电路习题.docx

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1、电路习题第十章 含有耦合电感的电路 耦合电感是线性电路中一种重要的多端元件。分析含有耦合电感元件的电路问题，重点是掌握这类多端元件的特性，即耦合电感的电压不仅与本电感的电流有关，还与其它耦合电感的电流有关，这种情况类似于含有电流控制电压源的情况。 分析含有耦合电感的电路一般采用的方法有列方程分析和应用等效电路分析两类。考虑到耦合电感的特性，在分析中要注意以下特殊性： 耦合电感上的电压、电流关系式与其同名端位置有关，与其上电压、电流参考方向有关。认识这一点是正确列写方程及正确进行去耦等效的关键。 由于耦合电感上的电压是自感电压和互感电压之和，因此列方程分析这类电路时，如不做去耦等效，则多采用网孔

2、法和回路法，不宜直接应用结点电压法。 应用戴维宁定理分析时，等效内阻抗应按含受控源电路的内阻抗求解法。但当负载与有源两端网络内部有耦合电感存在时，戴维宁定理不便使用。 101 试确定图示耦合线圈的同名端。 题101图 解: 耦合线圈的同名端是这样规定的：当电流分别从两线圈各自的某端同时流人时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为耦合线圈的同名端。 根据同名端的定义，图中，假设电流i1，i2分别从端子1和端子2中流入，按右手螺旋法则可得，i1产生的磁通链方向与i2产生的磁通链方向相反如图所示，显然它们互相“削弱”，所以判定端子1与端子2为异名端，那么，同名端即为(1,2)或(1,2)。 对图，分析

3、过程同图。判断同名端为：(1,2)，(1,3)，(2,3)。 102 两个具有耦合的线圈如图所示。 标出它们的同名端；当图中开关S闭合时或闭合后再打开时，试根据毫伏表的偏转方向确定同名端。 题10-2图 解：根据同名端定义和两个线圈的绕向采用题101中的分析方法，判定同名端为，如题102图中所示。 图示电路是测试耦合线圈同名端的实验线路。当开关S迅速闭合时，线圈1中有随时间增大的电流i1从电源正极流入线圈端子1，这时di1(1)dt0，则毫伏表的高电位端与端子1为同名端。当开关S闭合后再打开时，电流i1减小，毫伏表的低电位端与端子1为同名端。 注：从耦合线圈同名端的规定可以得出如下含意耦合线圈

4、的同名端只与两线圈的绕向及两线圈的相互位置有关，与线圈中电流参考方向如何假设无关；当两电流均从同名端流入，两线圈中的磁通是相助的，两线圈上的自感压降和互感压降方向一致。正确理解同名端的含意，对正确判定耦合线圈的同名端和正确书写耦合线圈上的电压、电流关系式是至关重要的。 103 若有电流i1=2+5cos(10t+30o)A，i2=10e-5tA，各从题101图所示线圈的1端和2端流入，并设线圈1的电感L1=6H，线圈2的电感L2=3H，互感为M=4H。试求：各线圈的磁通链；端电压u11和u22；耦合因素k。 解：如上面题101图所示的耦合线圈，设电流i1和i2分别从各自线圈的1端和2端流入按右

5、手螺旋法则有，i1产生的磁通链方向和i2产生的磁通链方向如图所示。 耦合线圈中的磁通链是自感磁通链和互感磁通链的代数和，所以，根据题101图所示的磁通链方向，有 y1=y11-y12=L1i1-Mi2 =12+30cos(10t+30o)-40e-5tWb y2=-y21+y22=-Mi1+L2i2o-5t =-8-20COS(10t+30)+30eWb由上述可得端电压 u11=dy1dtdydt2=L1dt1dt-Mdi2dt=-300sin(10t+30)+200eoo-5tVu22=-Mdi1dt+L2dt2dt=200sin(10t+30)-150e-5tV根据耦合因素k的定义，有 k

