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1、电磁学习题和答案1第八章 静电场 v8.1 真空中有两个点电荷M、N，相互间作用力为F，当另一点电荷Q移近这两个点电荷时，M、N两点电荷之间的作用力 (A) 大小不变，方向改变 (B) 大小改变，方向不变 (C) 大小和方向都不变 (D) 大小和方向都改 C 8.2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： v (A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷 v (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零 v (C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷 (D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零 D 8.3有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O
2、点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为 (A) (C) q3e0q3pe0 (B) (D) q4pe0q6e0 D a q a O a/2 8.4面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为 (A)q2e0Sq (B) 22q22e0Sq2 B (C) 2e0S (D) e0S28.5一个带正电荷的质点，在电场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹如图所示已知质点运动的速率是递增的，下面关于C点场强方向的四个图示中正确的是： D 8.6如图所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径的半圆弧，N点
3、有正电荷q，M点有负电荷-q今将一试验电荷q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功 (A) A0 , 且为有限常量 (B) A0 ,且为有限常量 (C) A (D) A0 D 1 C-qMO+qNDP8.7静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能 (B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能 (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能 (D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功 C 8.8已知某电场的电场线分布情况如图所示现观察到一负电荷从M点移到N点有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度EMEN (B)
4、 电势UMUN (C) 电势能WMWN (D) 电场力的功A0 C -qMNA 8.9 电荷为q和2q的两个点电荷分别置于x1 m和x1 m处一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：设试验电荷置于x处所受合力为零，即该点场强为零 q-2q+=0 2分 224pe0(x-1)4pe0(x+1)得 x26x+1=0, x=322 m 因x=3-2点处于q、2q两点电荷之间，该处场强不可能为零故舍去得 () x=3+22 m 3分 8.10 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度 qL P()x O L dq (L+dx
5、) d dE x d解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向带电直杆的电荷线密度为l=q / L，在x处取一电荷元dq = ldx = qdx / L，它在P点的场强： dqqdx= dE= 2分 224pe0(L+d-x)4pe0L(L+d-x) 2 总场强为 E=q4pe0LL(L+dx)0dx2=q4pe0d(L+d) 3分 方向沿x轴，即杆的延长线方向 8.11 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷Q，如图所示试求圆心O处的电场强度 +Q y dq y R O Q x q dq R O q x 解：把所有电荷都当作正电荷处理.
6、 在q处取微小电荷 dq = ldl = 2Qdq / p。它在O处产生场强 dE=dq4pe0R2=Q2pe0RQ22dq 按q角变化，将dE分解成二个分量： dEx=dEsinq=2pe0RQ2pe0Rp2222sinqdq cosqdq dEy=-dEcosq=-对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷 Ex=Q2pe0R22p/2sinqdq-0sinqdq0 p/2pp/2Q Ey=cosqdq-cosqdq=-22222pe0R0peR0p/2vvvv-Qj 所以 ： E=Exi+Eyj=22pe0R-Q8.12 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为l=l0sinf，式中l
7、0为一常数，f为半径R与x轴所成的夹角，如图所示试求环心O处的电场强度 y dq y q dq R f O R O q x x 3 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在q处取微小电荷dq = ldl = 2Qdq / p，它在O处产生场强 dE=dq4e0R2=Q2e0RQ2pe0RQ2222dq 2分 按q角变化，将dE分解成二个分量： dEx=dEsinq=2sinqdq cosqdq 3分 dEy=-dEcosq=-2pe0Rp2对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷 Ex=Q2pe0R-Q22p/2ndq-siq0siqndq0 2分 p/2pp/2Q Ey= 2分 cosqdq-
