电磁学课后部分习题答案解析.docx

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1、电磁学课后部分习题答案解析物理电气信息学院 精品课程电磁学 电磁学课后部分习题答案解析 1.2.2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q.在两者距离一定的前提下，他们带电荷量各为多少时相互作用力最大？ 解答：设一个点电荷的电荷量为q1=q,另一个点电荷的电荷量为q2=(Q-q),两者距离为r,则由库仑定律求得两个电电荷之间的作用力为 F=q(Q-q)4pe0r2令力F对电荷量q的一阶导数为零，即 得 q1=q2=即取 q1=q2=Q2dFdq=(Q-q)-q4pe0r2=0 Q2 时力F为极值，而 dFdq2q2=Q22Q2=-24pe0r20 故当 q1=q2= 时，F取最大值 1.2.6 两个

2、电荷量相等的同性点电荷相距为2a，在两者连线的中垂面上置一试探点电荷q0, 求q0受力最大的点的轨迹. 解答: 如图(a)所示,设有两个电荷量为q的点电荷 ,坐标分别为(-a,0,0)和(a,0,0),试探点电荷q0置于二者连线的中垂面Oyz上坐标为(0,y,z). rrrr=yj+zk 为原点O至试探点电荷q0的失径,距离为r=y+z22 ,如图(b)所示. 物理电气信息学院 精品课程电磁学 根据对称性, 所受合力的方向与失径r平行或反平行.其大小为 F=2kq0qr+a22sina=2kq0qr(r2+a2)32求上式的级值,去F对r的一阶导数并令其为零,的方程 -3r+(r+a222)=

3、0 求得 r=2a22a2求二阶导数并带入r=,得 -7dF dr2说明此时F取极大值 r=2a22=-12akqq0r(a+r222)20 因此,q0受力最大的点的轨迹是在中垂面上的圆心坐标为(0,0,0)半径为2a2的圆. 1.3.6 附图中均匀带电圆环的半径为R,总电荷量为q (1)求数轴线上离环心O为xur处的场强E (2) 轴线上何处场强最大?其值是多少? (3)大致画出E-x曲线. 解答:设圆环的带电线密度为 h=q2pR物理电气信息学院 精品课程电磁学 如图(a)所示,圆环一小段dl到轴上一点P的距离为r,即有dq=hdl, cosa=xr,该小段对P点产生的场强大小为 dqr2

4、 dE=k=khdlr2ur根据对称性,P点场强仅有x分量, dE在x轴的分量大小为 dEx=dEcosa=khxdl(R2+x2)232E=dEPx=khx(R2+x2)32pR=2hRx2e0(R+x2)3=2qx4pe0(R+x22)32点场强为 urE=qx4pe0(R+x22)23ri2应求dEdx并令其值为0，求得当x=R2dE，E取极值，而2dx2x=R22R)为半径作一高斯面,它包围的电荷量为 q(R)=r0pR( 求的球外的场强为 3urr0Rrer 2 E外=12e0r343-1)=r0pR33urur (2)显然, E外不从在极值现求E内的极值,令 dE内23dr=r03

5、e0(1-3r2R)=0 即当r=urR时. E内取极值.又因 dE内dr2r=2R32 故场强最大值 =-r02e0R0 物理电气信息学院 精品课程电磁学 urr0RrE=er max9e01.4.8在球心为O 半径为a、电荷体密度为的均匀带电体内偏 心挖去一个半径为b 的小球(球心为o),如附图所示. (1) 试怔空心内存在均匀电场并写出场强表达式； 解答: 图为挖空腔,T为空腔这任意一点,空腔这电荷分布可看作电荷体 密度为r的实心均匀带电球再偏心位置处加上一个电荷体密度为-r的均匀带电ur的叠加结果.因此.空腔这任意T 的场强E应该等于一个电荷体密度为r的均匀urur带电球在T点产生场强

6、E与电荷密度为-r的均匀带电球产生的场强Er与urE-r均可利用高斯定理求得, 即 urururrr2rr1ur Er=，E-r=- 3e03e0urur式中: r1为从大球圆心o指向T点的矢径; r2为从圆心o指向T点的矢径. 空腔中任意点 T的场强为 urururrurrurr(r1-r2)=c E=Er+E-r=3e03e0物理电气信息学院 精品课程电磁学 因T点为空腔中任意一点,c为一常矢量,所以空腔内为一均匀电场 M点为大球内一点,根据叠加原理得 33urrbar-2er EM=23e0(rM+c)rMP点为大球外一点,根据叠加原理得 3urrrbEP=-rPer 23e0(rP+c

