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1、第三章 投影基础,3-1 投影法概述,3-2 三视图的形成及其投影关系,3-3 点的投影,3-4 直线的投影,3-5 平面的投影,3-6 直线与平面、平面与平面 的相对位置,3-7 变换投影面法,结束放映,3-1 投影法概述,一、投影法基本知识,1.分类,中心投影法,正投影法,斜投影法,平行投影法,二、投影法分类及应用,投影法,中心投影法：,所有的投射线都交于一个点,平行投影法：,所有的投射线都互相平行,（1）斜投影法：投射线倾斜于投影面,所有的投射线都互相平行,（2）正投影法：投射线垂直于投影面的投影法,平行投影法：,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。,投 影 特
2、性,物体位置改变，投影大小也改变。,中心投影法,2.特性,度量性较差。,用于建筑图样中的透视图绘制。,平行投影法,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。,工程图样多数采用正投影法绘制。,度量性较好。,投 影 特 性,物体位置改变，投影大小不改变。,三、正投影的基本性质,1.实形性,2积聚性,三、正投影的基本性质,3.类似性,4平行性,三、正投影的基本性质,5定比性,6从属性,3-2 三视图的形成及其投影关系,一、三视图的形成,1.三投影面体系的建立,物体的一个投影不能确定空间物体的形状。,怎吗办？,建立三面投影体系,2三视图的形成,3三视图之间的关系,（1）三视图的位置关系,（2）三视图之间的
3、投影关系,主、俯视图长对正。主、左视图高平齐。俯、左视图宽相等。,（3）视图与物体的方位关系,以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。,主视图：反映上、下和左、右位置关系；俯视图：反映前、后和左、右位置关系；左视图：反映上、下和前、后位置关系。,二、三视图的画法,例3-1 画图3-15所示立体的三视图。,构成分析,作图：,(a)画底板的三视图,(b)画切槽的三视图,(c)画立板的三视图,(d)加深后的三视图,3-3 点的投影,一、点的投影规律,点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即 OX；,点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即 OZ；,例3-3 根据点A和B
4、的两个投影求第三个投影。,（二求三）,求法：,长对正,宽相等,高平齐,宽相等,a:,二、点的投影与空间直角坐标的关系,空间点A到V面的距离，等于点A的y坐标；即：,空间点A到H面的距离，等于点A的z坐标；即：,空间点A到W面的距离，等于点A的x坐标；即：,例3-4 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。,作图步骤如下：,3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a。,1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点 ax,2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a向上量取z=12,得点A的正面投影a,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在
5、空间的上下、前后、左右位置关系。,例3-5 已知点A的三面投影，又知另一点B对点A的相对坐标X=-10，Y=5，Z=5，求点B的三面投影。,无轴投影,四、重影点的投影,如果空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时,就有两个坐标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投影面上的投影就重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。,3-4 直线的投影,直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为点。,求作直线的投影，实际上就是求作直线两端点的投影，然后连接同面投影即可。,一、直线的表示法,二、各种位置直线的投影特性,投影面平行线,平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平
6、行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,垂直于某一投影面,1投影面平行线,投影特性：在与线段平行的投影面上，该线段的投影为倾斜的线段，且反映实长，其余两个投影分别平行于相应的投影轴，且都小于实长。,2 投影面垂直线,投影特性：直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚成一点，在另两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长。,3一般位置直线,三、直线上的点,从属性,点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。,已知直线AB的点C的水平投影
7、c，求另两投影。,例36 已知侧平线AB的两投影和直线上点S 的正面投影，求水平投影。,方法一,方法二,定比性,点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之比等于其线段之比。,四、两直线的相对位置,平行两直线,相交两直线,交叉两直线,1.两直线平行,若空间两直线相互平行，它们的各同面投影也一定互相平行。,反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行。,2.两直线相交,若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律；,反之，如果两直线的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线在空间也一定相交。,3两直线交叉,交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下
8、可能有一两组平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合点的投影规律。,反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。,重影点,4两直线垂直,一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直，但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：,ABBC(垂直相交),ABCD(垂直交叉),直角投影定理：,证明:,Q,ABCD,如果两直线垂直，其中一条直线是某一投影面平行线时，两直线在该投影面上的投影垂直。,3-5 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,二、各
9、种位置平面的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,1投影面垂直面,2 投影面平行面,3一般位置平面,例3-8 分析图所示立体各平面的位置。,(a)立体图,(b)三视图,(1)ABC是水平面。,(2)DEF是侧垂面。,(3)侧面ACDE是一般位置平面。,三、平面上的点和直线的投影,1.平面上的点,点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。,2平面上的直线,直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平面内一点并平行于平面内的另一直线。,(a)通过平面内的两点,(b)过平面内一点且平行于平面内
10、的一直线,例3-9 如图3-39a所示，已知平面ABC上点M的正面投影m，求点M的水平投影m。,分析：,作图：,利用点、线从属关系求出M的水平投影m。,例3-10 已知平面五边形ABCDE的正面投影和AB、AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。,分析：,作图,利用在上取点的方法完成水平投影。,3-6 直线与平面、平面与平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直三种情况:,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,直线与平面平行的几何条件是：直线平行于平面内的一条直线。,线面平行问题就归结为:面上取线和线线平行的两问题.,2.平面与平面平行,若一平面上的两相交直线对应平