8、cosqdq=-22222pe0R0peR0p/2vvvv-Q所以 E=Exi+Eyj=2j 1分 2pe0R8.13 真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为a，其电荷线密度分别为l和l试求： (1) 在两直线构成的平面上，两线间任一点的电场强度(选Ox轴如图所示，两线的中点为原点) (2) 两带电直线上单位长度之间的相互吸引力 12+lE1a/2E2Ox-l aO+l-l-a/2xE解：(1) 一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离处的场强为： E=l / (2pe0r) 2分 根据上式及场强叠加原理得两直线间的场强为 l11 + E=E1+E2=aa2pe0-x+x222al =，
9、方向沿x轴的负方向 3分 22pe0(a-4x) (2) 两直线间单位长度的相互吸引力 2 F=lE=l / (2pe0a) 2分 8.14如图所示，一电荷面密度为s的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的试求该圆半径的大小 4 dr s O vR E a O r 解：电荷面密度为s的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 E=s / (2e0) 2分 以图中O点为圆心，取半径为rrdr的环形面积，其电量为 dq = s2prdr 2分 它在距离平面为a的一点处产生的场强 sardr dE= 2分 223/22e0(a+r)则半
10、径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 E=sa2e0Rrdr0(a2+r2)3/2 =1-2e0saa+R22 2分 由题意,令E=s / (4e0)，得到R3a 2分 8.15真空中一立方体形的高斯面,边长a0.1 m，位于图中所示位置已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0常量b1000 N/(Cm)试求通过该高斯面的电通量 y y a 1 E1 x 2 E2 O z a a a O a 2a x 解： 通过xa处平面1的电场强度通量：F1 = -E1 S1= -b a3 通过x = 2a处平面2的电场强度通量： F2 = E2 S2 = 2b a3 其它平面的电场强
11、度通量都为零因而通过该高斯面的总电场强度通量为F = F1+ F2 = 2b a3-b a3 = b a3 =1 Nm2/C 8.16图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： Exbx，Ey0, Ez0 高斯面边长a0.1 m，常量b1000 N/(Cm)试求该y 闭合面中包含的净电荷(真空介电常数e08.8510-12 2-1-2CNm ) 解：设闭合面内包含净电荷为Q因场强只有x分量不 a 为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不O x 为零由高斯定理得：-E1S1+ E2S2=Q / e0 ( S1 = S2 =S ) 则 Q = e0S(E2- E1) = e0S
12、b(x2- x1) a a a z 23-12 = e0ba(2aa) =e0ba = 8.8510 C v8.17实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100 vN/C；在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C v (1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均5 体密度； (2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度(已知：真空介电常量e08.8510-12 C2N-1m-2) E1hDSSEE2 (1) (2)解：(1)
13、 设电荷的平均体密度为r，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面DS平行地面)上下底面处的场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电场强度通量为： vvdSE2DS-E1DS(E2-E1) DS 2分 E高斯面S包围的电荷qihDSr 1分 由高斯定理(E2E1) DShDSr /e 0 1分 r=1he0(E2-E1 )4.4310 C/m 2分 -133 (2) 设地面面电荷密度为s由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) 。由高斯定理 v1vEdS=e0qi-EDS=1e0sDS s =e 0 E8.910-10 C/m3 8.18 图示一厚度为d的“无限大”均
14、匀带电平板，电荷体密度为r试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即Ex图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板) S1 O E1 x 2x S2 E2 E1 E2 x x 解：由电荷分布的对称性可知在中心平面两侧离中心平面相同距离处场强均沿x轴，大小相 d 等而方向相反 在板内作底面为S的高斯柱面S1, 两底面距离中心平面均为x, 由高斯定理得 E12S=r2xS/e0 6 则得 E1=rx/e0 即 E1=rx/e0 -1dxd 4分 221rd2e0Ex d/2 -x 在板外作底面为S的高斯柱面S2两底面距中心平面均为x，由高斯定理得 E22S=rSd/e0 1则
15、得 E2=rd/(2e0) xd 2-d/2 O rd2e0即 E2=rd/(2e0) x11d， E2=-rd/(2e0) x电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功 RAvpB解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势 vv3 U=pr/(4pe0r) 2分 式中r为从电偶极子中心到场点的矢径于是知A、B两点电势分别为 2 UA=-p/(4pe0R) v2 UB=p/(4pe0R) (p=p) q从A移到B电场力作功(与路径无关)为 2 A=q(UA-UB)=-qp/(2pe0R) 3分 8.31已知某静电场的电势函数U=-x+y分量值 解：由场强与电势梯度的关系式得