6、=ML1L2=432=0.943注：本题求解说明，当两电流从异名端流入时，两线圈中的磁通相消，自感压降与互感压降异号。 104 能否使两个耦合线圈之间的耦合系数k=0。 解：可以。因为两个线圈之间的耦合系数k=ML1L2是反映两线圈耦合的松紧程度的。由k的表达式可以看出：0k1，若k=0，说明两线圈之间没有耦合；若k=1，称两线圈完全耦合。k的大小与线圈的结构、两线圈的相互位置以及周围磁介质有关。因此，把两个线圈靠得很紧或密绕在一起，如题解104图所示，则，则k1；反之，若使两个线圈相距很远，或按图所示放置，则k值就可能很小，甚至接近于零。由此可见，改变或调整两个线圈的相互位置可以改变k的大小

7、，当电感L1和L2一定时，也就是改变了互感M的大小。 题解104图 105 图示电路中L1=6H，L2=3H，M=4H。试求从端子1-1看进去的等效电感。 解：题105图示的去耦等效电路或原边等效电路如题解105图所示。 由题解105图所示的去耦等效电路，可求得从端子1-1看进去的等效电感为 Leq=(L1+M)+(L2+M)/(-M)=10+7/(-4)=0.667H 由题解105图所示的等效去耦等效电路，可求得从端子1-1看进去的等效电感为 Leq=(L1-M)+(L2-M)/M=2+(-1)/4=0.667H题105图 题解105图 原题105图所示电路可有两种等效电路，一是如题解105

8、图所示的去耦等效电路；二是如题解105所示的原边等效电路。分别求解如下： 图电路，有 Leq=(L1-M)+M/(L2-M)=2+4/(-1)=0.667H图电路中，(wM)jwL22=-jwML22，则等效电感为 ML22 Leq=L1-=6-163=0.667H 同理原题105图所示电路也有两种等效电路，一是如题解105图所示的去耦等效电路；二是同上面中的题解105图所示的原边等效电路，故求解结果相同。对图去耦等效电路，求得从端子1-1看进去得等效电感为 Leq=(L1+M)+(-M)/(L2+M)=10+(-4)/7=0.667H注：耦合电感的去耦等效是分析含耦合电感电路的一种常用方法，

9、它主要有：耦合电感串联去耦两端等效和T型去耦多端等效；用受控源表示耦合关系；原边等效电路法。应用去耦等效方法时应当明确： 去耦等效是对耦合电感端子以外的电压、电流、功率的等效； 其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数L1，L2和互感系数M有关，而且与同名端的位置有关。如耦合电感串联去耦等效分顺接，有Leq=L1+L2+2M和反接，有Leq=L1+L2-2M两种情况，耦合电感的T型去耦等效分同名端同侧联接，(c)图）和异侧联接，图）两种情况。 106 求图示电路的输入阻抗Z(w=1rads)。 题106图 解：题106图示电路的原边等效电路和去耦等效电路如题解106图所示。 题解106图 题解

10、106图所示的原边等效电路中，Z22=1+j2W，故输入阻抗为 Z=jwL1+(wM)Z222=j+11+j2=(0.2+j0.6)W 由题解106图所示的去耦等效电路，可得 Z=-j1+(j2)/(j5-j10.2)=-j1W(3)题解106图所示的串联去耦等效电路中，等效电感为：Leq=2+3-4=1H，且w= 107 图示电路中R1=R2=1W，wL1=3W，wL2=2W，wM=2W，U1=100V。求：开关s打开和闭合时的电流I&1；S闭合时各部分的复功率。 1LeqC=1rads，故此电路处于并联谐振状态，则输入阻抗为Z=。 题10-7图 &=1000oV，解：本题可用去耦等效电路计

11、算。等效电路如题解107图所示，设U1则 题解10-7图 开关S打开时 I&1=&U1R1+R2+jw(L1+L2+M)10002+j9o =1009.2288.47oo =10.85-77.47A开关S闭合时 I&1=&U1R1+jw(L1+M)+R2+jw(L2+M)/(-jwM)1000o =1+j5+(1+j4)/(-j2)=43.85-37.88 Ao开关S闭合时电源发出的复功率为 &I&*=10043.8537.88o=438537.88o VA S=U11&=0，则线圈1上的电压U&=U&，故 因此时，线圈2被短路，其上的电压ULL121线圈2吸收的复功率为：SL=0 2线圈1吸