7、)1.6.3附图中A与O，O与B，B与D的距离皆为L，A点有正电荷q，B点有负电荷-q。 把单位正点电荷从O点沿半圆OCD移动到D点，电场力做了少功？ C 将单位正点电荷从D点移到无穷远处电场力所做的功为多少？ 解答：1）单位正电荷位于A点正电荷和B点负电荷的场中，它在O点所具有的电势能为 WO=kqL+k-qL=0 同理，它在D所具有的电势能为 WD=kq3L+k-qL=-q6pe0L将单位正电荷从O点移到D点电场力所做的功与路径无关，则 AO=WO-WD=q6pe0LD2）因为将单位正点电荷从D点移到无穷远处电场力所做的功为： A+=WD-W=-q6pe0L-0=-q6pe0L则单位负点电

8、荷从D点移到无穷远处电场力所做的功为 A-=-A+=q6pe0L1.6.6求1.4.8题中O,O,P,M各点的电势。物理电气信息学院 精品课程电磁学 解答:均匀电荷密度为r的实心大球的电荷量Q=r的电荷量q=-r 4p3b34p3a3挖去空腔对应小球电荷密度为r的大球在M点的电势为 Vr(rM)=Q4pe0rM=r3e0a3rM电荷密度为-r的小球在M点的电势为 V-rrM()=Q4pe0(rM+C)=-rb33e0(rM+C)则M点的电势为 3ra VM=V r(rM)+V-r(rM)=-3e0rMrMb +c3电荷密度为r大球在P点的电势为 auurrurrr22Vr(rP)=E内*dr+

9、E*dr=3a-rp)( 6e0rPa 电荷密度为-r小球在P点的电势为 V-r(rP)=-r3e0b3(rp+c) P点的电势为 VP=Vr(rP)+V-rrP()=3a-rp6e0r22- rM+c2b3电荷密度为r大球在O点的电势为 物理电气信息学院 精品课程电磁学 auur2rurr(-r)a2ra2raVr(rO)=E内*dr+E*dr=-= 6e06e02e0rOa电荷密度为-r的小球在O点的电势为 burV-r(rO)=Ecrur-r内*dr+Eb2r-r-rb22-r外*dr=b-c)+(6e03e0 22-rbc- = 3e022 电荷密度为r大球在O点的电势为 auurru

10、rrr222，()Vrro=E内*dr+E*dr=3a-3b+c() 6e0ca 电荷密度为-r小球在O点的电势为 bur， V-r(ro)=EcOrur-r内*dr+Ebr-ra2-ra2-rb2-r外*dr=-= 6e03e02e0点的电势为 ，VO=Vr(ro)+V -rro()=，r6e0(3a-3b-c222) 2.1.3 3块平行金属板A、B、C构成平行板导体组.以S代表各板面积，x及d分别代表A、B之间及B、C之间的距离.设d小到各板可视为无限大平板.令B、C板接地，A板电荷量为Q，略去A板的厚度，求： B、C板上的感应电荷； 空间的场强及电势分布. 解答： 设各板表面的面密度由

11、左至右电荷为s1，s2，s3，s4，s5，s6 即有s2=-s3,s4=-s5.由于B、C板接地，故两板的外侧电荷面密度s1=s6=0.设A、B板的距离为x，则A、C间物理电气信息学院 精品课程电磁学 的距离为d-x，因UAB=UAC，故有 Ex=E(d-x) 式中： E=得 s3e0=-s2e0-s2， E=s4e0s4=d-xx因 s4=联合解得 s2=从而知 QS-s3=QS+s2 xSdx-dSdQ, s4=Q s5=-求得B板的电荷 xSdQ qB=q2=C板的电荷 x-ddQ qC=q5=-各区的场强分别为 xdQ urrurururxd-xrQeAC QeAB，E= E=E=0，

