直线与圆的方程强化训练题.docx

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1、直线与圆的方程强化训练题直线与圆的方程强化训练题 41、 已知直线l1：(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0与直线l2：m2x-n2y+4=0 3当实数a,b变化时，求证：直线l1过定点，并求出这个定点的坐标； 若直线l2通过直线l1的定点，求点(m,n)所在曲线C的方程； 在的条件下，设F1(-1,0),F2(1,0),P(x0,0)(x00)，过点P的直线交曲线C于A,B两点，且F1A=3F2B，求此直线的方程 x2定点的坐标为(-2,3)+y2=1PA的方程为x+2y-2=0 2本试题主要考查了直线的位置关系的运用，以及求解轨迹方程和直线方程的综合运用 4因为直线l1：(2a+b

2、)x+(a+b)y+(a-b)=0与直线l2：m2x-n2y+4=0 3，那么当实数a,b变化时，直线l1表示为过两条直线交点的直线系方程可知其过定点，并求出这个定点的坐标； 因为直线l2通过直线l1的定点，则可知点(m,n)所在曲线C的方程； 在的条件下，设F1(-1,0),F2(1,0),P(x0,0)(x00)，过点P的直线交曲线C于A,B两点(A,Buuuruuuur两点都在x轴上方)，且F1A=3F2B，运用向量的共线的知识得到结论 2x+y+1=0,x=-2,l1的方程化为(2x+y+1)a+(x+y-1)b=0，由题意，解得所以定点x+y-1=0,y=3的坐标为(-2,3) m2

3、42由l2过定点(-2,3)，得m(-2)-n3+4=0，化简得+n2=1，所以点(m,n)所在曲322x2线C的方程为+y2=1 2uuuruuuur因为F1A=3F2B，所以F1APF2B，且F1A=3F2B， 所以PF1=3PF2，所以x0+1=3(x0-1)，所以x0=2，所以P(2,0)设A(x1,y1),B(x2,y2)，则uuuruuuurF1A=(x1+1,y1),FB)， 2=(x2-1,y21 南京清江花苑严老师 uuuruuuurx12+2y12=2,x1+1=3(x2-1),由F1A=3F2B，得，又由2 2y=3y,x+2y=2,1222x=0,由解之得1所以A(0,

4、1)， y=11所以PA的方程为x+2y-2=0 2、设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR) 若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围 (1) x+y+2=0(2) a1 试题分析： 根据直线方程求出它在两坐标轴上的截距，根据它在两坐标轴上的截距相等，求出a的值，即得直线l方程 x-a-2，若l不经过第二象限，则a=-1 或 把直线方程化为斜截式为y=-(a+1)0，-a-20，由此求得实数a的取值范围 解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，截距相等， a=2，方程即3x+y=0 a-2=a-2， a+1即a+1=1，

5、a=0， 方程即x+y+2=0 (2)法一：将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2， 若a2，由于截距存在， -(a+1)0欲使l不经过第二象限，当且仅当 a-20a1 所以a的取值范围是a1 法二：将l的方程化为(xy2)a(x1)0(aR)， 它表示过l1：xy20与l2：x10的交点(1，3)的直线系(不包括x1)由图象可知l的斜率(a1)0时，l不经过第二象限，a1 考点：本题主要考查直线方程的一般式，直线在坐标轴上的截距的定义，直线在坐标系中的位置与它的斜率、截距的关系，属于基础题 点评:解决该试题的易错点是对于直线在坐标轴上截距相等的理解中，缺少过原点的情况的分析 3、已知三角形

6、ABC的顶点坐标为A、B、C，M是BC边上的中点 求AB边所在的直线方程； 求中线AM的长 求AB边的高所在直线方程 6x-y+11=02x+y-3=0x+6y-22=0 先根据斜率公式求出AB的斜率，写出点斜式方程再化成一般式即可先根据中点坐标公式求出中点M的坐标，然后求出AM的斜率，写出点2 南京清江花苑严老师 斜式方程再化成一般式方程 根据AB的斜率可求出AB边上的高的斜率，再根据它过点C，从而可求出高线的点斜式方程，再化成一般式即可 4、求满足下列条件的直线l方程 直线l过原点且与直线l1:y=3px+1的夹角为； 36直线l过直线l1:x+3y-1=0与l2:2x-y+5=0的交点，