12、收的复功率为：SL=S=438537.88o VA 1108 把两个线圈串联起来接到50Hz，220V的正弦电源上，顺接时得电流I=2.7A，吸收的功率为218.7W；反接时电流为7A。求互感M。 解：按题意知：Us=220V，w=2pf=314rads，则当两个线圈顺接时，等效电感为：L1+L2+2M等效电阻为 R=PI2=218.72.72=30WUSI2则总阻抗为 R2+w2(L1+L2+2M)2=故 w(L1+L2+2M)=(2202.7)-302=2202.7=75.758 而当两个线圈反接时，等效电感为：L1+L2-2M 。 则总阻抗为 R2+w2(L1+L2-2M)2= 故 w(

13、L1+L2-2M)=(22072UsI=2207)-302=9.368 用式减去可求得： M=75.758-9.3684w=52.86mH本题给出了一种测量计算两线圈互感系数的方法。 109 电路如图所示，已知两个线圈的参数为：R1=R2=100W，L1=3H，L2=10H,M=5H,正弦电源的电压U=220V，w=100rads。 试求两个线圈端电压，并作出电路的相量图； 证明两个耦合电感反接串联时不可能有L1+L2-2M0； 电路中串联多大的电容可使电路发生串联谐振； 画出该电路的去耦等效电路。 题10-9图 解：图示电路中的两个耦合线圈为反接串联，所以其等效电感为：Leq=L1+L2-2

14、M=3H。 &=2200oV，故电流I&为 令U I&=&UR1+R2+jwLeq=2200o200+j300=0.61-56.31 o&和U&的参考方向如图所示，则 两个线圈端电压U12&=R+jw(L-M)I&=(100-j200)0.61-56.31o U111 =136.4-119.74oV &=R+jw(L-M)I&=(100+j500)0.61-56.31o U222 =311.0422.38oV 电路相量图如题解109图所示。 题解109图 只要证明两个耦合电感反接串联时，有L1+L2-2M0即可。证明如下 因为 (L1-L2)20，故L1+L2-2L1L20 即 L1+L22L

15、1L2 又根据耦合因数k=ML1L21，即ML1L2 所以 L1+L22M，或L1+L2-2M0 因为串联谐振的条件是：wLeq-11100321wC=0,即w2=1LeqC所以 C=wLeq2=33.33mF 该电路两个耦合线圈是反接串联，所以去耦等效电路如图所示。 1010 把109中的两个线圈改为同侧并联接至相同的电源上。 此时要用两个功率表分别测量两个线圈的功率，试画出它们的接线图，求出功率表的读数，并作必要的解释，画出电路的相量图；求电路的等效阻抗。 解：按题意，可画出题解1010图所示的电路接线图。功率表的读数即为每个线圈所吸收的有功功率P。 &=2200oV，设各之路电流相量如图

16、所示，列出KVL方城为 令U& (R1+jwL1)I&1+jwMI&2=U& jwMI&1+(R2+jwL2)I&2=U代入参数值，得 (100+j300)I&1+j500I&2=2200o j500I&1+(100+j1000)I&2=2200o 解之 题解1010图 220j500100+j1000j500100+j1000=0.825-28.41A o I&1=220j500100+j300220-(100+j300)I&1o&=0.362-170.56A I2=j500两功率表的读数分别为 P1=UI1cosj1=2200.825cos28.41o=159.64 W P2=UI2cos

17、j2=2200.362cos170.56=-78.56 Wo两功率表的读数中出现一负值，这是由于互感的相互作用，使得某一之路出现了电压与电流之间的相位差角大于90o，故会出现有功功率为负值的情况。 电压相量图如图所示。 电路的等效阻抗Zeq为： Zeq&UU220o=37750.8Wo&+I&I&I0.583-50.812另一求解等效阻抗Zeq的方法是将题解1010图电路中的互感消去，即变为T型去耦等效电路，然后再用阻抗的串、并联公式进行求解。这里从略。 1011 图示电路中M=0.04H。求此串联电路的谐振频率。 题1011图 解：该电路的耦合电感为顺接串联，所以其等效电感Leq为 Leq=

