电大经济数学基础形成性考核册答案.docx

《电大经济数学基础形成性考核册答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电大经济数学基础形成性考核册答案.docx（81页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、电大经济数学基础形成性考核册答案电大经济数学基础形成性考核册及参考答案 填空题 1.limx-sinxxx0=_.答案：0 x2+1,2.设f(x)=k,3.曲线y=x0x=0，在x=0处连续，则k=_.答案：1 x在(1,1)的切线方程是 .答案：y=212x+124.设函数f(x+1)=x+2x+5，则f(x)=_2)=_.答案：-_.答案：2x 25.设f(x)=xsinx，则f(单项选择题 1. 函数y=x-1x+x-22的连续区间是 A(-,1)(1,+) B(-,-2)(-2,+) C(-,-2)(-2,1)(1,+) D(-,-2)(-2,+)或(-,1)(1,+) 2. 下列极

2、限计算正确的是 A.limxxx0=1 B.lim+x0xx=1 C.limxsinx01x=1 D.limsinxxx=1 3. 设y=lg2x，则dy= A12xdx B1xln10dx Cln10xdx D1xdx 4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的 A函数f (x)在点x0处有定义 Blimf(x)=A，但Af(x0) xx0 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 5.当x0时，下列变量是无穷小量的是. A2 B(三)解答题 1计算极限 limxsinxx Cln(1+x) Dcosx x-3x+2x-122x1=-12 1 原式=li

3、m(x-1)(x-2)x1(x-1)(x+1)=limx-2 x1x+1=-122 limx-5x+6x2x2-6x+8=12原式=lim(x-2)(x-3)x2(x-2)(x-4)=limx-3x2x-41 =2lim1-x-1x=-12x0原式=lim(1-x-1)(1-x+1) x0x(1-x+1)=lim-1x01-x+12limx-3x+5x3x2+2x+4=131-35原式=x+x2+3=1 343x+x2limsin3x3sin5=x0x5sin3x原式=33x5limsin5x =3x05 5x2limx-4sin(x-24 x2)= 2 =-12原式=limx+2sin(x+

4、2)x+2x2lim(x+2)=x2limsin(x-2)x-2 = 4 x21xsin+b,x2设函数f(x)=a,sinxxx0问：当a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在？ 当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续. 解：(1)limf(x)=b,x0-limf(x)=1 x0+当 a=b=1时，当有limf(x)=f(0)=1 x0(2). a=b=1时，有limf(x)=f(0)=1 x0 函数f(x)在x=0处连续. 3计算下列函数的导数或微分： y=x2+2+logxx2x-2，求y 1xln22答案：y=2x+2ln2+y=ax+bcx+d，求y 答案：y=a(cx+d)

5、-c(ax+b)(cx+d)，求y 2=ad-bc(cx+d)2y=13x-5答案：y=-32x(3x-5)-32y=x-xe，求y 答案：y=12x-(e+xe)=xx12x-e-xe xxy=eaxsinbx，求dy 3 y=(e)(sinbx+e(sinbx)答案： axax=aeaxaxsinbx+beaxcosbx =e(sinbx+bcosbx) dy1=e(asinbx+bcosbx)dx x，求dy axy=ex+x答案：y=-1x32-x212e+x321x2x 1 dy=(x-ex)dx y=cosx-e，求dy -x2x(x)-e(-x) 2答案：y=-sin =-sin

6、2xx+2xe-x2 dy=(-nsin2xx+2xe-x2)dx y=sinx+sinnx，求y n-1答案：y=nsiny=ln(x+xcosx+ncosnx 1+x)，求y 2答案：y=x+11+x2(x+21+x) =x+211+x2(1+x1+x2) =1x+1+x+1x21+x+x1+x2 =11+x2y=2cot1x1+3x2-x2x，求y 121y=2答案：cosln2(cos2cos1x1x)+(x1x-+x6-1+2)16x5=-1x2ln2sin-2x34.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或dy (1) 方程两边对x求导： 4 2x+2yy-y-xy+3=0 -x)y=

