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1、电磁场理论复习题第12章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 r1. 设：直角坐标系中，标量场u=xy+yz+zx的梯度为A，则 rre(y+z)+e(x+z)+e(x+y)xyzA= ，A= 0 。 2. 已知矢量场rx(y+z)+ey4xy2+ezxzA=e，则在Mr处A= 9 。 r3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场，则必rrA旋度A 及 散度 。 须同时给定该场矢量的 rrrrr4. 写出线性和各项同性介质中场量D、E、B、H、J所满足的方程rrrrrrD=eE, B =mH, J=sErrr：。 rqJ=-JdS=-Stt5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。
2、rr6. 设理想导体的表面A的电场强度为E、磁场强度为B，则 rrE、B皆与A垂直。 rrE与A垂直，B与A平行。 rrE与A平行，B与A垂直。 rrE 、B皆与A平行。 答案：b ryE0sin(t-z) (V/m)，7. 设自由真空区域电场强度E=e其中E0、r为常数。则空间位移电流密度Jd为： c 8. yE0cos(t-z) eyE0cos(t-z) eye0E0cos(t-z) -eyE0cos(t-z) 答案：e已知无限大空间的相对介电常数为er=4，电场强度第 1 页 共 20 页 rpxxr0cos (V/m)，其中r0、则x=d处电荷体密度r为： E=ed为常数。2d d 9
3、. -4pr04pe0r02pr02pe0r0 - - - 答案：dddd已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为 2rcosq+eqsinq) (-e(rR0) r3 求常数B；球面上的面电荷密度；球面内外的体电荷密度。 Sol. (1) 球面上 由边界条件 E1t=E2t得：2Bsinq=3sinq B=2R02 R0R0由边界条件D1n-D2n=rs得： 6e0cosq R0rs=e0(E1n-E2n)=e0(E1r-E2r)= r 由D=r得： r(rR) rrsinqqr0 即空间电荷只分布在球面上。 10. 已知半径为R0、磁导率为的球体，其内外磁场强度分布为 rcosq-eq
4、sinq) 2(e(rR0) (e3r 且球外为真空。求常数A；球面上的面电流密度JS 大小。 第 2 页 共 20 页 Sol. 球面上：Hr为法向分量；Hq为法向分量 球面上由边界条件B1n=B2n得：mH1r=m0H2rA=球面上由边界条件H1t-H2t=Js得 Js=(H1q-H2q)|r=R0=-(2+m)sinqm0m3R0 m0第 3 页 共 20 页 第3章 静电场及其边值问题的解法 rrE的关系为=-f1. 静电场中电位与电场强度E ；在两种fff1=f2 ； e11=e22nn不同的电介质的分界面上，电位满足的边界条件为 。 r2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为，则静电
5、场：E= r0 ，E= 。 rr2r2f=-r E= 3. 电位 和电场强度E满足的泊松方程分别ee1wm= eE22为 、 。 4. 介电常数为的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。 5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。 6. 如图，E1、E2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，3，则30rr60rr，|E1|E2|= 。 rE112r2E217. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度rs与电位沿其fe=-rsf的关系为 。 法向的方向导数nn8. 如图，两块位于x = 0 和 x = d处无限大导体平板的电位分别
6、为0、U0，其内部充满体密度第 4 页 共 20 页 f1=0f2=U0odxe xd ) 的电荷。利用直接积分法计算0 x a各点的电位分布。 第 5 页 共 20 页 Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于： 球 边界条件：f平面=f球面=0 使f平面=0，引入镜像电荷：z=-d,q=-q0 使f球面=0，引入镜像电荷： 无限大接地导体平面 + 接地导体z d q0z1qr1loz2q2ax zqa2az=,q=-q011dd 22z=-a=-a,q=-aq=aq220|z|d|z|dz轴上z a各点的电位： 1f=4pe0q0q1q2q+ |z-d|z-zz-zz+d12
7、12a31- 224z+d|z-d|zd-aq =04pe011. 已知接地导体球半径为R0 ，在x轴上关于原点对称放置等量异号电荷+q、-q ，位置如图所示。利用镜像法求镜像电荷的位置及电量大小；球外空间电位；x轴上x2R0各点的电场强度。 Sol. (1) 引入两个镜像电荷： 2R0qR0Rq1=-q=-，x1=0 2R022R02q2R0q1x-qR0x2ox1R0+q第 6 页 共 20 页 2R0RR0qq2=-(-q)=，x2=-=-0 2R022R02f(x,y,z)= 14pe0qq1q2qR+R+R-R= 12R=(x-2R0)2+y2+z2， R1=(x-R0/2)2+y2
8、+z2 R2=(x+R0/2)2+y2+z2，R=(x+2R0)2+y2+z2 x轴上x2R0各点的电场强度： rq-q/2q/2q E=ex+2222(x-2R)(x-R/2)(x+R/2)(x+2R)000012. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q，求各镜像电荷的位置及电量；两块导体间的电位分布。 Sol. q1=-q0，(-a, 0, 0) q2=+q0，(0, -a, 0) q3=-q0，(a, 0, 0) 14pe0q0q1q2q3R+R+R+R 1230(-a, 0, 0)q1y q0 P(0,a,0) 45 45 (a, 0, 0)xq3