18、L1+L2+2M=0.1+0.4+0.08=0.58 H 故，此串联电路的谐振频率为 w0=1LeqC=10.580.001=41.52 rads 1012 求图示一端口电路的戴维宁等效电路。已知wL1=wL2=10W，wM=5W，R1=R2=6W，U1=60V。 题1012图 解：本题可用下述两种方法求解。 解法一： &=U&=jwMI&+RI& +R2I UocM211121式中第一项是电流I&1在L2中产生的互感电压，第二项为电流I&1在电阻R2上的电压。而电流 I&1=&U1R1+R2+jwL1&=U0o=600oV，则可得 若令U11&= Uoc&=6+j5600o=300o VU1

19、R1+R2+jwL112+j10R2+jwM对于含有耦合电感的一端口，它的戴维宁等效阻抗的求法与具有受控源的电路完全一样。这里采用题解1012图所示的方法，先将原一端口中的独立电压源以短路&，用网孔电流法，其方程为 线代替，再在端口1-1处置一电压源U& (R2+jwL2)I&m1-(R2+jwM)I&m2=U -(R2+jwM)I&m1+(R1+R2+jwL1)I&m2=0 题解1012图 解得电流 I&m1=&(R1+R2+jwL1)U(R2+jwL2)(R1+R2+jwL1)-(R2+jwM)2且有I&=I&m1，根据等效阻抗的定义，则有 .ZeqU=.=IR2+jwL2-2(R2+jw

20、M)2R1+R2+jwL1=6+j10-(6+j5)12+j10=(3+j7.5)W该一端口的戴维宁等效电路如题解1012图所示。 解法二: 用图所示的去耦等效电路计算。 &为 &=600oV，则开路电压U令Uoc1&= Uoc&(R2+jwM)U1R1+R2+jw(L1-M)+jwM =等效阻抗Zeq为 (6+j5)6012+j10o=300 V Zeq=jw(L2-M)+R1+jw(L1-M)/(R2+jwM) =j5+(6+j5)/(6+j5)=(3+j7.5) W 注：从本题的解法一中可以看出：含耦合电感的电路具有含受控源电路的特点；在耦合电感的电压中必须正确计入互感电压的作用。一般情

21、况下，耦合电感的电压不仅与本电感的电流有关，还与其它耦合电感的电流有关，是电流的多元函数。所以，分析计算含有耦合电感电路时，应当注意到上面的两个特殊性。 wM=8W，1013 图示电路中图示电路中R1=1W，wL1=2W,wL2=32W，1wC=32W。求电流I&1和电压U&2。 题1013图 解法一： 用题解1013图所示的原边等效电路求电流I&1，其中，Z22=jwL2+1jwC2=j32-j32=0，即副边电路处于谐振状态。故，反映阻抗为 (wM)Z222=所以，电流I&1=0。 题解1013图 用图所示的副边等效电路求电压U&2，其中，Z11=R1+jwL1=(1+j2)W，则反映阻抗

22、为 (wM)Z112=641+j2=28.62-63.43 Wo等效电源电压为 jwM&j8ooU1=80=28.6226.57 VZ111+j2故，电压U&2为 &= U2-j32j32+28.62-63.43-j32o28.6226.57=320 V oo电压U&2的另一解法：如题1013图所示，因为I&1=0，所以，初级回路中的互感电压为 &=&，则I jwMI&2=U21&U1jwM=80j8o=-j1 A &=-故 U21jwC2&=j32(-j1)=320o VI2解法二： 原电路的T型去耦等效电路如题解1013图所示。应用网孔分析法，设网孔电流如图中所标示。网孔方程为 &+j8I

