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1、电磁学习题和答案2第十二章 稳恒磁场 v12.1 均匀磁场的磁感强度B垂直于半径为r的圆面今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S面的磁通量的大小为 (A) 2prB (B) prB (C) 0 (D) 无法确定的量 B 12.2 载流的圆形线圈(半径a1 )与正方形线圈(边长a2 )通有相同电流I若两个线圈的中心O1 、O2处的磁感强度大小相同，则半径a1与边长a2之比a1a2为 (A) 11 (B) (C) 2p4 (D) 2p1 22 2p8 D a1 O1 I a2 O2 I 12.3 如图，两根直导线ab和cd沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流vvvI从a端流入而从d
2、端流出，则磁感强度B沿图中闭合路径L的积分Bdl等于 L (A) m0I (B) 13m0I (C) m0I/4 (D) 2m0I/3 D I a b L 120 c I d 12.4 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A1 = 2 A2，通有电流I1 = 2 I2，它们所受的最大磁力矩之比M1 / M2等于 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1/4 C 12.5 如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动线框平面与大平板垂直大平板的电流与线框中电流方向如图所示，则通电线框的运动情况对着从大平板看是： 1 I1 I2 (A) 靠近大平板 (B) 顺时针转动 (C)
3、 逆时针转动 (D) 离开大平板向外运动 B 12.6 无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感强度大小等于 mImI (A) 0 (B) 0 (C) 0 2pR4RmImI11(D) 0(1-) (E) 0(1+) D 2Rp4RpI R O P 12.7 一载有电流I的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线管，两螺线管单位长度上的匝数相等设R = 2r，则两螺线管中的磁感强度大小BR和Br应满足： (A) BR = 2 Br (B) BR = Br (C) 2BR = Br (D) BR = 4 Br B 12.8如图所示，一无限长直导线通有
4、电流I =10 A，在一处折成夹角q 60的折线，求角平分线上与导线的垂直距离均为r =0.1 cm的P点处的磁感强度(m0 =4p10 Hm) -7-1qrrPvv v解：P处的B可以看作是两载流直导线所产生的，B1与B2的方向相同 B=B1+B2 =m0I4prsin60-sin(-90)+m0I4prsin90-sin(-60) 3分 -3 =2m0I4pr方向垂直纸面向上 1分 2 (sin90+sin60)=3.7310 T 1分 12.9 如图所示，半径为R，线电荷密度为l (0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面v垂直的轴以角速度w 转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向 y
5、R O w 解： I=Rlw 1分 B=By=m0Rlw223/232(R+y)vB的方向与y轴正向一致 1分 3分 12.10均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为l，绕垂直于直线的轴O以w 角速度匀速转动(O点在细杆AB延长线上)求： (1) O点的磁感强度B0； (2) 系统的磁矩pm； (3) 若a b，求B0及pm 解：(1) 对rr+dr段，电荷 dq = l dr，旋转形成圆电流则 dqwlw=dr 2分 dI=2p2pvv它在O点的磁感强度 mdIlwm0dr dB0=0 1分 =2r4prB0=dB0=2lwm4pa+b0adrr=lwm4p0lna+ba 2分 方向垂直纸面向内
6、 (2) dpm=prdI=a+b12lwrdr 1分 22 pm=方向垂直纸面向内 (3) 若a b，则 ln B0=dpm=a+babaa12lwrdr=lw(a+b)3-a3/6 2分 ， = 4pa4pa过渡到点电荷的情况 2分 33m0wlbwm0q同理在a b时， (a+b)a(1+3b/a)，则 pm=lw6a33ba=12qwa 2也与点电荷运动时的磁矩相同 2分 3 O a A b B w O r a b dr 12.11如图所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为s该筒以角速度w绕其轴线匀速旋转试求圆筒内部的磁感强度 w w s a f e i b c d ws
