电大高等数学基础复习小抄.docx

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1、电大高等数学基础复习小抄高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，中的两个函数相等 A. f(x)=(x)2，g(x)=x B. f(x)=x2，g(x)=x C.f(x)=lnx3，g(x)=3lnx D. f(x)=x+1，g(x)=x2-1x-11-设函数f(x)的定义域为(-,+)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于对称 A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y=x 设函数f(x)的定义域为(-,+)，则函数f(x)-f(-x)的图形关于对称 A. y=x B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点 e-x.函数y=-ex2的图形关于对称 (A) 坐标原点 (B

2、) x轴 (C) y轴 (D) y=x 1-下列函数中为奇函数是 A. y=ln(1+x2) B. y=xcosx C. ax+a-xy=2 D. y=ln(1+x) 下列函数中为奇函数是 A. y=x3-x B. y=ex+e-x C. y=ln(x+1) D. y=xsinx 下列函数中为偶函数的是 A y=(1+x)sinx B y=x2x C y=xcosx D y=ln(1+x2) 2-1 下列极限存计算不正确的是 A. limx2xx2+2=1 B. limx0ln(1+x)=0 C. limsinxxx=0 D. lim1xxsinx=0 2-2当x0时，变量是无穷小量 A. s

3、inxx B. 1x C. xsin1x D. ln(x+2) 当x0时，变量是无穷小量A 1sinxxxx B x C e-1 D x2 .当x0时，变量是无穷小量A 1sinx B xx C 2x D ln(x+1) 下列变量中，是无穷小量的为 1 Asin1x(x0) B ln(x+1)(x0) Cex(x) D.x-2x2-4(x2) 3-1设f(x)在点x=1处可导，则limf(1-2h)-f(1)h0h= A. f(1) B. -f(1) C. 2f(1) D. -2f(1) 设f(x)在xf(x0-2h)-f(x0)0可导，则limh0h= A f(x0) B 2f(x0) C

4、-f(x0) D -2f(x0) 设f(x)在xf(x0-2h)-f(x0)0可导，则limh02h= A. -2f(x0) B. f(x0) C. 2f(x0) D. -f(x0) 1 设f(x)=ex，则f(1+Dx)-f(1)1Dlimx0Dx= A e B. 2e C. 2e D. 14e 3-2. 下列等式不成立的是 A.exdx=dex B -sinxdx=d(cosx) C.12xdx=dx D.lnxdx=d(1x) 下列等式中正确的是A.d(11+x2)=arctanxdx B. d(1dxx)=-x2 C.d(2xln2)=2xdx D.d(tanx)=cotxdx 4-1

5、函数f(x)=x2+4x-1的单调增加区间是 A. (-,2) B. (-1,1) C. (2,+) D. (-2,+) 函数y=x2+4x-5在区间(-6,6)内满足 A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 .函数y=x2-x-6在区间内满足 A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升再单调下降 D 单调上升 . 函数y=x2-2x+6在区间(2,5)内满足 A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 5-1若f(x)的一个原函数是1x，则f(x)= A. lnx B. -1x2 C. 1x

6、 D. 2x3.若F(x)是 f(x) 的一个原函数，则下列等式成立的是。 Axaf(x)dx=F(x)-F(a)b BaF(x)dx=f(b)-f(a) Cf(x)=F(x) Dbaf(x)dx=F(b)-F(a) 5-2若f(x)=cosx，则f(x)dx= A. sinx+c B. cosx+c C. -sinx+c D. -cosx+c 下列等式成立的是 A. f(x)dx=f(x) B. df(x)=f(x) C. df(x)dx=f(x) D. ddxf(x)dx=f(x) ddxx2f(x3)dx= A. f(x3) B. x2f(x3) C. 13f(x) D. 13f(x3)

7、 ddxxf(x2)dx= A xf(x2) B 12f(x)dx C 122f(x) D xf(x)dx -3若f(x)dx=F(x)+c，则1xf(x)dx= A. F(x)+c B. 2F(x)+c C. F(2x)+c D. 1xF(x)+c 补充： e-xf(e-x)dx= -F(e-x)+c+, 无穷积分收敛的是 11x2dx 函数f(x)=10x+10-x的图形关于 y 轴 对称。 二、填空题 函数f(x)=x2-9x-3+ln(1+x)的定义域是 2 函数y=xln(x-2)+4-x的定义域是 若函数f(x)=x2+1,x0，则f(0)= 1 2x,x0 12若函数f(x)=(