23、&=80o(1+j2)I12 &j8I1+j(24+8-32)I2=0由第2式得I&1=0，代入第1式中，解得I&2=-jA，故电压 &=-(-32j)I&=320o VU221014 已知空心变压器如图所示，原边的周期性电流源波形如图所示，副边的电压表读数为25V。 画出副边端电压的波形，并计算互感M； 给出它的等效受控源电路； 如果同名端弄错，对，的结果有无影响？ 题1014图 解：由于图中的空心变压器副边接理想电压表，视为开路，则其电流为零。副边端电压u2为互感电压，由其参考方向，可得 u2=-Mdisdt由图可写出is(t)的分段函数表达式为 1t A 0t4sis(t)=2-2t+1

24、0 A 4t5s将式代入到式中，经微分运算得电压u2为 U2M- V 0t4s=22M V 4t5s根据有效值定义，知端电压u2的有效值为 u2=1TT0u2dt=215(-04M2)dt+(2M)dt=M V 4252又已知，U2=25V，则M=25H 由式和互感M值，可画出副边端电压u2的波形如题解1014图所示。 题1014图的等效控源电路如题解1014图所示。 如果同名端弄错，对互感M值和电压表读数无影响；中的u2(t)和结果中的受控源(CCVS)的方向将相反。 题解1014图 1015 图示电路中R1=50W，L1=70mH，L2=25mH，M=25mH，C=1mF，正弦&=5000

25、oV，w=104rads。1求各支路电流。 电源的电压U题1015图 解：本题可用两种方法求解。 解法一：用耦合电感电路直接列方程求解。设各支路电流I&，I&1和I&2的参考方向如图所示，可以列出电路的KVL和KCL方程为 &-jwMI&+jwLI&-jwMI&=U&(R1+jwL1)I121&-jwMI&-jwL2I1&=I&-I& I211jwC&=0 I2代入参数值并消去I&2，可得 &-j250I&+j250I&-j250I&=5000o (50+j700)I11&-j250I&+j100(I&-I&)=0j250I11整理且解之，得 &=I&=I1&=0 I250050+j450=1

26、.104-83.66 A o题解1015 解法二： 采用如题解1015图所示的去耦等效电路求解。设各支路电流I&，I&1和I&2参考方向如图所示。图中各阻抗计算如下 jw(L1-M)=j450 W jw(L2-M)=0 jwM=j250 W； 1jwC=-j100 W 故，可求得各支路电流为 I&=I&1= &UR1+jw(L1-M)=5000o50+j450=1.104-83.66 Ao1016 列出图示电路的回路电流方程。 图1016图 解：按图示电路中的回路电流参考方向，可列出该电路的回路电流方程。 (R+jwL1+jwL2)I&l1-jwL2I&l2-jwM12(I&l1-I&l2)

27、& -jwM31I&l2-jwM12I&l1+jwM23I&l2=Us1&+(jwL+jwL+-jwL2Il1231jwC& )Il2jwM12Il1&-I&)=0(Il1l2-jwM23&-jwMIl231&+jwMIl123也可先去耦合等效再列方程。 注：在列含有耦合电感电路的回路电流方程时，必须注意两点：一是不能遗漏互感电压项；二是要正确判断互感电压的方向。为避免出错，可以像本题中那样，在图中标出各互感电压的参考方向。 1017 图示电路中L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20W，R2=0.08W，RL=42W，us=115cos(314t)V。求：电流i1；用戴

28、维宁定理求i2。 题1017图 &=解：用题解1017图所示的原边等效电路求电流i1，图中，Us1152o0 V Z22=R2+jwL2+RL=(42.08+j18.84) W (wM)Z222=462.40-24.12=(422.03-j188.96) Wo115故 I&1=&UsR1+jwL1+(wM)z22=2=220+j1130.4+422.03-j188.960o=1152o0.11062o1040.0564.85-64.85 Aoi1=0.1106cos(314t-64.85) A题解1017图 用题解1017图所示的副边等效电路求戴维宁等效电路。 图中，Z11=R1+jwL1=(

