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1、直线与圆位置关系知识点与经典例题直线与圆位置关系 一课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。 二知识框架 相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理 相切 直线与圆 代数法 求切线的方法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程 三直线与圆的位置关系及其判定方法 1.利用圆心O(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=Aa+Bb+CA+B22与半径r的大小来判定。 dr直线与圆相离
2、 2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。 有两个公共解，即D0直线与圆相交 有且仅有一个解，也称之为有两个相同实根，即D=0直线与圆相切 无解，即D0直线与圆相离 3.等价关系 相交d0 相切d=rD=0 相离drD0 练习 1.已知动直线l:y=kx+5和圆C:(x-1)+y=1，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？ 2.已知点M(a,b)在圆O:x+y=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 3.已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0， 1 222222求yx
3、+y-122和的最大值和最小值； (2)求x-y的最大值和最小值；(3)求x+y的最大值和最小值。 xx+2分析考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。转化为求斜率的最值；转化为求直线y=x+b截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题。 4.设m,nR，若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)+(y-1)=1相切，则m+n的取值范围是 5.在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为1，则实数c的取值范围是 6直线3x+y-23=0截圆x+y=4得的劣
4、弧所对的圆心角是 ( ) A、2222pppp B、 C、 D、 6432227圆x+y-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是 A2 B1+2 C1+2 D1+22 28.设A为圆(x-2)2+(y-2)2=1上一动点，则A到直线x-y-5=0的最大距离为_. 9已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为 Ax+y-2x-3=0 Cx+y+2x-3=0 2222Bx+y+4x=0 Dx+y-4x=0 222210.若曲线y=1-x2与直线y=x+b始终有两个交点，则b的取值范围是_. 变形题1：若曲线y=3-4-x2与直线y=k
5、x-5k+6始终有两个交点，则k的取值范围是_ 2 变形题2：若点P(x,y)是曲线x=1-4-y2动点，则 11.圆C1:(x-3)+(y+1)=4关于直线x-y=0对称的圆C2的方程为:( ) A. (x+3)+(y-1)=4 B. (x+1)+(y-3)=4 C. (x-1)+(y+3)=4 D. (x-3)+(y+1)=4 变试题：圆C1:(x-3)+(y+4)=4关于直线2x-y-3=0对称的圆C2的方程为 221. 直线y=kx+3与圆(x-2)+(y-3)=4相交于M,N两点，若|MN|23， y+4的取值范围是 x-6222222222222则k的取值范围是( ) A-,0 2
6、34B-33, 332C-3,3 D-,0 232.圆C：(x1)(y2)25，直线l：(2m1)x(m1)y7m4 (mR) (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点； (2)求C与直线l相交弦长的最小值 四计算直线被圆所截得的弦长的方法 1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的RtD计算，即AB=2r-d 2.代数法：运用根与系数关系，即: 22AB=k2+1xA-xB=(k2+1)(xA+xB)2-4xAxB=1+k2 a，求解弦中点轨迹方程。 22221.直线y=2x+3被圆x+y-6x-8y=0所截得的弦长等于 3 2.过点(2,1)的直线中被圆x+y-2x+4y=0截
7、得的弦长最大的直线方程是 3.已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为 224.直线x2y30与圆C：(x2)(y3)9交于E、F两点，则ECF的面积为 5.已知圆C:(x-3)+(y-4)=4和直线l:kx-y-4k+3=0 若弦AB的长为215，求直线l的方程；设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程 8.已知圆x+y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为原点,且OPOQ,求实数m的取值. 222222五已知切点，求切线方程 22221.经过圆x+y=r上一点P的切线方程为x0x+y
8、0y=r 22222.经过圆(x-a)+(y-b)=r上一点P的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r 4 3.经过圆x+y+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D练习 1.经过圆上一点P(-4,-8)作圆(x+7)+(y+8)+9的切线方程为 222.圆x+y-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为 2222x0+xy+y+E0+F=0 22Ax+ 3y-2=0 Bx+3y-4=0 Cx-3y+4=0 Dx-3y+2=0 六切点未知，过圆外一点，求切线方程 1.k不存在，验证是否成立； 2.k存在，设点斜式，用圆到直线的距离d=r，即 y
9、-y0=k(x-x0) r=b-y0-k(a-x0)k+12 练习 1.求过A(3,5)且与圆C:x+y-4x-4y+7=0相切的直线方程。 22七切线长 222若圆C:(x-a)+(y-b)=r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长d=(x0-a)+(y0-b)-r 222练习 1.自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线，则切线长为 (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5 222.自直线y=x上点向圆x+y-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为 八切点弦方程 过圆C:(x-a)+(y-b)=r外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线方程，切点分别为A,B,则切点弦AB所在直2线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r 2221过点C(6，8)作圆xy25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为( ) 5 22A15 15B1 C. 2D5 九切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即 PT=PCPD=PBPA 2 练习 1.自动点P引圆x+y=10的两条切线PA,PB，直线PA,PB的斜率分别为k1,k2。 若k1+k2+k1k2=-1，求动点P的轨迹方程； 若点P在直线x+y=m上，且PAPB，求实数m的取值范围。 2. 22 6