11、行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,二、相交问题,直线与平面相交,平面与平面相交,直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题：,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,当直线或平面与某一投影面垂直时，其投影有积聚性，交点的投影必定在有积聚性的投影上，由此直接求得交点的一个投影，再根据点在直线或平面上的投影特性，求出另外的投影。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,解决问题的方法:,分析：,作图：,判可见性：,例3-11 求一般位置直线MN与
12、铅垂面ABC的交点,例3-12 求铅垂线MN与一般位置平面ABC的交点,分析：,作图：,判可见性：,两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的交线。,若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行面时，则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性的投影图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共有线，求出另外的投影。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,解决问题的方法:,我们只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,例3-13 求铅垂面和一般位置平面的交线,分析：,作图：,判可见性：,例3-14 求两正垂面ABC
13、和DEF的交线,分析：,作图：,判可见性：,交线应在两三角形的公共部分。,三、直线与平面、平面与平面垂直,1.直线与平面垂直,一直线如果垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂直于该平面，且直线垂直于平面上的所有直线。,对于垂直于特殊位置平面的直线一定为特殊位置直线。当直线垂直于投影面垂直面时，该直线平行于平面所垂直的投影面。,我们只讨论直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,2.平面与平面垂直,如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面必垂直于该平面。,当两个互相垂直的平面同垂直于一个投影面时，两平面有积聚性的同面投影垂直，交线是该投影面的垂直线。,我们只讨论平面都处于特殊位置的情况。
14、,当空间几何元素相对投影面处于特殊位置时，可在投影图中直接反映出实形、距离、交点、位置等关系。,3-7 变换投影面法,一、问题的提出,如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置,解决方法：更换投影面。,换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射，得到新投影图。,二、新投影面的选择原则,1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。,平行于新的投影面 垂直于新的投影面,2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。,（一
15、）换面法的基本投影规律,1点的一次变换,A点的两个投影：a，a,A点的两个投影：a，a1,新投影体系的建立,新旧投影之间的关系,aa1 X1,a1 ax1=aax,点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,一般规律：,点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。,求新投影的作图方法,更换H面,V,H,X,确定新的投影轴;由点的不变投影向新投影轴作垂线；在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,a,a,ax,ax1,ax1,更换V面,作图规律：,2点的二次变换,新投影体系的建立,按次序更换,A,a,V,H,a,ax,X,求新投影的作图方法,
16、a,X,V,H,作图规律：依次序更换,ax,a,二、换面法的四个基本问题,1将一般位置直线变换成投影面平行线,例：求一般位置直线AB 的实长,用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB/V1。,空间分析：,新投影轴的位置？,X1轴/ab,求，换H面行吗？,不行！,作图方法：,2将投影面平行线变换成投影面垂直线,X1轴ab,例：将水平线AB变换为投影面垂直线,空间分析：,用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，ABV1。,换H面行吗？,不行！,新投影轴的位置？,作图方法：,3将一般位置平面变换成投影面垂直面,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,空
17、间分析：,在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。,一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？,两次！,作图方法：,思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？,正平线！,新投影轴的位置？,X1轴 cd,例:将一般位置面ABC变为投影面垂直面,4将投影面垂直面变换成投影面平行面,例:将铅垂面ABC变为投影面平行面,换V面,使新投影面V1 ABC。,X1轴abc,空间分析：,作图方法：,新投影轴的位置？,三、换面法的应用举例,例3-15 试求所示立体上的正垂面P的实形。,空间分析：,作图步骤：,（1）建立投影轴。,（2）画出新投影。,例3-
18、16 求点C到正平线AB的距离，并作出其垂线的投影。,空间分析：,作图步骤：,cd X1,2.在新投影面H上直接求作距离的投影即反映实长。,1.将直线变换为投影面垂直线。,例3-17 已知交叉二直线AB、CD，求其最短连线的位置及其最短连线的长度。,解题思路：,2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即反映实长。,1.将两直线之一变换为投影面垂直线。,空间分析：,作图步骤：,4.将返回原体系。,ST 的投影s2t2。,2.在投影面H2 中作公垂线,(s1t1 2),例3-18 求一般位置平面ABC的真实大小。,空间分析：,作图步骤：,只有当投影面平行于ABC时，ABC在其上的投影才反映真形。,两
19、次变换!,小 结,点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线 与平面的投影特性。,重点掌握：,点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。,一、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,判断方法:,二、两直线的相对位置,平行,同名投影互相平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,相交,交叉（异面）,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。
20、,三、点与平面的相对位置,面上取点的方法:,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,四、直线与平面的相对位置,直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。,直线与平面相交,投影面垂直线与一般位置 平面求交点，利用交点的 共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求 解。,一般位置直线与特殊位置 平面求交点，利用交点的 共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求 解。,五、两平面的相对位置,两平面平行,若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必 相互平行。,两平面相交,两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交 线。,END,