29、20+j1130.4)W；则原边回路向副边回路的反映阻抗为： (wM)Z112=18.86-88.99o=(0.332-j18.857) W。故图所示的戴维宁等效电路的开路电压和等效内阻抗分别为 &= UocjwM&j146.0111514.852ooUs=0=1.01 VZ1120+j1130.422Zeq=R2+jwL2+(wM)Z112=0.08+j18.84+0.332-j18.857 =(0.412-j0.017) W所以，由图可求得电流I&2为 14.852&=I2&UocZeq+RL=1.01o0.35022o=1.033 A42.412-j0.0172故 i2=0.3502co

30、s(314t+1.033o) A 1018 图示电路中的理想变压器的变比为10:1。求电压U&2。 题1018图 解：本题可用两种方法求解。 &，U&参考方向如图所示，列出图示电路的KVL方解法一：设电流I&1，I&2和电压U12程 &=100o I&1+U 1&+50I&=0 U 22根据理想变压器的VCR，有 &=10U&U121&I&1=-I210将方程和代入到方程中，得 -1&=100oI2+10U210&U&又由式得：I2=-2，代入到上式可得 50(1500&=100o +10)U2o&=100=0.99980o V 故 U210.002题解1018图 解法二：题解1018图为理想

31、变压器原边等效电路，图中等效电阻Req为 Req=n2RL=10050=5000 W &=故 U1Req1+Req100=9.9980 V oo又根据理想变压器VCR中的电压方程 &=10U&U12可求得电压U&2为 &=1U&=0.99980o VU2110注：理想变压器是在耦合电感元件基础上加进3个理想化条件而抽象出的一类多端元件。这3个理想化条件是：全耦合，即耦合系数k=1；参数无穷大，即L1，L2，M，但满足L1L2=常数；无损耗。在这3个条件下，可得理想变压器元件如下主要性能： 变电压。即元件的初、次级电压满足代数关系u1=级线圈匝数比）。 变电流。即元件的初、次级电流满足代数关系i

32、1=1ni2N1N2u2=nu2变阻抗。即由理想变压器初级端看去的输入阻抗为Zin=n2ZL。 理想变压器在任何时刻吸收的功率为零，是不储能、不耗能、只起能量传输作用的无记忆元件。 以上性能是分析含有理想变压器元件电路的依据。应用时需要注意以下几点： 理想变压器的变压关系式与u1，u2的参考极性及同名端位置有关。当u1，u2参考方向的“”极性端都设在同名端，有u1=nu2，否则应用u1=-nu2。 理想变压器的变流关系式与两电流i1，i2参考方向的流向及同名端的位置有关，当i1，i2的参考方向都设为从同名端流入，有i1=- 1019 如果使10W电阻能获得最大功率，试确定图示电路中理想变压器的

33、变比n。 1ni2，否则有i1=1ni2。 题1019图 解：应用理想变压器的变阻抗性质，把负载电阻折算到初级，即 Rin=n2RL=n210 初级等效电路如题解图1019图所示。根据最大功率传输定理显然当 n210=50 即变比 n=5010=5=2.236 时，10W电阻获得最大功率。 本题也可用题解1019图所示的次级等效电路求解。图(b)中，当10=时，即 n=5010=5=2.236 1n250时，10W电阻获最大功率。 题解1019图 1020 求图示电路中的阻抗Z。已知电流表的读数为10A，正弦电压U=10V。 题1020图 解：应用理想变压器变阻抗性质，把负载阻抗Z折算到初级，得初级等效电路如题&=10j，根据KVL，有 解1020图所示。图中n=10，设I&=100o A，则Uu& (1-j100+n2Z)I&=U即 1+100(Z-j)100o=10jn 或 1+100(Z-j)=1jn 上述等式两边的模值应相等，得 1+100(Z-j)=1 所以，有 100(Z-j)=0 解得 Z=j1W 题解1020图 另解：因为题解1020图电路中，电流有效值I=电路发生串联谐振，所以有 -j100+n2Z=0 故 Z=j100100=j1 WUR=10A，达到了最大值，此时，