7、R解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i， i=2pRsw/(2p)=Rsw 3分 v作矩形有向闭合环路如图中所示从电流分布的对称性分析可知，在ab上各点B的大小和vv方向均相同，而且B的方向平行于ab，在bc和fa上各点B的方向与线元垂直，在de, vfe,cd上各点B=0应用安培环路定理 vv Bdl=m0I 2分 可得 Bab=m0iab B=m0i=m0Rsw 2分 圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为B=m0Rsw，方向平行于轴线朝右 1分 12.12 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A电流，在导线内部作一平面S，S的一个边是导线的中心轴线，另一边是S平面与导
8、线表面的交线，如图所示试计算通过沿导线长度方向长为1m的一段S平面的磁通量 (真空的磁导率m0 =4p10-7 Tm/A，铜的相对磁导率mr1) S x R S dx 解：在距离导线中心轴线为x与x+dx处，作一个单位长窄条，其面积为 dS=1dx窄条处的磁感强度 mmIx B=r02 2分 2pRmmIx所以通过dS的磁通量为 dF=BdS=r02dx 2pR通过m长的一段S平面的磁通量为 4 R F= 0mrm0Ix2pR2dx=mrm0I4p=10-6 Wb 3分 v12.13在一顶点为45的扇形区域，有磁感强度为B方向垂直指向纸面内的均匀磁场，如图今有一电子(质量为m，电荷为-e)在底
9、边距顶点O为l的地方，以垂直底边的速度 v射入该磁场区域，若要使电子不从上面边界跑出，电子的速度最大不应超过多少？ vB v O 45 l v 解：电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上当电子轨迹 与上面边界相切时，对应最大速度，此时有如图所示情形 (l+R)sin45=R R=l/(2-1)=(2+1)l 由 R=mv/(eB)，求出v最大值为 v=eBRm=(2+1)leBmR O 45 l R O 12.14有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i (即单位宽度上通有的电流强度) (1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向 (2) 有一质量为m，带正电荷q的粒
10、子，以速度v沿平板法线方向向外运动(如图)，求： (a) 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞？ (b) 需经多长时间，才能回到初始位置(不计粒子重力)？ vivv 5 解：(1) 由安培环路定理： B=12m0i (大小) 方向：在板右侧垂直纸面向里 3分 (2) 由洛伦兹力公式可求 R=mv/(qB) (至少从距板R处开始向外运动) 返回时间 T=2pR/v=4pm/(qm0i) 2分 v12.15 一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀外磁场B中(如图示)在不考虑载流圆v线圈本身所激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力(载流线圈的法线方向规定与B的方向相同) I R I v
11、FmvB R O T T D vB C 解：考虑半圆形载流导线CD所受的安培力 Fm=IB2R 3分 列出力的平衡方程式 IB2R=2T 故： T=IBR 2分 12.16半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2，置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力 y dFy dF A I1 D C I2 O q dFx x I2 R I1 解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为 B=m0I1/(2pr)取xOy坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为： m0I1 B=， 方向垂直纸面向里， 3分 2pRsinq式中q
12、 为场点至圆心的联线与y轴的夹角半圆线圈上dl段线电流所受的力为： vv dF=I2dlB=I2Bdl =m0I1I22pRsinq dFy=dFsinq Rdq 3分 根据对称性知： Fy =dFy=0 q ， dFx=dFcos6 p Fx=dFx=0m0I1I22pp=m0I1I22半圆线圈受I1的磁力的大小为： mII F=012， 方向：垂直I1向右 4分 212.17如图，一半径为R的带电塑料圆盘，其中半径为r的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为+s ，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为-s。 当圆盘以角速度w 旋转时，测得圆盘中心O点的磁感强度为零，问R与r满足什么关系？ O R