12、 E=e0Sde0Sd设r为A到场点的距离，则各区的电势分别为 V=V=0，V=d-xe0SdQ(x-r)，V=xe0SdQ(d-x-r) 2.1.5 半径为R的金属球经电压为U的电池接地，球外有一与球心距离为2R的点电荷q，求球面上的感应电荷q。 解答:金属球内为等势区,电势值为U.面上 各点的感应电荷面密度s分布不均匀, 物理电气信息学院 精品课程电磁学 设球上电荷的总电荷量为q,取球心O,该点的电势为所有电荷在该点电势的总贡献,按电势叠加原理 U=U0=q4pe0(2R)4pe+sdS0R=q4pe0(2R)+q4pe0R解得 q=4pe0RU-q22.2.3 半径为RA的金属球外罩一同

13、心球壳金属球壳B，球壳极薄，内外半径均可看作RB，已知AB的电荷分别为QA和QB。 求A的表面S1及B的内外表面S3S3的电荷q1q2q3； 求A和B的电势VA和VB； 将球壳B接地，再回答两问； 在问之后将球A接地，再回答两问； 在问之后在B外再罩一个很薄的同心球壳C，再回答两问，并求C的电势VC。 解答: (1)A的表面S1及B的内外表面S2、S3的电荷量q1、q2、q3分别为 q1=QA,q2=-QA,q3=QA+QB 用场强E积分求A的电势VA，即 VA=RBQAdr+R24pe0Ar1RBQA+QBr2QQ1dr+=(A+B) RB4pe0RA 球壳B的电势VB14pe0urQA+Q

14、Brer可用球壳场强E外=24pe0rRB沿径向积分求得 VB=QA+QBr2dr=QA+QB 4pe0RB1将球壳B接地后，导体A的表面S1及B的内、外表面S2、S3的电荷量q1、q2、q3分别为 q1=QA,q2=-QA,q3=0 可求得导体A的电势为 VA=14pe0RA(1-1RB) 物理电气信息学院 精品课程电磁学 因导体壳B接地，故B的电势为 VB=0 (4)在问之后将导体A接地后，球A的表面S1及B的内外表面S2、S3的电荷量q1、q2、q3分别为 q1=QA,q2=-QA,q3=QA+QB 根据电势叠加原理，有 VA=0=k(QARA-QARB+QA+QBRB)=k(QARA+

15、QBRB) 解得 q1=QA=-RARBQB B的内外表面S2、S3的电荷量分别为 q2=QBRBRARBQB q3=QB+q1=A的电势为 VA=0 B的电势为 VB=q34pe0RB=(RB-RA) QB(RB-RA)4pe0RB2在问之后在B外再罩一个很薄的同心金属球壳C后，A的表面S1及B的表面S2、S3的电荷量q1、q2、q3不变.由于同心金属球壳C的存在,球壳C的内、外壁的电荷量分别为-q3和q3.因此按电势叠加原理，金属球壳C的存在对A和B的电势的贡献均为0.VA和VB分别为 VA=14pe0(QARA-QBRB) VB=QA+QB4pe0RB物理电气信息学院 精品课程电磁学 球

16、壳C的外壁的电荷量为q3=QA+QB，故球壳C的电势为 VC=2.3.2 QA+QB4pe0Rc(1) (2) (3) 平板电容器两极板A、B的面积都是S，相距为d. 在两板间平行放置一厚度为x的中性金属板C，则A、B仍可看作一个电容器的两极板.略去边缘效应. 求电容C的表达式; 金属板离极板的远近对电容C有无影响？ 设末放金属板时电容器的电容C0=600uF，两极板间的电势 d4差为10V，A、B不与外电路连接，求放入厚度x=的金属板后的电容C及两板间的电势差U. 解答:(1)平行放置一厚度为x的中性金属板后,在金属板上、下将出现等值异号的感应电荷，电场仅在电容板极与金属板之间，设电荷面密度

17、为s0，电场为E=s0e0A、B间电压为 UAB=s0e0Q0(d-x)=(d-x) e0SQ0 A、B间的电容C为 C=UAB=e0Sd-x (2)金属板离极板的远近对电容C没有影响. 设未放金属板时电容器的电容为 C0=e0Sd放金属板后，板间空气厚度为 d-x=d-此时电容器的电容为 d4=3d4物理电气信息学院 精品课程电磁学 C=e0S3d4=43C0=800uF由于A、B不与外电路连接，电荷量Q0不变，此时A、B间电压为 UAB=Q0C=UABC0C=7.5V 2.5.2 3个点电荷的相对位置，计算： 各对电荷之间的相互作用能； 该电荷系统的相互作用能。 解答：将3个电荷分别编号为

