电大微积分初步专科期末复习题.docx

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1、电大微积分初步专科期末复习题微积分初步 一、填空题 函数f(x)=1ln(x-2)的定义域是 答案：(2,3)(3,+) =x2函数y-2x-3x+1的间断点是= 答案：x=-1 曲线f(x)=x+1在(0,1)点的斜率是 答案：12若f(x)dx=cos2x+c，则f(x) 答案：-4cos2x 微分方程xy+(y)3=0的阶数是 2 6.函数f(x+1)=x2+2x，f(x)= 答案：x2-1 7函数f(x)=xsin2+k,x0在x=0处连续，则k=x 2,x=02 8.曲线f(x)=x+1在(0,1)点的斜率是 答案：12 9.1-1(3x3-5x+2)dx= 答案：4 10.微分方程

2、xy+(y)3-siny=0的阶数是 答案：2 11.函数f(x)=14-x2的定义域是 答案：(-2,2) 12.若limsin4xx0kx=2，则k= 答案：2 13.已知f(x)=lnx，则f(x)= 答案：-1x2 14.若sinxdx= 答案：-cosx+c 15.微分方程xy+(y)4sinx=ex+y的阶数是 3 16.函数f(x)=1ln(x+2)+4-x的定义域是(-2,-1)(-1，4】 17.若limsin4xx0kx=2，则k= 2 18.曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程是_y=x+1_ 19.dedx1ln(x2+1)dx= 0 20.微分方程y=y,y(0)=

3、1的特解为 y=e的x次方 21.函数f(x)=1+4-x2ln(x+2)的定义域是 (-2,-1)(-1,2 22.若函数f(x)=x2+2,x0k,x=0,在x=0处连续，则k= 2 23.曲线y=x在点(1,1)处的斜率是 12 24.2xdx= 2xln2+c 25.微分方程y=2x满足初始条件y(0)=1的特解为 y=x2+1 f(x)=126函数ln(x-2)的定义域是 答案：(2,3)(3,+) f(x)=127函数5-x的定义域是 答案：(-,5) f(x)=1+4-x228函数ln(x+2)的定义域是 答案：(-2,-1)U(-1,2 29函数f(x-1)=x2-2x+7，则

4、f(x)= 答案：x2+6 f(x)=x2+2x0x30函数ex0，则f(0)= 答案：2 31.函数f(x-1)=x2-2x，则f(x)= 答案： x2-1 32函数y=x2-2x-3x+1的间断点是 答案： x=-1 33limxxsin1x= 答案： 1 sin4x34若limx0sinkx=2，则k= 答案： 2 limsin3x35若x0kx=2，则k= / 7 3答案： 2 10若f(x)dx=F(x)+c，则2xf(1-x)dx= 1-F(1-x2)+c1答案：2 (1,2)f(x)=x+1236曲线在点的斜率是 12x(sinxcos2x-x)dx=_. 37曲线f(x)=e在

5、(0,1)点的切线方程是y=x+1 54 -1x-138曲线y=2在点(1,1)处的切线方程是y=-12x+32 12x39(2x)=2ln2x 40若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则y(0) = 6 41已知f(x)=x3+3x，则f(3)=27(1+ln3) 42已知f(x)=lnx，则f(x)=-1x2 43若f(x)=xe-x，则f(0)=2 44函数f(x)=ax2+1在区间(0,+)内单调增加，则a应满足 大于零 45若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x)= 。 2答案：x 46若f(x)的一个原函数为x-e-2x，则f(x)= 。 答案：-4e-2x 47若f

6、(x)dx=xex+c，则f(x)= 答案：ex+xex48若f(x)dx=sin2x+c，则f(x) 答案：2cosx 49若f(x)dx=xlnx+c，则f(x)= 1答案：x 50若f(x)dx=cos2x+c，则f(x)= 答案：-4cos2x -x251dedx= 答案：e-x2dx 52(sinx)dx= 答案：sinx+c 53若f(x)dx=F(x)+c，则f(2x-3)dx= 1答案：2F(2x-3)+c 2答案：-3 p2(x5-4x+cosx)dx=_55-p.2 答案：2 56已知曲线y=f(x)在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程是 。 答案