7、y-2x-3 y-2x-32y-x (2y 所以 dy=dx (2) 方程两边对x求导： cos(x+y)(1+y)+e cos(x+y)+xexyxy(y+xy)=4 xyy=4-cos(x+y)-yexy 所以 y=4-cos(x+y)-yecos(x+y)+xexy5求下列函数的二阶导数： y=ln(1+x)，求y 2答案： (1) y=2x1+x22y=2(1+x)-2x2x(1+x)-12122=322-2x222(1+x) (2) y=(x34-x2)=-143212x-12x-12y=x-52+14x- y(1)= 34+=1 作业 填空题 1.若2. f(x)dx=2+2x+c

8、，则f(x)=_x_.答案：2ln2+2 x(sinx)dx=_.答案：sinx+c 23. 若f(x)dx=F(x)+c，则xf(1-x)dx= .答案：-12F(1-x)+c 24.设函数dxde1ln(1+x)dx=_0x2_.答案：0 5. 若P(x)=11+t2dt，则P(x)=_.答案：-11+x2单项选择题 5 1. 下列函数中，是xsinx2的原函数 A12cosx2 B2cosx2 C-2cosx2 D-12cosx2 2. 下列等式成立的是 Asinxdx=d(cosx) Blnxdx=d(1x) C2dx=x1ln2d(2) Dx1xdx=dx 3. 下列不定积分中，常用

9、分部积分法计算的是 Acos(2x+1)dx， Bx1-xdx Cxsin2xdx D16-12x1+x2dx 4. 下列定积分计算正确的是 A1-12xdx=2 B23dx=15 pCp-p(x+x)dx=0 Dsinxdx=0 -p5. 下列无穷积分中收敛的是 A+11xdx B+11x2dx C+0xedx D+1sinxdx (三)解答题 1.计算下列不定积分 3xxx3x33exdx原式=dx =+c=x+c 3eee(ln3-1)lne(1+x)x12dx答案：原式=(x-123+2x+x2)dx =2x2+433x2+255x2+c 12x-4x+212dx答案：原式=(x-2)

10、dx=x-2x+c 1221-2xdx答案：原式=-12d(1-2x)1-2x2=-ln1-2x+c 3x2+xdx答案：原式=2122+xd(2+x) =213(2+x)2+c 2sinxxsinxdx答案：原式=2sindx xdx=-2cosx+c x2 6 答案：(+) x sinx2 (-) 1 -2cosx2x2x2 (+) 0 -4sin原式=-2xcosx2+4sin+c ln(x+1)dx 答案： (+) ln(x+1) 1 1x+1 (-) - x 原式=xln(x+1)-x+1dx (1-1x+1)dx x =xln(x+1)- =xln(x+1)-x+ln(x+1)+c

11、 2.计算下列定积分 2-11-xdx 12答案：原式=-1(1-x)dx+1(x-1)dx=2+(12x-x)1=2+2252=92121exx2dx 1答案：原式=2exx21(-x)d21x1121=-ex=e-e2 e131x1+lnxe3dx 答案：原式=xx1+lnx1d(1+lnx)=21+lnxe31=2 7 p2xcos2xdx 0答案： (+)x cos2x (-)1 1 2sin2x (+)0 -14cos2x p 原式=(12xsin2x+14cos2x)20 =-1114-4=-2exlnxdx 1答案： (+) lnx x 1x2 (-) x2e 原式=122xln

12、xe1-12 1xdx =e212e122-4x1=4(e+1) 4x-x0(1+e)dx 答案：原式=4+4-x0xedx 又 (+)x e-x (-)1 -e-x (+)0 e-x4-x-x0xedx=(-xe-e-x)40 =-5e-4+1 故：原式=5-5e-4 作业三 8 填空题 11.设矩阵A=320-21436-52，则A的元素a23=_-1T_.答案：3 2.设A,B均为3阶矩阵，且A=B=-3，则-2AB3. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A-B)答案：AB=BA 2=_. 答案：-72 22=A-2AB+B成立的充分必要条件是 .4. 设A,B均为n阶矩阵，(I-B)可逆，