18、1.2.3，如图2.5.2所示。 按定义 VVV21=kqa,V,V12=k-qa-q2a a231=k=k-q2aqa13=k23,V32=k-q电荷1与电荷2之间的相互作用能为 W12=121(qV+21qV2)=12-q4pe0a电荷1与电荷3之间的相互作用能为 W13=121(qV+31qV2)=13q28pe0a电荷2与电荷3之间的相互作用能为 W23=12(q2V32+q2V23)=-q24pe0a物理电气信息学院 精品课程电磁学 (2)电荷系统的相互作用能为 W123=W12+W+23W=-3q1328pe0a2.5.4一均匀带电体(非导体)半径为R,总电荷量为Q,求其静电能.

19、解答: 均匀带电体的电荷体密度r=Q4pR3R3 ,距球心 r 处的电势为 V(r)=rurrE内*dr+RurrE外*dr=R3errrr0dr+Rrr22dr=-r-3R() 23e0r6e0rR3均匀带电球的静电能为 W=121r4pR3Q2222rVdV=3R-rrsinqdrdqdj=r=)(26e015e020pe0R523.2.1.偶极距为p的偶极子处在外电场E中: (1) 若E是均匀的,p与E的夹角为何值时电偶极子达到平衡?此平衡是稳定平衡还是不稳定平衡? 图3.2.1 (2) 若E是不均匀的,电偶极子能否达到平衡? 解答: (1) 如图3.2.1所示,偶极子的电荷量q 和-q

20、所受的电场力分别为qE 和-qE,大小相等,合力为0,但所受的力矩为 M=pE 当且仅当=0和=时,电偶极子的力矩为0,达到平衡状态,但在 =0的情况下稍受微扰,电偶几极子将受到回复力矩回到平衡位置上 因此, =0时,是稳定平衡,但在=的情况是不稳定平衡. (2)若E不均匀,一般情况下,偶极子的电荷量q 和-q所受的电场 力不 0,电场力将使偶级帐子转向至偶极矩p 与场强E平行的情况由 于电场不均匀,偶极子所受的合力不为0,因此,偶极子不能达到平衡 状态 3.4.2 附图中A为一块金属，其外部充满电介质，已知交界面某一点的极化电荷面密度为，该点附近电介质的相对介质常量为r求该点的自由电荷面密度

21、o. 解答： 紧靠导体A表面的极化电荷面密度与该处的极化强度矢量关系为 urP在导体面法线上的投影为Pn的s=-Pn 物理电气信息学院 精品课程电磁学 r式中：法线en的方向为导体的外法线方向. urururur利用关系P=e0cE与D=e0erE,得 s=-e0cDne0er=-cDner紧邻该导体面S作一贯通导体表面的小柱面，根据电介质中的高斯定理可证得紧靠导体A的表面电介质的电位移矢量在导体面的外法线投影 Dn从而有 s=-c解得 s0=s0 s0er=-(er-1)s0erer(1-er)s 3.5.3平板电容器两极板相距为d，面积为S，其中放有一层厚度为t ,相对介点常量为r的均匀电

22、介质，电介质两边都是空气。设两极板间电势差为U，略去边缘效应。 ururur求：电介质中的电场强度E，电位移D和极化强度P； ：极板上自由电荷的绝对值q0; ur (3 ) :极板和电介质间隙中的场强E空; (4 ):电容C. 解答: ：介质板用“2”标记，其余空气空间用“1”r标记，单位en方向为由高电势指向低电势，两极间的电势差 E2nl+E1n(d-l)=Uur无论在空间1还是在2中，其电位移矢量D相等，故有 e0E1n=Dn=e0erE2n 得 E1n=erE2n 物理电气信息学院 精品课程电磁学 即 解得 uurE2=U(1-erl)+erde0erUren ren uuruur D

23、1=D2=(1-er)l+erdurure0(er-1)Uren P2=e0cE2=(1-er)l+erd (2)因s0=Dn，故极板上自由电荷的电荷量为 q0=(1-er)l+erdurur(3)极板和介质间隙中的场强E空=E1，故 s0S=e0erUS (4)电容为 urE空=erU(1-erl)+erde0erSren C=q0U=(1-er)l+erd 3.7.2 将半径为R 、电荷量为q0的导体置于绝对介电常数为 的均匀无限大电介质中,求电介质内任一点的能量密度. 解答: 距球心r处的电位移矢量和电场能量强度分别为 urD= q04pr2rurer, E=q04per2rer 电介质