7、且点A(2,1)到l的距离为22 y=0或3x-y=0；x+y+1=0或x-y+3=0 本题考查直线方程的求法，是基础题解题时要认真审题，注意直线与直线垂直、直线与直线平行、直线交点等知识点的合理运用 因为直线l1的倾斜角为pp0，由条件，直线的倾斜角应为或，所以直线l 的斜率63k=0或3，又直线l过原点，所以直线l的方程为： y=0或3x-y=0 由条件设直线l为x+3y-1+l(2x-y+5)=0，整理得 (2l+1)x+(3-l)y-1+5l=0，点A(2,1)到l的距离为22 解：直线l1的倾斜角为pp，由条件，直线l的倾斜角应为0或，所以直线l 的斜率k=0或3，63又直线l过原点

8、，所以直线l的方程为： y=0或3x-y=0 由条件设直线l为x+3y-1+l(2x-y+5)=0，整理得 (2l+1)x+(3-l)y-1+5l=0，点A(2,1)到l的距离为22，则 2=22，解得l=或-4，所以直线l为 3(2l+1)2+(3-l)24+8l或x-y+3= x+y+1=0 0rr5、已知：a=(x2,2),b=(x,1) rr若a/b，求x; rr若函数f(x)=ab对应的图象记为C 求曲线C在A(1,3)处的切线方程？若直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且3 南京清江花苑严老师 仅有一个公共点，求所有这样直线l的方程？ x=2或0y=3xy=2 本试题主要是考

9、查了向量的共线，以及曲线的切线方承担求解，直线与曲线的交点问题的综合运用 由于向量共线，那么根据坐标关系式得到参数x的值 rr由于函数f(x)=ab=x3+2则由f(x)=3x2,k=f(1)=3,得到切线方程 设切点坐标P(t,t3+2), 曲线C在P处的切线方程为y-(t3+2)=3t2(x-t),即y=3t2x-2t3+2，然后联立方程组，得到参数t的值 rr解：a=(x2,2),b=(x,1) x=2或03分; x=2给两分 rr函数f(x)=ab=x3+2 f(x)=3x2,k=f(1)=3, 曲线C在A(1,3)处的切线方程为y-3=3(x-1),即y=3x 设切点坐标P(t,t3

10、+2), 曲线C在P处的切线方程为y-(t3+2)=3t2(x-t),即y=3t2x-2t3+2 y=3t2x-2t3+2y=x3+23t2x-2t3+2=x3+2由得即x3-3t2x+2t3=0 (x-t)2(x+2t)=0或者(x-t)(x2+tx-2t2)=0 由题意得t=0 ，l的方程为y=2 6、若方程x2-my2+2x+2y=0表示两条直线，求m的值 m=1 解：当m=0时，显然不成立 当m0时，配方得(x+1)2=m(y-121)+1- mm1=0，即m=1 m7、直线l过点和第一，二，四象限，若l的两截距之和为6求直线l的方程 2x+y-4=0或x=y-3=0 Q 方程表示两条

11、直线，当且仅当有14 南京清江花苑严老师 解：设直线l的横截距为a， 则纵截距为b-a xy+=1 ab-a点(1，2)在直线l上 l的方程为12+=1 a6-a即a2-5a+6=0 解得a1=2 ，a2=3 当a=2时，方程xy+=1，直线经过第一，二，四象限， 24xy+=1 33直线l经过第一，二，四象限 综上知，直线l的方程为2x+y-4=0或x=y-3=0 当a=3时直线的方程为8、求经过点A(1,2)，且满足下列条件的直线方程： 5； 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4 135x-12y+19=0或5x+12y-29=02x+y-4=0 倾斜角的正弦为本试题主要是考查了直线方程

12、的求解的运用 设直线倾斜角为aa0,p)，由sina=当tana=5125，得cosa=，tana= 1313125550；当tana=-时，由时，由直线点斜式方程得y-2=(x-1)，即5x-12y+19=1212125(x-1)， 12直线点斜式方程得y-2=-即5x+12y-29=0； 综上，直线方程为5x-12y+19=0或5x+12y-29=0 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a0,b0)，可设直线方程1ab=4,a=2,2，解得 12b=4,+=1abxy+=1，由题意得abxy+=1，即2x+y-4=0 249、过点P(4，2)作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于

13、AB两点之间 所以直线方程为uuuruuurAP=3PB，求直线l的方程； 5 南京清江花苑严老师 uuuruuur求当APPB取得最小值时直线l的方程 显然直线l的斜率k存在且k0， 2设l：y=k(x-4)+2，得A(4-，0)，B(0，2-4k) k因为P位于AB两点之间，所以4-24且2-4k2，所以k2， 0)、C(-1，0)为焦点的椭圆 所以动点D的轨迹是以点A(1,根据已知条件设出直线方程，对于斜率要分类讨论是否存在，然后结合直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理和中点公式得到中垂线方程求解 解：由题意知，BD=AD 又|BD|+|CD|=22，|CD|+|AD|=222，