13、 r w 解：带电圆盘转动时，可看作无数的电流圆环的磁场在O点的叠加 某一半径为r 的圆环的磁场为 dB=m0di/(2r) 2分 而 di=s2prdrw/(2p)=swrdr dB=m0swrdr/(2r)=r 2分 r 2分 12m0swdr正电部分产生的磁感强度为 B+=R0m0sw2dr=dr=m0sw2负电部分产生的磁感强度为 B-=rm0sw2m0sw2(R-r) 今 B+=B- R=2r 2分 12.18有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而成，如图其上均匀分布线密度为l 的电荷，当回路以匀角速度w 绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点处的磁感强度的大小 解
14、： B=B1+B2+B3 B1、B2分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感强度，B3为沿直径的带电线段转动产生的磁感强度 mImplwbm0lwplwb= I1=， B1=01=0 3分 2p2b2b2p47 b O a 2a2a2p4 dI3=2lwdr/(2p) b I2=plwa2p， B2=m0I2=m0plwa=m0lw 3分 B3=am0lw2pdrr=m0lw2pblnba2pa12.19 已知半径之比为21的两载流圆线圈各自在其中心处产生的磁感强度相等，求当两 B=m0lw(p+ln) 4分 线圈平行放在均匀外场中时，两圆线圈所受力矩大小之比 解：设两圆线圈半径分别为
15、R1，R2，分别通以电流I1，I2则其中心处磁感强度分别为： mImIB10=01，B20=02 2R12R2已知B10=B20， I1/I2=R1/R2 2分 vvvv 设外磁场磁感强度为B，两线圈磁矩p1和p2与B夹角均为a ，则两线圈所受力矩大小 M1=p1Bsina=pR1I1Bsina 2 M 2=p2Bsina=pR2I2Bsina 2分 2M1M2=R1I1R2I222R1=R=8 1分 2312.20在一平面内有三根平行的载流直长导线，已知导线1和导线2中的电流I1 = I2流向相同，两者相距d，并且在导线1和导线2之间距导线1为a = d/3处B = 0，求第三根导线放置的位
16、置与所通电流I3之间的关系 I3 a I1 I2 x x 0 B = 0 解：取x坐标如图设第三根导线放在与I1相距为x处，电流流向同于I1，则有 m0I2mIm0I3-01- B=0 2分 2p2a2pa2p(a-x)I3(a-x)=-2I1a2I3a 2分 +1即 x=I1当I3与I1同方向时，第三根导线在B = 0处的右侧，当I2与I1反方向时，第 三根导线在B = 0处的左侧 1分 8 12.21如图，半径为a，带正电荷且线密度是l (常量)的半圆以角速度w 绕轴OO匀速旋转求： v (1) O点的B； v (2) 旋转的带电半圆的磁矩pm p(积分公式 sinqdq=0212w p)
17、 O O w q O a O O dq 解：(1) 对qq +dq 弧元，dq=ladq，旋转形成圆电流 dI=22O w2pdq=wl2padq 2分 它在O点的磁感强度dB为： dB= B=m0asinqwl2ap32p2adq=m0wl4p=sinqdq 3分 24p088pavB的方向向上 1分 13222 (2) dpm=pasinq(wl/2p)adq=wlasinqdq 3分 2pdB=m0wlsinqdq=m0wlm0wq 1分 pm=dpm=012wlasinqdq=pwla3/4=wqa2/4 1分 32vpm的方向向上 1分 12.22如图，一无限长圆柱形直导体，横截面半
18、径为R，在导体内有一半径为a的圆柱形孔，它的轴平行于导体轴并与它相距为b，设导体载有均匀分布的电流I，求孔内任意一点P的磁感强度B的表达式 R I O b O a P 解电流密度 J=Ip(R-a)22 1分 P点场强为充满圆柱并与I同向的电流I10，及充满孔并与I反向的电流I20的场叠加而成取垂直于圆柱轴并包含P点的平面，令柱轴与孔轴所在处分别为O与O，P点与两轴的距离分别为r1与 r2，并建立坐标如图利用安培环路定理可知P点场强为与I同向的I1和与I9 反向的I2的场的叠加，且有 I1=Jpr12 ， I2=Jpr22 B1= B2=vvB1，B2方向如图所示 vvm0I12pr1=m02
19、r1J 2分 r2J 2分 m0I22pr2vm02P点总场 B=B1+B2 Bx=B2sinq2-B1sinq1=q1+B2cosq2= By=B1cosm02J(r2sinq2-r1sinq1)=0 3分 J(r1cosq1+r2cosq2)=m02m02Jb 3分 B=By=m02Jb=m0bI2p(R-a)22 1分 B与r1， r2无关，可知圆柱孔内为匀强场，方向沿y轴正向 vJ P r1r2 OC OC yvB1 q1 qC v2 B2 P r1Cq 1 O r2q2 C O xC vJ v12.23如图所示，有一电子以初速v 0沿与均匀磁场B成a 角度的方向射入磁场空间试证明当图