13、则矩阵A+BX=X的解X=_.答案：(I-B)-1A 1.答案：A=0000 1-315. 设矩阵A=00单项选择题 02000，则A-1=_-301201. 以下结论或等式正确的是 A若A,B均为零矩阵，则有A=B B若AB=AC，且AO，则B=C C对角矩阵是对称矩阵 D若AO,BO，则ABO 2. 设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵ACB A24 B42 C35 T有意义，则CT为矩阵 D53 3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A(A+B)-1=A-1+B-1， B(AB)-1=A-1B-1CAB=BA DAB=BA 4. 下列矩阵可逆的是 1 A00 C2201

14、03-13 B13111 D02002-11 31 225. 矩阵A=3423423的秩是 4A0 B1 C2 D3 三、解答题 9 1计算 -21011-25310=35 021100-300=000 3-12540-1=0 2123-1242452计算-122143-610 1-3223-13-27123-12424571972解 -122143-610=7120-61-3223-13-270-4-735152 =1110 -3-2-1423-11233设矩阵A=111，B=112，求AB。 0-11011解 因为AB=AB 23-1232A=111=112=(-1)2+3(-1)220-

15、110-1012=2 123123B=112=0-1-1=0 011011所以AB=AB=20=0 1244设矩阵A=2l1，确定l的值，使r(A)最小。 110124+(-2)12412解：A=2l1+(-1)0l-4-70-11100-1-40l-410 4510-274-4 -71+(l-4) 00 所以当l=2-10 -49-4l494时，秩r(A)最小为2。 255求矩阵A=1425答案：解：A=1410001000-727927-79004-15-5-154-500-5-8-7-1-5-8-7-12-6-2-62-200354135412422242213的秩。 031135(，)

16、2034-7927274-5-15-15-7-8-5-12-2-6-6453124220+(-5)+(-2)3+(-4) 130130013001 000(-3)1+(-3) 33所以秩r(A)=2。 6求下列矩阵的逆矩阵： 1A=-31-30121 -1-30121-110001001+3+(-1)00101+3+(-4)000100011231答案解：AMI=-31-3-94010-27-31370-113-1-01013100 100 11(-)9001-31427-9-311-3-101-900019193139491+700+3010001912131349197010311 134

17、37 9所以A-11=2313437。 9-13A =-42-6-21-3-1 1-6-21415-7-481-3-1114-2-120100010-11101001+70-41211-10101-2148-70014-1112-2-1201000103-7101070 1-13答案解：AMI=-421+(-2)00+412-101071+280-130-81+4+(-8)15020715 -130-1 21+00+(-1)所以A-1-1=203-710-1。 2 7设矩阵A=13-121,B=522，求解矩阵方程XA=B 3答案：X=BA1QAMI=32510012 -10+(-3)110-

18、532 -12-11-30(-1)11021130 -11+(-2)0A-1-5=3-1 X=BA四、证明题 1=22-53321=-1-10 11试证：若B1,B2都与A可交换，则B1+B2，B1B2也与A可交换。 证明： AB1=B1A，AB2=B2A 12 A(B1+B2)=AB1+AB2=B1A+B2A=(B1+B2)A A(B1B2)=AB1B2=B1AB2=B1B2A=(B1B2)A 即 B1+B2，B1B2也与A可交换。 2试证：对于任意方阵A，A+A，AA,AA是对称矩阵。 证明： (A+A) (AA)TTTTTTT=ATT+(A)TTT=ATTT+A=A+A =(A)(A)=