14、0)C(-1，0)为焦点的椭圆，且椭圆的长轴长2a=22， 所以动点D的轨迹是以点A(1，、焦距2c=2 a=2，c=1，b=1， x2所以曲线E的方程为+y2=1. 2当l的斜率不存在时，线段MN的中垂线为x轴，m=0； x2当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2(k0)，代入+y2=1得： 210 南京清江花苑严老师 13(+k2)x2+4kx+3=0，由D0得，k2 22设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=-4kx+x-4k，12=， 21221+2k+k2y1+y2kx1+2+kx2+22， =2222k+1-4k221-4k所以线段MN的中点为(，中垂线方程为，)

15、y-=-(x-)， 1+2k22k2+12k2+1k1+2k2 令x=0得y=-2312 由，易得=mk-m0 2k2+1221综上可知，实数m的取值范围是(-，0 222、在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x=2的距离之比是设动点P的轨迹为C1，Q是动圆C2:x2+y2=r2(1r2)上一点 求动点P的轨迹C1的方程； 设曲线C1上的三点A(x1,y1),B(1,2，22),C(x2,y2)与点F的距离成等差数列，若线段AC的垂2直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k； 若直线PQ与C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离PQ的最大值 x2+y2

16、=1；kTB=2；2-1 2本试题主要考查了轨迹方程的求解和椭圆的定义，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用 |(x-1)2+y2|2=解：由已知，得， |2-x|2x2将两边平方，并化简得+y2=1， 2x2故轨迹C1的方程是+y2=1 2由已知可得|AF|=222(2-x1),|BF|=(2-1),|CF|=(2-x2)， 22211 南京清江花苑严老师 222因为2|BF|=|AF|=|CF|，所以22(2-1)=2(2-x2)+2(2-x1) 即得x2+x1=2， 故线段AC的中点为(1,y2+y1y+y1y2-y12)，其垂直平分线方程为y-22=x(x-1)， 2-x1 因为A,C在

17、椭圆上，故有x21+y2x22221=1，2+y2=1，两式相减， 得：x21-x22+y22221-y2=0 将代入，化简得y2(y1+y2)1+y2=xx， 1+2将代入，并令y=0得，x=12，即T的坐标为12,0 所以kTB=2 设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，直线PQ的方程为y=kx+m y1=kx1+m因为P既在椭圆C1上又在直线PQ上，从而有x212+y21=1 将代入得(2k2+1)x2+2kmx+2(m2-1)=0 由于直线PQ与椭圆C1相切，故D=0 从而可得m2=1+2k2，x1=-2km同理，由Q既在圆C2上又在直线PQ上，可得 m2=r2(1+k2)，xkr22

18、=-m 由、得k2=r2-12-r2， =(2-r2所以|PQ|2)(1-r2)22r2=3-r-r23-22 即|PQ|2-1，当且仅当r2=2时取等号， 故P,Q两点的距离|PQ|的最大值2-1 南京清江花苑严老师 12 23、已知圆M：(x-m)2+(y-n)2=r2及定点N(1,0)，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点Guuurruuuruuuruuu在MP上，且满足NP2NQ，GQNP0 若m=-1,n=0,r=4，求点G的轨迹C的方程； 若动圆M和中所求轨迹C相交于不同两点A,B，是否存在一组正实数m,n,r，使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理

19、由 解：QuuuNPr=2uuuNQr, 所以点Q为PN的中点， 又QuuuGQruuuNPr=0， GQPN或G点与Q点重合 所以|PG|=|GN|.+|GN|= | GM | + | GP 又|GM|=|PM|=4. 所以点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆， 且a=2,c=1， 所以b=a2-c2=3,G x2y2所以G的轨迹方程是4+3=1.解：不存在这样一组正实数， 下面证明： 由题意，若存在这样的一组正实数， 当直线MN的斜率存在时，设之为k， 故直线MN的方程为：y=k(x-1)， 设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中点D(x0,y0)， x21+y21=1则43x，两式相减

20、得： 2224+y23=1(x1-x2)(x1+x2)(y1-y2)(y1+4+y2)3=0 注意到y1-y2xx=-1， 1-2k南京清江花苑严老师 13 x1+x2x=02且 ， y=y1+y202则3x01= ， 4y0k又点D在直线MN上， y0=k(x0-1)， 代入式得：x0=4 因为弦AB的中点D在所给椭圆C内， 故-2x0C1C2=2 所以动点P的轨迹W是以点C1,C2为焦点的椭圆 x2y2设椭圆的标准方程为a2+b2=1 2a=22,2c=2，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程为x2则2+y2=1 设M(a1,b1),N(a2,b2)，则a21+2b21=2,a22+2b