7、：y-2x=-3 157若-1(5x3-3x+2)dx= 答案：4 58由定积分的几何意义知，a0a2-x2dx= 。pa2答案：4，它是1/4半径为a的圆的面积。 de59dx1ln(x2+1)dx= 答案：0 060-e2xdx1= 答案：2 61微分方程y=y,y(0)=1的特解为 . 答案：1 62微分方程y+3y=0的通解为 .答案：e-3x63微分方程(y)3+4xy(4)=y7sinx的阶数为 答案：2 64函数f(x)=1ln(x-2)的定义域是_x2且x3 。 65函数y=13-xln(x-1)的定义域是_(1,3) _。 66设f(x)ex-1x0，则f(0)1-x2x0)

8、，则f(x)dx=. 23.微分方程(y)3+4xy=y5ysinx的阶数为 e-x+ex24设函数y=2，则该函数是 25设函数y=x2sinx，则该函数是 2x+2-x26函数f(x)=x2的图形是关于对称 27下列函数中为奇函数是 28函数y=1x+4+ln(x+5)的定义域为 f(x)=129函数ln(x-1)的定义域是 30设f(x+1)=x2-1，则f(x)= 31下列各函数对中，中的两个函数相等 32当x0时，下列变量中为无穷小量的是. 答案：C f(x)=x2+1,x033当k=时，函数k,x=0，在x=0处连续. f(x)=ex+2,x034当k=时，函数k,x=0在x=0处

9、连续. 35函数f(x)=x-3x2-3x+2的间断点是 36函数y=(x+1)2在区间(-2,2)是 37满足方程f(x)=0的点一定是函数y=f(x)的. / 7 -xf(x)=ecosx，则f(0)= 38若39设y=f(x)是可微函数，则df(cos2x)= 2x4y=e+1在x=2处切线的斜率是40曲线 csx，41若f(x)=xo则f(x)= 342若f(x)=sinx+a，其中a是常数，则f(x)= 43下列结论中60下列微分方程中， 62下列微分方程中为可分离变量方程的是dy=xy+ydx 63.函数y1+4-x2的定义域是。 x+2处可微.）不正确 limf(x)=A1x+1

10、，则f(f(x)=。 x1+x165函数f(x)=(ex+e-x)的图形关于对称 64设f(x)=44若函数f (x)在点x0处可导，则(xx0，但Af(x0)是错误的 45.下列结论正确的有 d46下列等式成立的是 247若f(x)dx=xe2x+c，则f(x)=. 48若f(x)=x+x(x0)，则f(x)dx=. 49以下计算正确的是 50xf(x)dx= 2x51da-dx= -11xx52如果等式f(x)edx=-e-+C，则f(x)=53在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点的曲线为 154若0(2x+k)dx= 2，则k = 55下列定积分中积分值为0的是x-x a56设f(x)

11、是连续的奇函数，则定积分-af(x)dx=pp2-sinxdx=572 +x58下列无穷积分收敛的是 +2x59下列无穷积分收敛的是 266、当x0时，变量是无穷小量 sinx67函数f(x)=-x,x0 在x = 0处连续，则k = k,x=0(-1) 68曲线y=x3-x在点(1,0)处的切线方程是。 69若f(x)=e-xcosx，则f(0)=。 70函数y=x2+2x-3在区间(2,4)内满足 71函数yx22x5在区间 (0，1) 上是。 72下列式子中正确的是。 73以下计算正确的是 74若f(x)=cosx，则f(x)dx= 75xd(e-x)=。 76下列定积分中积分值为0的是