19、(A)(A)TTTTT=AA =AA T(AA)TTT A+A，AA,AA是对称矩阵。 3设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB=BA。 证明：充分性 ATT=A，BTT=B，(AB)=BATTT=AB AB=(AB)必要性 AT=BA =A，BTT=B，AB=BA T (AB)=(BA)=ABTT=AB 即AB为对称矩阵。 4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B证明： AT-1T-1=B，证明BAB是对称矩阵。 =A，B-1-1T=B (B 即 B 作业 AB)T=BA(BTT-1)T=B-1A(B)T-1=B-1A(B-1)-1=B-1AB -1AB是对称矩阵。

20、填空题 1.函数f(x)=x+1x2在区间_内是单调减少的.答案：(-1,0)(0,1) ，极值点是 ，它是极 值点. 2. 函数y=3(x-1)的驻点是_答案：x=1,x=1，小 -p23.设某商品的需求函数为q(p)=10e ，则需求弹性Ep= .答案：-2p 13 14.行列式D=-11111=_.答案：4 -1-111-1013t+162，则t_015. 设线性方程组AX=b，且A00答案：-1 单项选择题 时，方程组有唯一解.1. 下列函数在指定区间(-,+)上单调增加的是 Asinx Be x Cx 2 2. 已知需求函数q(p)=1002A42-4p-0.4p D3 x ，当p=

21、10时，需求弹性为 -4pln2 B4ln2 C-4ln2 D-42ln2 3. 下列积分计算正确的是 A1e-e2x-x-1dx=0 B1e+e2x-x-1dx=0 C1-123xsinxdx=0 D(x+x)dx=0 -114. 设线性方程组AmnX=b有无穷多解的充分必要条件是 Ar(A)=r(A)m Br(A)n Cmn Dr(A)=r(A)n x1+x2=a1x2+x3=a25. 设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是 x+2x+x=a2331Aa1+a2+a3=0 Ba1-a2+a3=0 Ca1+a2-a3=0 D-a1+a2+a3=0 三、解答题 1求解下列可分离变量的微分方

22、程： (1) y=ex+y答案：原方程变形为： 分离变量得：e 两边积分得：-ydydx=exx+ydy=edx -yed(-y)=-yxexdx 原方程的通解为：-e=e+C dydx=xe3yx214 答案：分离变量得：3ydy=xedx 两边积分得：3ydy=2x2xexdx 原方程的通解为：y3=xexx-e+C 2. 求解下列一阶线性微分方程： y-2x+12y=(x+1) 3答案：原方程的通解为： y=e =e-x+1dx(e-x+1dx-22(x+1)dx+C)=e33x+1d(x+1)22(e-x+1d(x+1)-22(x+1)dx+C) 33lnx(+1)2(elnx(+1)

23、(x+1)dx+C)=(x+1)(x+1)2(x+1)dx+C) =(x+1)(x+1)dx+C)=(x+1)(y-212x+x+C) 2yx=2xsin2x 答案：原方程的通解为： -1dx-1dxx-x y=e(e2xsin2xdx+C)=e(e2xsin2xdx+C) 3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y=e2x-y,y(0)=0 答案：原方程变形为：ydydx=e2x-y分离变量得：edy=e两边积分得：edy=2xdx 2xye12dx +C 12原方程的通解为：ey=e2x将x=0，y=0代入上式得：C=则原方程的特解为：e(2)xy+y-exy=12e2x+12=0,y(

24、1)=0 答案：原方程变形为：y+原方程的通解为： -1xy=exxy=e1xxdx1(exdxe1xxdx+C)=elnx-1(elnxexxdx+C)=1x(edx+C) x =(e+C) x 15 将x=1，y=0代入上式得：C=-e 则原方程的特解为：y=1xx(e-e) 4.求解下列线性方程组的一般解： x1+2x3-x4=0-x1+x2-3x3+2x4=0 2x1-x2+5x3-3x4=0答案：原方程的系数矩阵变形过程为： 102-1+102-110A=-11-32+(-2)01-11+012-15-30-11-100由于秩(A)=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为： x1