21、22=2 因为OMuuuur+2ONuuur=2OCuuuur1，则a1+2a2=-2,b1+2b2=0 由解得a11=2,b145141=4,a2=-4,b2=-8 所以直线MN的斜率k=b2-b1314a= 2-a114直线l方程为y=kx-13，联立直线和椭圆的方程得： 1y=kx-3 得9(1+2k2)x2-12kx-16x2=0 2+y2=1由题意知：点S(0,-13)在椭圆内部，所以直线l与椭圆必交与两点， 南京清江花苑严老师 15 设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=4k16 ,xx=-12223(1+2k)9(1+2k)uuuruuur假设在y轴上存在定点D(0

22、,m)，满足题设，则DA=(x1,y1-m),DB=(x2,y2-m) 因为以AB为直径的圆恒过点D， uuuruuur则DADB=(x1,y1-m)(x2,y2-m)=0，即：x1x2+(y1-m)(y2-m)=0 因为y1=kx1-,y2=kx2-131 32则变为x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m 1111=x1x2+(kx1-)(kx2-)-m(kx1-+kx2-)+m2 3333121=(k2+1)x1x2-k(+m)(x1+x2)+m2+m+ 33918(m2-1)k2+(9m2+6m-15)= 29(2k+1)uuuruuur由假设得对于

23、任意的kR，DADB=0恒成立， 2m-1=0即解得m=1 29m+6m-15=0因此，在y 轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为(0,1) 26、已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a),(a0) 若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正实数a的值，并求出切线方程；若a=2，过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直，设d1,d2分别为圆心到弦AC,BD的距离 2求d12+d2的值； 求两弦长之积|AC|BD|的最大值 x+3y-4=0310 由题意知点M 在圆上， 1+a2=4,且a0得a=3 16 南京清江花苑严老师 QkOM=3,k=-3 33(x-1)即x+3y-4=0 3当AC,BD都

24、不过圆心时， 设OEAC,OFBD于E,F，则OEMF为矩形， 所以切线方程为y-3=-2d12+d2=OM=3 2当AC,BD中有一条过圆心时，上式也成立 QAC=24-d12,BD=24-d22 2所以 ACBD=4(4-d12)(4-d2) 2(4-d12)+(4-d2)4=10 227、已知圆O:x2+y2=4，直线l1:3x+y-23=0与圆O相交于A,B两点，且A点在第一象限 求AB； 设P(x0,y0)是圆O上的一个动点，点P关于原点的对称点为P1，点P关于x轴的对称点为P2，如果直线AP1,AP2与y轴分别交于(0,m)和(0,n)问mn是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明

25、理由 2 4 试题分析：解：圆心O(0,0)到直线3x+y-23=0的距离d=3 圆的半径r=2，AB=2r2-d2=2 22x+y=4解方程组 ，得A(1,3)， 3x+y-23=0P(x0,22，则P1(-x0,-y0)，P2(x0,-y0)，x0 y0)+y0=4，AP1：y-3=3+y03x0-y0 (x-1)，令x=0,得m=1+x01+x017 南京清江花苑严老师 AP2：y-3=3+y0-3x0-y0 (x-1)，令x=0，得n=1-x01-x023x0-y0-3x0-y0-4(x0-1)=4 mn=21+x01-x01-x028、过点Q (-2,21)作圆C：x+y=r(r0)

26、的切线，切点为D，且QD4 222求r的值； 设P是圆C上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y 轴于点B，设OM=OA+OB，求OM的最小值 r=OD=QO2-QD2=25-42=3. 最小值为6 圆C：x2+y2=r2(r0)的圆心为O，于是QO2=(-2)+2uuuuruuuruuuruuuur(21)2=25, 由题设知，DQDO是以D为直角顶点的直角三角形， 故有r=OD=QO2-QD2=25-42=3. xy+=1(a0,b0) 即 bx+ay-ab=0 abuuuuruuuur则A(a,0),B(0,b) OM=(a,b) OM=a2+b2 设直线

27、l的方程为Q直线l与圆C相切 a2+b22222=3ab=9(a+b) 22a+b2uuuur22a+b36 OM6 当且仅当a=b=32时取到“=”号 -ab2uuuurOM取得最小值为6 29、设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求： 求实数b的取值范围； 求圆C的方程； 问圆C是否经过某定点？请证明你的结论 b1且b0 18 南京清江花苑严老师 x2+y2+2x-(b+1)y+b=0 见解析 试题分析：令x0，得抛物线与y轴交点是(0,b)； 令f(x)=x2+2x+b=0，由题意b0且0， 解得b0) (1-a)2+(-1-b)2=r222根据题意，得