12、 77微分方程y=-y的通解是。 三、计算题 计算极限limx2-3x+2x1x2-1 解 limx2-3x+2(x-1)(x-2)x-21x1x2-1=limx1(x+1)(x-1)=limx1x+1=-2 3 设y=x2+lncosx，求y. 11 解 y=312x2+cosx(-sinx)=32x2-tanx / 7 x3计算不定积分e5+exdx 解 ex(5+ex)5+exdx=d5+exdx=25+ex+c p4计算定积分20xsinxdx 解 pppp2=-xcosx+20xsinxdx020cosxdx=sinx02=1 5计算极限limx2-6x+81x2-x-2 x 解 l

13、imx2-6x+8(x-2)(x-4)(x-4)x1x-x-2limx2(x-2)(x+1)=lxim2(x+1)=-22=3 6 设y=cos5x+ln3x，求y. 解 y=(cos5x)+(ln3x)=-sin5x(5x)+3ln2x(lnx)=-5sin5x+3ln2xx7计算不定积分sinxxdx 解 sinxxdx=2sinxdx=-2cosx+c p8计算定积分20xcosxdx 解 p20xcosxdxppp=xsinx2pp02-0sinxdx=2+cosx02=2-1 9.计算极限limx2-3x+2x2x2-4 解 limx2-3x+2(x-1)(x-2)x-11x2x2-

14、4=limx2(x-2)(x+2)=lxim2x+2=4 10.设y=sin5x+cos3x，求y. 解 y=5co5sx+3co2sx(-sinx)=5cos5x-3sinxco2sx 211.计算不定积分(1+x)xdx 解 (1+x)2xdx= 2(1+x)2d(1+x)=2(1+x)33+C 12.计算定积分px02sinxdx 解 px02sinxdx=-1pp2xcosx+1pcosxdx=p+1sinx=p02022 02 12.计算极限limx2-6x+8x2x2-3x+2 解：原式=lim(x-4)(x-2)x-4x2(x-2)(x-1)=limx2x-1=-2 13.设y=

15、lnx+cos3x，求dy. 解：y=1x+3cos2x(-sinx) dy=(1x-3sinxcos2x)dx 14.计算不定积分(2x-1)10dx 解：(2x-1)10dx= 12(2x-1)10d(2x-1)=11122(2x-1)+c 215.计算定积分e1lnxdx 解：e2xdx=xlnxe2e21ln1-x1dx=2e2-e2+1=e2x+1 16.计算极限limx2-1x1x2-5x+4 解：原式=lim(x+1)(x-1)x1(x-4)(x-1)=limx+1x1x-4=-23 17.设y=e-2x+cosx，求dy. 解：y=-2e-2x-sinx dy=-(2e-2x+

16、sinx)dx 18.计算不定积分xcosxdx 解：xcosxdx= xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+c19.计算定积分e311x1+lnxdx 解：e311x1+lnxdxe313=11+lnxd(1+lnx)=21+lnxe1=2 / 7 x2-3x+220.计算极限limx2x2-4 x2lim-3x+2=lim(x-1)(x-2)x-11解 x2x2-4x2(x+2)(x-2)=lxi2mx+2=4 21计算极限limx2+5x-6x1x2-1 2limx+5x-6(x+6)(解 x1x2-1=limx-1)x1(x+1)(x-1)=limx+6x1x+1=72 x2

17、22lim-9x3x2-2x-3 解 2limx-9x3x2-2x-3=lim(x+3)(x-3)x3(x+1)(x-3)=lxi3mx+3x+1=64=32 23计算极限limx2-6x+8x4x2-5x+4 x2lim-6x+8(x-4)(x-2)x-解 x4x2-5x+4=limx4(x-4)(x-1)=lxi4m2x-1=23 x2-6x+824计算极限limx2x2-5x+6 x2lim-6x+8(x-解 x2x2-5x+6=lim4)(x-2)x2(x-3)(x-2)=limx-4x2x-3=225计算极限lim1-x-1x0x 解 lim1-x-1(1-x-1)(1-x+1)x0