24、内任一点的能量密度为 21ururq0DE= we=24 232per4.3.2 用电阻率为r的金属制成一根长度为L、底面半径分别为a和b的赘台导体 4.4.7 物理电气信息学院 精品课程电磁学 求它的电阻； 试证当a=b时，答案简化为rLS. 解答：按电阻定义 dl dR=rpr2因长度l是半径r的函数，故 l=rcoat=rLb-a dl=Ldrb-a元电阻为 dR=rLdrp(b-a)r2求得锥台形导体的电阻为 rLb R=p(b-a)drra2r=Lpa b当a=b时，电阻为 R=rlpa2=rLS求附图中A、B、D、E各点的 电势. 解答： 因e1的支路被导线短路，故加在电阻R2与R

25、4串联的电路两端电压就是电池e2的端电压，因电池e2的负极接地，A点的电势为 物理电气信息学院 精品课程电磁学 VA=I4R4=R4e2R2+R4从图中可见e3、e2的负极及e1的正极接地，故 VB=e3，VD=e2，VE=-e1 4.5.1附图e1=12V,e2=2V,R1=1.5W,R3=2W,I2=1A,求电流I1、I3及R2的阻值. 解答: 列出节点方程及选两个网孔的闭合回路的电流正方向为顺时针方向,得 I3=I2-I 1 e1=I1R-1I3R 2e2=-I2R-I3R 代入数据,解得 I1=4A，I2=-3，AR2=4 WI3的电流方向与图中设定的正方向相反. (a) 5.2.4截

26、流导线形状如附图所示(直线部分伸向无限远),求O点的B. 解答： 设两直线截流导线在O点激发的磁场分别为B1和B2,圆弧截流导线在O点激发的磁场为B3,则 物理电气信息学院 精品课程电磁学 uuruurrm0I-k B1=B2=4pR()uurm0Ir-i B3=4R()故合磁场为 uruuruuruurm0I1r1r=- B=B1+B2+B3i+k 2R2p磁场大小为 B=(b) m0I2R14+1p2=m0I4pRp+4 2设平行x轴的直线截流导线在O点激发的磁场为B1,平行z 轴的直线截流导线在O点激发的磁场为B2,圆弧截流导线在O点激发的磁场为B3,则 uurrm0IB1=-k4pR(

27、) uurrm0IB2=-i4pR() ()uurrm0I-i B3=4pR故合磁场为 uruuruuruurrrm0I(1+p)+ik1+B2+B3=- B=B 4pR磁场大小为 B=(c) m0I4pR2+2p+p2 设平行x轴正方向的直线截流导线在O点激发的磁场为B1, 平行x轴负方向的直线截流导线在O点激发的磁场为B2,圆弧截流导线在O点激发的磁场为B3,则 uurrm0I-k B1=4pR()物理电气信息学院 精品课程电磁学 uurrm0I-j B2=4pR()uur3m0Ir-i B3=8R()故合磁场为 uruuruuruurm0I3r1r1rB=B1+B2+B3=-i+j+k

28、4R2ppm0I4R29磁场大小为 B= 2p48pR5.2.10 附图中的A、C是由均匀材料制成的铁环的两点，两根直长截流导线从、C沿半径方向伸出，电流方向如图所示。求环心处的磁场。 解答： 设在铁环的优弧长度l1的电流为I1，劣弧长度l2的 电流为I2，因为电阻与长度成正比，所以有 I1I2=l1l2 或 l1I1=l2I2 +=m0I8+9p2电流I1与I2在O点产生的磁场分别为 B1=m0I1l12R2pR ， B2=m0I2l22R2pR5.3.2 由此得 B1=B2 电流I1与电流I2流向相反，因此二者在O点产生的B1与B2方向相反，故 B=B1+B2=0 两无限长截流直导线与一长方形框架共面 ，已知a=b=c=10cm，l=10m，I=100A 求框架的磁通量。 解答： 左、右侧电流I在长方形框架产生的磁通量分别为 F1与F2，设框架面积的法线方向取垂直纸面向里，因a=c，则有 物理电气信息学院