25、=-2x3+x4。 4 2x1-x2+x3+x4=1x1+2x2-x3+4x4=2 x1+7x2-4x3+11x4=5答案：原方程的增广矩阵变形过程为： 2-111112-142A=12-142(,)2-1111 17-411517-4115+(-2)12-14212-142+(-1)0-53-7-3+0-53-7-305-3730000016142104555(-12-15)7301-3+(-5552)01-373550005 0000000由于秩(A)=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为： x1=4165-5x3-5x4x=337。 25+5x3-5x45.当l为何值时，线性方程组

26、 16 2-1-1100x1-x2-5x3+4x4=22x1-x2+3x3-x4=1 3x1-2x2-2x3+3x4=37x1-5x2-9x3+10x4=l有解，并求一般解。 答案：原方程的增广矩阵变形过程为： 1-1-542+(-2)1-1-542A=2-13-11+(-3)113-9-33-2-233+(-7)00113-9-3 7-5-910l0226-18l-14+108-5-1+(-1)+(-2)0113-9-300000 0000l-8所以当l=8时，秩(A)=2n=4，原方程有无穷多解，其一般解为： x1=-1-8x3+5x4x2=-3-13x 3+9x45a,b为何值时，方程组

27、 x1-x2-x3=1x1+x2-2x3=2 x1+3x2+ax3=b答案：当a=-3且b3时，方程组无解； 当a-3时，方程组有唯一解； 当a=-3且b=3时，方程组无穷多解。 原方程的增广矩阵变形过程为： 1-1-11+(-1)1-1-111-1A=11-22+(-1)02-11+(-2)0213ab04a+1b-100讨论：当a-3，b为实数时，秩(A)=3=n=3，方程组有唯一解； 当a=-3，b=3时，秩(A)=2n=3，方程组有无穷多解； 当a=-3，b3时，秩(A)=3秩(A)=2，方程组无解； 6求解下列经济应用问题： 设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)=100+0

28、.25q2+6q, 求：当q=10时的总成本、平均成本和边际成本； 当产量q为多少时，平均成本最小？ 17 -11-11a+3b-3答案： 平均成本函数为：C(q)=C(q)q=100q+0.25q+6 边际成本为：C(q)=0.5q+6 当q=10时的总成本、平均成本和边际成本分别为： C(10)=100+0.2510 C(10)=2+610=185(元) 10010+0.2510+6=18.5 C(10)=0.510+6=11 由平均成本函数求导得：C(q)=-100q2+0.25 令C(q)=0得唯一驻点q1=20，q1=-20 由实际问题可知，当产量q为20个时，平均成本最小。 .某厂

29、生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q，单位销售价格为，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少 p=14-0.01q答案：解：由p=14-0.01q 得收入函数 R(q)=pq=14q-0.01q 得利润函数： L(q)=R(q)-C(q)=10q-0.02q 令 L(q)222-20 =10-0.04q=0 解得：q=250 唯一驻点 所以，当产量为250件时，利润最大， 最大利润：L(250)=10250-0.022502-20=1230(元) 投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C(q)=2q+40(万元/百台)试求产量由4百台增至6百台时总

30、成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 答案：产量由4百台增至6百台时总成本的增量为 DC=64C(x)dx=64(2x+40)dx=(x+40x)264=100(万元) 成本函数为： C(x)=C(x)dx=(2x+40)dx=x+40x+C0 18 2又固定成本为36万元，所以 2C(x)=x+40x+36(万元) 平均成本函数为： C(x)=C(x)x=x+40+36x(万元/百台) 求平均成本函数的导数得：C(x)=1-36x2令C(x)=0得驻点x1=6，x2=-6 由实际问题可知，当产量为6百台时，可使平均成本达到最低。 已知某产品的边际成本C(q)=2，固定成本为0，边际收益 R(q)=12-0.02q，求： 产量为多少时利润最大？ 在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 答案：求边际利润：L(q)=R