18、x=limx0x(1-x+1)=lim-x-x0x(1-x+1)=lim1x01-x+1=-12 limsin4x 26计算极限x0x+4-2 limsin4x解 x0x+4-2=limsin4x(x+4+2)x0(x+4-2)(x+4+2) =limsin4x(x+4+2)x0x=limx04sin4x4x(x+4+2)=414=1627.设y=3x+22x+3，求y y=3(2x+3)-2(3x+2)5解 (2x+3)2=(2x+3)228设y=cosx+2x，求y. y=-sinx(x)+2xln2=-sinx解 2x+2xln2129设y=ex+sin2x，求dy. 解1dy=(ex(

19、11x)+cos2x(2x)dx=(-ex1x2+2cos2x)dx30设y=xx+lncosx，求dy. 11解y=32x2-tanx3，dy=(2x2-tanx)dxy=sin(x2+1)+1-x31设x，求y. 解 31y=cos(x2+1)(x2+1)-1-22x-12x-2=2xcos(x2+1)-1232设y=y(x)是由方程x2+y2+2xy=1确定的隐函数，求dy. 解 dy=-dx 33设y=y(x)是由方程ex+xey+x2=4确定的隐函数，求dy. 解 dy=-ex+ey+2xxeydx 34设cos(x+y)+ey=1，求dy dy=sin(x+y)ey-sin(x+y

20、)dx解 3510xexdx 解 利用分部积分法 uvdx=uv-uvdx 设u=x，v=ex，则u=1，v=ex1xexdx=x11xx10xe0-0edx=e-e0=e-(e-1)=1p 2360xsinxdx 解 利用分部积分法 uvdx=uv-uvdx 设u=x，v=sinx，则u=1，v=-cosx pppp2 xsinxdx=-xcosx202+0cosxdx=0+sinx020=1 四、应用题 1用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ / 7 解：设水箱的底边长为x，高为h，表面

21、积为S，且有说明x=6是函数的极小值点，所以当x=6，1622108, 所以S(x)=x+4xh=x+h=3时用料最省。 x3616 S(x)=2x-2 x5欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土令S(x)=0，得x=2， h=4 x2且y=2+24320， 3xx=6因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x=2,h=1时水箱的表面积最小. 此时的费用为 S(2)10+40=160. 2欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x，高为h，容器的表面积为y，由已知x2h=62.5，h=62.5x2 y=x2+4xh=x2+4

22、x62.52250x2=x+x y=2x-250x2 令y=0，解得x=5是唯一驻点，易知x=5是函数的极小值点，此时有h=62.552=2.5，所以当x=5，h=2.5时用料最省 3. 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设土地一边长为x，另一边长为216x，共用材料为y 于是 y=3x+2216x=3x+432x y=3-432x2 令y=0得唯一驻点x=12 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省. 4. 欲做一个底为正方形，容

23、积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h=108,h=108x2 y=x2+4xh=x2+4x108432x2=x2+x 令y=2x-432x2=0，解得x=6是唯一驻点， 地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 216解 设土地一边长为x，另一边长为x，共用材料为y 于是 y=3x+2216x=3x+432x y=3-432x2=0 令y得唯一驻点x=12 五、证明题 1、函数f(x)=x-ex在（-,0)是单调增加的 证 只需证明当x0 因为f(x)=x-(ex)=1-ex 当x0时，ex0 所以，当x0时，f(x)=x-ex是单调增加的。 aa1、证明等式-af(x)dx=0f(-x)+f(x)dx。 f(-x)+f(x)f(-x)-f(x)证明：显然2是偶函数，2是奇函数， f(x)=f(-x)+f(x)f(-x)-f(x)2-2 aaf(-af(x)dx=-x)+f(x)f(-x)-f(x)-a2-2dx =af(-x)+f(x)af-a2dx-(-x)-f(x)-a2dx =a0f(-x)+f(x)dx=a0f(-x)+f(x)dx / 7