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1、直线与圆的位置关系教学设计4.1.1 教材分析: 直线与圆的位置关系教学设计 武威第十五中学 尹尚智 圆的教学在平面解析几何乃至整个中学数学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，又为后面的圆和圆的位置关系作了铺垫，对后面的解题及几何证明，将起到重要的作用。解决直线与圆的位置关系的思想、方法也为以后解决高考重点问题直线与圆锥曲线的位置关系问题提供思想、方法上的铺垫。 学情分析： 学生在前面已经学习了直线与圆的知识，还有圆锥曲线的知识。能够解决一些基本题型，掌握了解析几何的一些常用的数学思想方法。但是因为间隔时间
2、比较长，所以有些知识有些淡忘，特别对某些题型该注意的问题比较模糊。另外对知识的掌握上还是不够熟练，规律方法的总结上缺乏系统性。所以这节课主要是通过典型题目起到复习基本知识总结规律的作用，其实解析几何中圆与圆锥曲线的解题方法有很多共性，在后面设置一个难度稍大，比较综合的题目，起到深化知识，统一方法的作用。 教学目标： 知识与技能目标 使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法目标 通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一
3、般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。 情感与态度目标 创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。兴趣，并激发学生学习数学的自信心。 重点： 1理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系。 2直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。 难点： 1学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系。
4、 2初步掌握相交弦长公式，会求直线与圆的相交弦长。 教学方法 ： 本节课采用“问题探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使学生思维保持活跃，在不断的思考中掌握知识点。 教学过程： 问题探究 复习回顾： 1前面一节课我们学习了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系有几种？怎么判断？ 2两点间距离公式，和点到直线的距离公式分别是什么形式？ 师生活动 教师提问学生回答，然后幻灯片演示; 点和圆的位置关系有三种，分别为相交、相切和相离，判断的方法有几何法和代数法。设计意图 通过复习回顾唤醒学生记忆，对本节课的学习做出有效的铺垫。 探究：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布以小岛的中心为圆心，半径
5、为30km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处，如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？ 学生回忆所学知识：是平面内的点到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是定点和半径。 谈论：以小岛的中心为圆心，东西方向为轴，南北方向为轴建立直角坐标系，则问题归结为直线和圆是否有公共点的问题。 探究： 在平面几何中,直线与圆的位置关系有几种？ 老师利用多媒体工具在白板上演示直线和圆的位置关系，学生观察后得出结论：体现“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求 探究： 在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？ 学生讨论后老师在黑板上板书：将位置关系
6、转化为数量关系是重点，通过学生的观察，几何法： 当dr时，直线l与圆C相离； 当dr时，直线l与圆C相切； 当dr时，直线l与圆C相交； 让学生自己得深印象，培养学生数形结合的数学思维。 可以稍加引导，让学生从代数和几何两个角度思考: 出结论可以加代数法： 当D0时时，直线l与圆C相离； 当D0时，直线l与圆C相切； 当D0时，直线l与圆C相交； 例1：如图，已知直线l：本题是对前面讨论结果的应用，相对较为简单，虽然是例题，但更大师生共同讨论后由学生求解; 方法一，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系； 程度是为了起到课时训练的目的。通过训练，学生可以进一步掌握直线与
7、圆的位置关系。 3x+y-6=0 和圆22心为C的圆x+y-2y-4=0，判断直线 l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标 方法二，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解。问题解决： 提出问题，解决问题。 例2 已知过点M (3，3)的直线l 被圆x2 + y2 + 4y 21 = 0所截得的弦长为45，求直线l 的方程. 以10km为单位长度，写出直线和圆的方程，引导学生求解得出答案。 指导学生阅读并完成教科书上的例2解：1直线与圆的将圆的方程写成标准形式，得 x2 + (y2 + 2)2 =25， 所以，圆心的坐标是(0，2)，半径长r =5. 如图，因
8、为直线l 的距离为45，所以弦心距为 位置关系，当它们相交时，学习弦长的求法。 2 启发学生利用“数形结合”的数学思想解52-(452)=5， 2决问题. 23引发学生思考，知道直线和圆的方程如即圆心到所求直线l的距离为5. 因为直线l 过点M (3，3)，所以可设所求直线l的方程为 y + 3 = k (x + 3)， 即k x y + 3k 3 = 0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离 d =何求相交弦长？ |2+3k-3|2因此，k+1|2+3k-3|k+12. =5， 2即|3k 1| =5+5k， 两边平方，并整理得到 2k2 3k 2 = 0， 解得k =1，或k
9、 =2. 21(x + 3)， 2所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为 y + 3 =-或y + 3 = 2(x + 3). 即x +2y = 0，或2x y + 3 = 0. 探究： 求直线22这一阶段是学l:3x-y-6=0被圆 生形成技能、技巧，发展智力的重要阶段，但也是学C:x+y-2x-4y=0截得的弦AB的长。 学生分析可能的解法： 用勾股定理求出弦长的一半，然后乘以2。 生因疲劳而注时期。如果教师此时教学设计得当、选题新颖，由于学生前面已尝到成功的甜蜜，则会乘胜追击，破解难题；否则学生会就此罢休，无法方法一：求出弦心距，与半径构造直角三角形，意力易分散的方法二：联立方程组，
10、解出两个交点坐标，用两点间距离公式求解。 老师提出问题还有其他的方法吗？引导学生推导弦长公式。 达到预期目的。 探究： 已与知直线老师引导学生推导相交弦长公式: 深化本节课的y=kx+b 圆内容，为以后学习相交线长奠定基础，同时让学生初步掌握设而不求的数学思想。 x2+y2+Dx+Ey+F=0 相交于 A,B 两点，不求交点坐标，如何求相交弦长 引导学生通过讨论知道弦长公式在当直线的斜率不存在时，是不适用的. 探究：用弦长公式解上面的题目 思考： 1. 已知直线学生讨论后给出解题思路，解题的过程可以在巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系。进一步深化“数形结合”的数学思想. 明确
11、弦长的运算方法. 3x+4y-35=0 课外完成。 与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程. 2. 2.判断直线x-y-2=0 与圆 x2+y2-4x=0 的位置关系。如果相交，求出相交弦长。 课时小结： 这一节课我们学习了上面内容，之间穿插了什么样的数学解题思想？ 布置作业： 师生共同回顾：回顾、反思、总结形成知识体系。 课后反思： 本节课的教学进行的很顺利，但学生独立思考问题的能力相对较弱，解题能力有所欠缺，在老师的引导下达到了预期的目标。学生通过独立思考，相互讨论，交流合作，终于发现了知识，品尝到了成功的喜悦。教学不仅应向学生传授知识，而更重要的在于让学生参与获得知识的活动。教师应使学生在解决问题的过程中积极思考，使其在动手、动口，动脑的过程中懂得如何学习数学，体会数学知识的来龙去脉，从而培养其主动获取数学知识的能力。