8、1+x)x,x0sinx,x0的间断点是 x=0 函数y=x2-2x-3x-3的间断点是 x=3 。 函数y=11-ex的间断点是 x=0 3-曲线f(x)=x+1在(1,2)处的切线斜率是 1/2 曲线f(x)=x+2在(2,2)处的切线斜率是 1/4 曲线f(x)=ex+1在处的切线斜率是 1 .曲线f(x)=x3+1在(1,2)处的切线斜率是 3 3-2 曲线f(x)=sinx在(2,1)处的切线方程是 y = 1 切线斜率是 0 曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1 4.函数y=ln(1+x2)的单调减少区间是 函数f(x)=ex2的单调增加

9、区间是 .函数y=(x+1)2+1的单调减少区间是 .函数f(x)=x2+1的单调增加区间是 函数y=e-x2的单调减少区间是 5-1de-x2dx= e-x2dx .ddxsinx2dx= sinx2 (tanx)dx= tan x +C 若f(x)dx=sin3x+c，则f(x)= 9 sin 3x 5-2 33(sin5x+1)dx1xde-32= 3 -1x2+1dx= 0 dx1ln(x+1)dx= 0 下列积分计算正确的是 A 1xx1-1(e+e-)dx=0 B(ex-e-x)dx=0 C1x2-1-1dx=0 D 1-1|x|dx=0 三、计算题 、计算极限 利用极限的四则运算

10、法则，主要是因式分解，消去零因子。 3 利用连续函数性质：f(x0)有定义，则极限limxxf(x)=f(x0) 0类型1： 利用重要极限 limsinxx0x=1 ， limsinkxx0x=k， limtankxx0x=k 计算 sin61-1求limsin6xxsin5x 解： limsin6xx0x6 x0sin5x=limx0sin5x=5x1-2 求 limtanxtanx1tanx1x03x 解： limx03x=3limx0x=31=13 1-3 求limtan3xx0x 解：limtan3xtan3xx0x=limx03x.3=13=3 类型2： 因式分解并利用重要极限 li

11、msin(x-a)xa(x-a)=1， limx-axasin(x-a)=1 化简计算。 2-1求limx2-1(x+1) 解： x2-11)x-1sin(x+limx-1sin(x+1)=limx-1sin(x+1).(x-1)=1(-1-1)=-2 2-2limsin(x-1)x1x2-1 解： limsin(x-1)sin(x-1)111x1x2-1=limx1(x-1).(x+1)=11+1=2 2-3limx2-4x+3x3sin(x-3) 解： limx2-4x+3(x-3)(x-1)x3sin(x-3)=limx3sin(x-3)=limx3(x-1)=2 类型3：因式分解并消去

12、零因子，再计算极限 3-1 limx2-6x+8x2-6x+8(x-4)(x-2)x-22x4x2-5x+4 解： limx4x2-5x+4=limx4(x-4)(x-1)=limx4x-1=3 3-2 limx2+x-6x-3x-x-12 limx2+x-6(x+3)(x-2)x-252 x-3x2-x-12=limx-3(x+3)(x-4)=limx-3x-4=73-3 limx2-3x+2x2-3x+2(x-2)(x-1)x-11x2x2-4 解 limx2x2-4=limx2(x-2)(x+2)=limx2x+2=4 1其他： lim1+x2-1x2sinxsinsinx=lim2si

13、nx=0， x0x0limx0x+1-1=limx01=2 2xlimx2+6x+5x22x2+6x2x22xx2-4x-5=limxx2=1， lxim3x2-4x-5=limx3x2=3 tan8x计算limtan8xtan8xx0sin4x 解： limx0sin4x=limxx0sin4x.=84=2 x计算limsinxsinxx02x 解 limx02x=12limsinxx0x=12 limx2-2x-3(x+1).(x-3)x-1sin(x+1)=limx-1sin(x+1)=1(-1-3)=-4 求函数的导数和微分 利用导数的四则运算法则 (uv)=uv (uv)=uv+uv

