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1、用导数求切线方程的四种类型www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！ 用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0，y0)及斜率，其求法为：设P(x0，y0)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y0=f(x0)(x-x0)若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)的切线平行于y轴时，由切线定义知，切线方程为x=x0 下面例析四种常见的类型及解法 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可 ，-1)处的切线方程为 例1 曲线y=x3
2、-3x2+1在点(1y=3x-4 y=-3x+2 y=4x-5 y=-4x+3 2，-1)处斜率k=f(1)=-3，故所求的切线方程为解：由f(x)=3x-6x则在点(1y-(-1)=-3(x-1)，即y=-3x+2，因而选 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决 例2 与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是 2x-y+3=0 2x-y+1=0 2x-y-3=0 2x-y-1=0 解：设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y|x=x0=2x0=2 x0=1 ，故切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0，故选 由此得到切
3、点(11)评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用D法加以解决，即设切线方程为y=2x+b，代入y=x2，得x2-2x-b=0，又因为D=0，得b=-1，故选 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法 ，-1)的切线方程 例3 求过曲线y=x3-2x上的点(1解：设想P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|x=x0=3x02-2 切线方程为y-y0=(3x02-2)(x-x0) 学数学 用专页 第 1 页 共 3 页 教数学 用华软 www.MathsC y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0) 彰显数学魅力
4、！演绎华软传奇！ ，-1)，把它代入上述方程，得-1-(x03-2x0)=(3x02-2)(1-x0) 又知切线过点(1解得x0=1，或x0=-1 2113故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)，或y-+1=-2x+，即284x-y-2=0，或5x+4y-1=0 ，-1)为切点，实际上是经过了点(1，-1)且以评注：可以发现直线5x+4y-1=0并不以(117-，为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用28待定切点法 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解 10)且与曲线y=相切的直线方程 例4 求过点
5、(2，x1解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|x=x0=-2 x0切线方程为y-y0=-111(x-x)y-=-(x-x0) ，即0x02x0x0211=-2(2-x0) x0x00)，把它代入上述方程，得-又已知切线过点(2，y0=解得x0=11=1，即x+y-2=0 x00)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充评注：点(2，分反映出待定切点法的高效性 16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程 例5 已知函数y=x3-3x，过点A(0，16)不在曲线上 解：曲线方程为y=x3-3x，点A(0，设切点为M(x0，y0)， 则点M的坐标满足y0=x03-3x0 因f(x0)=3(x02-1)， 故切线的方程为y-y0=3(x02-1)(x-x0) 16)在切线上，则有16-(x03-3x0)=3(x02-1)(0-x0) 点A(0，化简得x03=-8，解得x0=-2 学数学 用专页 第 2 页 共 3 页 教数学 用华软 www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！ -2)，切线方程为9x-y+16=0 所以，切点为M(-2，评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点 学数学 用专页 第 3 页 共 3 页 教数学 用华软