20、中的距离L=2pmenv0xcosa/(eB)时，(其中me为电子质量，e为电子电荷的绝对值，n = 1，2)，电子经过一段飞行后恰好打在图中的O点 e v v0 a vB L O 证： 设电子飞行时间为t，其作螺旋运动的周期为T，则： L=v0cosat 1分 T=2pme/(eB) 2分 当t = nT时，电子能恰好打在O点 L=v0cosanT=2pmenv0cosa/(eB) 2分 10 第十三章 磁介质 v13.1 关于稳恒电流磁场的磁场强度H，下列几种说法中哪个是正确的？ v (A) H仅与传导电流有关 v (B) 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H必为零 v (C)
21、若闭合曲线上各点H均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零 v(D) 以闭合曲线为边缘的任意曲面的H通量均相等 C 13.2 磁介质有三种，用相对磁导率mr表征它们各自的特性时， (A) 顺磁质mr 0，抗磁质mr 1 (B) 顺磁质mr 1，抗磁质mr =1，铁磁质mr 1 (C) 顺磁质mr 1，抗磁质mr 1 (D) 顺磁质mr 0，抗磁质mr 0 C 213.3 一均匀磁化的磁棒，直径为d25 mm，长L75 mm，磁矩为pm12000 Am求磁棒表面磁化电流密度iS 解： pm =iS LS 3分 S = pd 2 / 4 p4pm8 iS=m= A/m 2分 =3.26102LS
22、pLd13.4螺绕环中心周长l = 10 cm，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A管内充满相对磁导率mr = 4200的磁介质求管内磁场强度和磁感强度的大小 解： H=nI=NI/l=200 A/m 3分 B=mH=m0mrH=1.06 T 2分 vvv13.5一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为M，求图中标出各点的B和H 2451367解：把磁棒看作nI = i的无限长螺线管，则 vv B1 = m0i =m0M ，B1=m0M 2分 vv因螺线管无限长， B2=B3=0 2分 vvvvv1和螺线管一样，在端面附近有 B4=B5=B6=B7=m0M 2分
23、 2 11 vvvvvvB1v介质棒内 H=-M， H1=0， H5=H6=-M 2分 2m0介质棒外 H2=H3=0 ， H4=H7=vvvv1vM 2分 2213.6 一铁环中心线周长l = 30 cm，横截面S = 1.0 cm，环上紧密地绕有N = 300 匝线圈当导线中电流I = 32 mA 时，通过环截面的磁通量F = 2.010-5 Wb试求铁芯的磁化率cm -2解： B = F /S=2.010 T 2分 H=nI=NI/l=32 A/m 2分 m=B/H=6.2510-4 Tm/A 2分 cm=m/m0-1=496 2分 v13.7在磁化强度为M的均匀磁化的无限大磁介质中，挖
24、出一个半径为R的球形腔求此腔表面的磁化电流面密度和磁化电流产生的磁矩 z vMf R r vj dl vvvv解：磁化电流面密度为：j=Mn。式中n是磁介质表面法线方向单位矢量，方向指向球心 设：M的方向与z轴重合，则 j = Msinf，方向如图所示 3分 选择一宽度为dl=Rdf 的圆环，它产生的磁矩为： dpm=prjdl 2=pRMsinfsinfRdf=-pRMsinfdcosf 3分 2232总磁矩为： pm=dpm=-pRM31-cosp02fdcosf p133f-cosf=(4/3)pR3M 3分 =-pRMcos30vvvpm方向与z轴方向相反，即pm与M反向，写成矢量式为
25、： vv3 pm=-(4/3)pRM 1分 13.8 一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成中间充满磁导率为m的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的求同轴线内外的磁感强度大小B的分布 12 R3 R2 R1 I I 解：由安培环路定理： Hvdlv=Ii 0 r R1区域： 2prH=Ir2/R21 H=Ir2pR2， B=m0Ir 12pR2 1 R1 r R2区域： 2prH=I H=ImI2pr， B=2prI(r2 R-R22 r R3区域： H = 0，B = 0
26、13 第十四章 电磁感应 v14.1半径为a的圆线圈置于磁感强度为B的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈v电阻为R；当把线圈转动使其法向与B的夹角a =60时，线圈中通过的电荷与线圈面积及转动所用的时间的关系是 (A) 与线圈面积成正比，与时间无关 (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比 (C) 与线圈面积成反比，与时间成正比 (D) 与线圈面积成反比，与时间无关 A 14.2一矩形线框长为a宽为b，置于均匀磁场中，线框绕OO轴，以匀角速度w旋转(如图所示)设t =0时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为 O w v b B a O (A) 2abB | cosw t | (B) w abB (C)wabBcoswt (D) w abB | cosw t | 21(E) w abB | sinw t | D vv14.3如图，长度为l的