14、 利用导数基本公式和复合函数求导公式 4 (lnx)=1x (xa)=axa-1 (ex)=ex (eu)=eu.u (sinx)=cosx22(cosx)=-sinx(ex)=ex.(x2)=2xex2sinx(tanx)=sec2x (e)=esinx.(sinx)=esinxcosx (cotx)=-csc2x(ecosx)=ecosx.(cosx)=-ecosxsinx(sinu)=cosu.u(cosu)=-sinu.u(sinx2)=cosx2.(x2)=2xcosx2 (cosx2)=-sinx2(x2)=-2xsinx2 (sinex)=cosex.(ex)=excosex(c

15、ose)=-sinex.(ex)=-exsinex类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。 1-1 y=(xx+3)ex 313 解：y3x2+3ex+x2+3(ex)=32x2ex+x2+3ex=313x2x2+x2+3e 1-2 y=cotx+x2lnx 解：y=(cotx)+(x2lnx)=-csc2x+(x2)lnx+x2(lnx)=-csc2x+2xlnx+x 1-3 设y=extanx-lnx，求y 解： y=(extanx)-(lnx)=(ex)tanx+ex(tanx)-1xx21x=etanx+esecx-x类型2：加减法与复合函数混合运

16、算的求导，先加减求导，后复合求导 2-1 y=sinx2+lnx，求y 解：y=(sinx2)+(lnx)=2xcosx2+1x 2-2 y=cosex-sinx2，求y 解：y=(cosex)-(sinx2)=-sinex.(ex)-cosx2.(x2)=-exsinex-2xcosx22-3 y=ln5x+e-5x，求y， 解：y=(ln5x)+.(e-5x)=5xln4x-5e-5x 类型3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 y=ex2cosx，求y 。 解：y=(ex2)cosx+ex2(cosx)=2xex2cosx-ex2sinx 其他：y=2x-cosxx，

17、求y。 解：y=(2x)-(cosx(cosx).x-cosx.(x)xsinx)=2xln2-x2=2xln2+x+cosxx2 0807.设y=esinx+sinx2，求y 解：y=(esinx)+(sinx2)=esinxcosx+2xcosx2 0801.设y=xex2，求y 解：y=(x)ex2+x(ex2)=ex2+2x2ex2 0707.设y=esinx-x2，求y 解：y=esinx.(sinx)-(x2)=cosxesinx-2x 0701.设y=lnx+cosex，求y 解：y=(lnx)-sinex.(ex)=1x-exsinex 积分计算： 凑微分类型1：L1x2dx=

18、-Ld(1x) 5 cos11计算xcosx2dx 解：xx2dx=-cos1xd(1x)=-sin1x+c sin1sin10707.计算xxx2dx 解： x2dx=-sin1xd(1x)=cos1x+c 11xx110701计算e 解： e12dx 2dx=-exd=-exxxx+c 凑微分类型2：L1xdx=2Ldx .计算cosxxdx 解： cosxxdx=2cosxdx=2sinx+c 0807.计算sinxxdx 解：sinxxdx=2sinxdx=-2cosx+c x0801.计算ex2exxdx 解：exdx=2exdx=+c 凑微分类型3：L1xdx=Ldlnx， L1x

19、dx=Ld(a+lnx) 计算1xlnxdx 解：1dlnx1xlnxdx=lnx=udu=ln|lnx|+c e.计算e2+lnx1xdx 解： e2+lnxxdx=e1(2+lnx)d(2+lnx)=1512(2+lnx)2= 125 定积分计算题，分部积分法 11a+1类型1：xalnxdx=a+11xa+1lnxdxa+1=a+1xlnx-a1a+1a+1xdx=a+1lnx-(a+1)2x+c 计算e1xlnxdx 解： a=1， xlnxdx=1212122lnxdx=2xlnx-4x+c exlnxdx=1ex2x-x2e1+e22121lnxdx=(2ln4)1=4 e1lnx

