=1+n k=1nn2 (2) 前k-1次都没有打开,第k次才打开.所以 n-1 P(x=k)=nk-11 k=12L nn-1 Ex=knk=1k-111n-1 = knnk=1nnk-1令n-1=tn=1ktk-1(0t360)=P(h )s1657因为考试成绩高于360分的频率是于是 P(0x360)=P(0h查正态分布表知， 360-166360-166s)1-31=0.981 1657s2.08，即s93。 所以 xN(166,932)。 因为最低录取分数线x0有确定应使高于此线的考生的频率等于 P(xx0)=P(hx0-166300 )931657x0-16630

19、0)1-=0.819 931657300，即 1657所以P(0xx0)=P(0h查正态分布表，得x0-1660.91，求得x0=251。 93即最低录取分数线是251。 下面预测考生A的考试名次。他的考分x=256，查正态分布表知， 256-166P(x256)=P(h)=1-F(0.968)1-0.834=0.166 93这说明，考试成绩高于256分的频率是0.166，也就是说成绩高于考生A的人数大约占总人数的16.6%。所以，考试名次排在A之前的人大约有 165716.6%=282 即考生A大约排在第283名。 从以上分析得出：最低录取分数线251分低于考生A的分数，所以，考生A能被录取

20、。但因其考试名次大约是283名，排在280名之后，所以，被录取为正式工的可能性不大。 正态分布： 设r.vx的概率密度函数为p(x)=其中m、s为参数，s0。 则称r.vx服从参数为m,s2的正态分布，记为r.vxN(m,s2)。 正态分布密度函数p(x)的性质： 在直角坐标系内，p(x)的图形呈钟形； 在x=m处取得最大值p(m)=12ps12ps-l(x-m)22s2 x ； 关于直线x=m对称, m为x的平均值； 在x=m+s处有拐点； 当x时，曲线以x轴为渐近线； 当s固定，改变m的值，则图形沿着X轴平行移动，而不改变其形态，故m称为形状参数；而当m固定，当s的值变大时，最大值p(m)

21、变小，曲线变得平缓；当s的值变小时，最大值p(m)变大，曲线变得陡峭，故称s为形状参数。 当m=0，s=1时，xN(0,1)，称为标准正态分布。标准正态分布的密度函数记为j(x)，分布函数记为F(x)。 F(x)+F(-x)= 1；F(0)=1/2。 若r.vxN(m,s2)，则标准化r.v 可以利用标准正态分布表进行计算： x-mN(0,1)。由此，要计算正态随机变量的概率，sx2-mx1-mP(x1x0.999 9。 解得l10-5。 即飞机的故障率要小于10-5。也就是说，飞机的寿命应为10万小时。 作为一台整机，需要将整机的可靠性指标分配给各个零部件。要整机寿命t，必须每个部件的寿命都

22、超过t。即 P(Tt)=P(T1t)P(T2t)LP(Tnt) R(t)=P(Tt)=e-lt=e-l1te-l2tLe-lnt=e-(l1+l2+L+ln)t 于是我们有 l=l1+l2+L+ln。 这样，我们就能把整机的故障率要求分解为每个零部件的故障率要求。 例 某规格型号的电视机使用的电子元件的数量和故障率要求见下表。求此种电视机的故障率和平均使用寿命。 因为mi是第i个部件的个数，所以mili是第i个部件引起的故障率。总故障率是各部件故障率的总和。所以有 l=mili=8.1310-4 i=1nlXX年的黑白电视机大体上就是这样的可靠性水平，每1万小时约有8次故障。当然，经过努力，我

23、国目前的电视机故障率已经大大下降了。达到万分之一或更低。 可靠性研究是一门丰富多彩的学科。除了描述系统可靠性的数量指标需要仔细确定之外，如何提高可靠性的努力则更为重要。故障树分析法将系统画成逻辑框图，显示各种 平均寿命为q=11230。 故障之间的关联，找出发生故障的最基本原因，然后逐一加以解决。例如研究锅炉爆炸事件T。造成爆炸的第一层原因A，B，C他们彼此间的关系是只要一种原因便可引起爆炸，这样的逻辑关系是“或”，可用加号“”表示，如果A的发生是由A1,A2,A3三种原因同时发生才能发生，那么这三者和A原因的关系是“与”，用乘号“”来表示。这样一步一步分拆下去，就会形成一个倒立的树形图。最下

24、面一层的是基本原因，整个可靠性工作即从此开始。 这种起源于20世纪XX年代的技术，已广泛用于宇宙航行、核电站运行等领域。它直观，便于操作。但是编制这样的图形相当复杂。一个系统可能发生的故障可能性成千上万，彼此关系错综复杂。许多情形下，人力往往无法完成，得由计算机程序帮助执行。 找到原因之后，最直接的工作是“替换修理”。零部件到时一律更换，以保证可靠性。至于如何换法，就是技术层面的东西了。 指数分布： 设r.vx的概率密度函数为 ll-lx x0 p(x)= 0 其它其中为大于0的常数。 则称r.vx服从参数为的指数分布，记为r.vxE(l)。 几点注记： 指数分布的实际背景： 前面我们用泊松分

25、布P(l)来描述在单位时间内来到电话局的电话呼唤次数、公共汽车站乘客人数、母鸡下蛋的个数、排队等待服务的人数等等。其中参数为单位时间内来到的次数的平均值。如果要考虑0，t时间内的情况，那么这个平均值与时间长度成正比，应该是lt。即在0，t时间内来到的次数应服从P(x=k)=l(k=0,1,2,L)。在排队论中称k!它们是泊松流。对Poisson流主要研究“等待时间”的统计规律。为此以下推导这一规律。 设在一服务系统中，在任意的t0,t0+t，的时间间隔内来到的顾客个数服从参数为lt的泊松分布： (lt)k-ltP(x=k)=l(k=0,1,2,L) k!那么相邻两个顾客来到的间隔时间h服从指数分布。 证：不妨设前一个顾客来到的时刻为0，则h0 t0时，F(t)=P(ht=xt=0 P(ht)=P(xt=0)=e-lt ，即P(ht)=1-e-lt。 现要求P(ht) ht= Uht-n n=11由集函数的下连续性，得： 11P(h 0 t01-e-lth的分布函数F(x)=P(hs