9、f(x,y,z)= q2(0,-a, 0)其中： R0=x2+(y-a)2+z2，R1=(x+a)2+y2+z2 R2=x2+(y+a)2+z2，R3=(x-a)2+y2+z2 第 7 页 共 20 页 第4章 恒定电场与恒定磁场 1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0 ，净余电荷只能分布在该导电媒质的 表面 上。 rr2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中，J= 0 ；D= 0 。 rr3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件为： 、 。 4. E1t=E2tJ1n=J2n在电导率为的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小pc=sE2E的关系
10、为 。 rrrrr=A ；5. 恒定磁场的矢量磁位A与磁感应强度BB的关系为Arr2A=-J所满足的泊松方程为 。 6. 如图，H1、H2分别为两种理想介质内在交界面上的磁场强度，m2=3m1，q1=30， 则q2、B1B2分别为： 答案：B 60、3。 60、33。 45、3。 45、33。 7. H1m1m2H221对线性和各项同性磁介质的磁能密度wm= ，V空间磁能），恒定磁场常数r磁感应强度B。 rC ；电流密度J；ayaxaxazazayrx(y(z(a=e-)+e-)+e-) ），其厚度分别为d1和d2。若在两极板上加上恒定的电压U0。试求板间的电位F、电场强度E、电流密度J以及各
11、分界面上的自由电荷密度。 Sol. 用静电比拟法计算。用电介质替代导电媒质，静e2U0rE=-e (0xd1)1xed+edEd+Ed=U112112220 reUD=DeE=eE10211221E=-ex (d1xd2)2ed+ed2112e1e2U0e2d1+e1d2rrrx 电位移：D1=D2=e1E1=-ee2U0Ex=x (0xd1)1ed+ed2112f(x)= Ed+E(x-d)=e1x+(e2-e1)d1U (dxd)1121012e2d1+e1d2第 9 页 共 20 页 rrrr JD， ，ff，则导电媒质中的恒定静电比拟： EE ，电场： s2U0f= (0xd1)1sd
12、+sdx 2112f=s1x+(s2-s1)d1U (dxd)2012sd+sd2112 ， s2U0-e(0xd1)xsd+sd r2112E(x)= s1U0-ex (d1x1，则铜看作良导体，衰减常数awe和相位常数b分别为 a=b=wms2=15.132f=15.132103 相速：vp=w=4.15210-4bf=0.4152 m/s 波长：l=2pb=4.15210-4 m =1透入深度：d&波阻抗：ZWa=6.610-5 m (2) 当wm(1+j)=2.6110-7(1+j)f=2.6110-4(1+j) 2ss=1.04410101，则铜仍可以看作为良导体，f=100 MHz
13、时，we=衰减常数a和相位常数b分别为 a=b=wms2=15.132f=15.132104 相速：vp=w=4.15210-4bf=4.152 m/s 波长：l=2pb=4.15210-5 m =1透入深度：d&波阻抗：ZWa=6.610-6 m (3) 当wm(1+j)=2.6110-7(1+j)f=2.6110-3(1+j) 2ss=1.0441081，则铜看作良导体，衰减常数af=10 GHz时，we=和相位常数b分别为 a=b=wms2=15.132f=15.132105 相速：vp=w=4.15210-4bf=41.52 m/s 波长：l=2pb=4.15210-6 m =1透入深
14、度：da=6.610-7 m 第 18 页 共 20 页 &波阻抗：ZW=wm(1+j)=2.6110-7(1+j)f=2.6110-2(1+j) 2s13. 海水的电导率s=4 S/m，er=81，mr=1，求频率为10 kHz、10 MHz和10 GHz时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。 解：已知e0(1) 当f1s1810-9 F/m和m0=4p10-7 H/m，那么=109。 36pwef9=10 kHz时，s188=109=1051，则海水可看作良导体，wef99衰减常数a和相位常数b分别为 a=b=wms2=3.9710-3f=0.397 相速：vp=w=1.582103bf=1.
15、582105 波长：l=2pb=15.83 m =1透入深度：d&波阻抗：ZWa=2.52 m (2) 当wm(1+j)=0.316p10-3(1+j)f=0.099(1+j) 2ss8f=10 MHz时，=102=88.891，则海水也可近似看作良导we9=体，衰减常数a和相位常数b分别为 a=b=wms2=3.9710-3f=12.55 相速：vp=w=1.582103bf=5.00106 波长：l=2pb=0.500 m =1透入深度：d&波阻抗：ZWa=0.080 m =wm(1+j)=0.316p10-3(1+j)f=3.139(1+j) 2ss188=109=10-1=0.0891，则海水也可近似wef99(3) 当f=10 GHz时，看作弱导电媒质，衰减常数a和相位常数b分别为 第 19 页 共 20 页 m80p =2e318pfb=wme=600pca=s相速：vp=w波长：l=2pb1=108 m/s b3=1 m 300透入深度：d=1=0.012 m &波阻抗：ZWamms40p=(1+j)=(1+j0.045) &ee2we3第 20 页 共 20 页