20、dx=(xlnx-x)e1=(e-e)-(0-1)=1 e计算lnx1x2dx 解：a=-2 ， lnxx2dx=-lnxd(1x)=-1xlnx-1x+c elnxe1lnx1e21x2dx=-1lnxd(x)=(-x-x)1=1-e e计算lnx1xdx 解：a=-12，lnxxdx=2lnxdx=2xlnx-4x+c elnxe1xdx=21lnxdx=(2xlnx-4x)e1=-2e+4 0807 exlnxdx=2e32343322e22413 1lnxd x2=(3xlnx-9x)1=9e+96 0707 e21xlnxdx=13e31313e2311lnxdx=(3xlnx-9x

21、)1=9e+9 类型2 xeaxdx=1ax1axd(e)=axeax-1axa2e+c 111120xe2xdx=20xde2x=(2xex-12x11214e)0=4e+4 1-x1-x-x-x1-10xedx=-0xde=(-xe-e)0=-2e+1 1-2x11-1-2x1-2x13-210xedx=-20xde2x=(-2xe-4e)0=-4e+41x1xxx10xedx=0xde=(xe-e)0=1 类型3： xsinaxdx=-1111axcosax+acosaxdx=-axcosax+a2sinax+c xcosaxdx=1111axsinax-asinaxdx=axsinax

22、+a2cosax+c ppp20xsinxdx=-20xdcosx=(-xcosx+sinx)2=1-0=1 0ppp2xcosxdx=2xdsinx=(xsinx+cosx)2=p002-1 0xsin2xdx=-12xcos2x+12cos2xdx=-112xcos2x+4sin2x+c p20xsin2xdx=-1p20xdcos2x=(-12xcos2x+1p24sin2x)2=p-0=p044p2xcos2xdx=1pp02xsin2x|02-1p220sin2xdx=1214cos2x|0=-2 四、应用题 类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少

23、时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 h2+r2=l2 圆柱体的体积公式为 V=pr2h=(l2-h2)h 求导并令 V=(l2-3h2)=0 l 得h=33l，并由此解出r=63l 即当底半径r=63l，高h=33l时，圆柱体的体积最大 类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。 2-1 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V=p.r2.h,h=Vp.r2表面积为S=2r2+2rh=2r2+2Vr7 S=4r-2Vr2， 由S=0得r=3V2，此时h=2r=34V。 由实际问

24、题可知，当底半径r=3V2与高h=2r 时可使用料最省。 一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。 生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则无盖圆柱形容器表面积为 S=r2+2rh=r2+2V，令 rS=2r-2Vr2=0， 得 r=3V,h=r， 由实际问题可知，当底半径r=3V与高h=r 时可使用料最省。 2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h=V=32，h=Vx2， 表

25、面积 y=x2+4xh=x2+4Vx， 令y=2x-4Vx2=0，得x3=2V=64， 此时x=4,h=Vx2=2 由实际问题可知，x=4是函数的极小值点，所以当x=4，h=2时用料最省。 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。 类型3 求求曲线y2=kx上的点，使其到点A(a,0)的距离最短 曲线y2=kx上的点到点A(a,0)的距离平方为L=(x-a)2+y2=(x-a)2+kx L=2(x-a)+k=0， 2x=2a-k 3-1在抛物线y2=4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最

26、短 解：设所求点P，则满足 y2=4x，点P 到点A 的距离之平方为 L=(x-3)2+y2=(x-3)2+4x 令L=2(x-3)+4=0，解得x=1是唯一驻点，易知x=1是函数的极小值点， 当x=1时，y=2或y=-2，所以满足条件的有两个点和 3-2求曲线y2=2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短 解：曲线y2=2x上的点到点A 的距离之平方为L=(x-2)2+y2=(x-2)2+2x 令L=2(x-2)+2=0，得x=1， 由此y2=2x=2， y=2 即曲线y2=2x上的点和到点A的距离最短。 08074 求曲线y=x2上的点，使其到点A的距离最短。 解： 曲线y=x2上的点到点A的距离公式为 d=x2+(y-2)2=y+(y-2)2d与d2在同一点取到最大值，为计算方便求d2的最大值点， d2=y+(y-2)2 (d2)=1+2(y-2)=2y-3 令 (d2)=0得y=32，并由此解出x=62， 8 6363即曲线y=x2上的点和点到点A的距离最短 9