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1、直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案直线、平面平行的判定及其性质 1. 下列命题中，正确命题的是 . 若直线l上有无数个点不在平面a内，则la; 若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都平行； 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 . 一个平面内的一条直线平行于另一个平面 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 3. 对于平面a和共面的直线m、
2、n，下列命题中假命题是 . 若ma，mn，则na 若ma，na，则mn 若ma，na，则mn 若m、n与a所成的角相等，则mn 答案 4. 已知直线a,b,平面a，则以下三个命题： 若ab,ba,则aa; 若ab,aa,则ba; 若aa,ba,则ab. 其中真命题的个数是 . 答案 0 /M,那么a/b是b/M的 条件. 5. 直线a/平面M,直线bA.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要 6. 能保证直线a与平面a平行的条件是 A.aa，ba，a/b B.ba，a/b C.ba，c/a，a/b，a/c D.ba，Aa，Ba，Cb，Db且AC=BD 7. 如果直线a平行
3、于平面a,则 A.平面a内有且只有一直线与a平行 B.平面a内无数条直线与a平行 C.平面a内不存在与a平行的直线 D.平面a内的任意直线与直线a都平行 8. 如果两直线ab,且a平面a,则b与a的位置关系 A.相交 B.b/a C.ba D.b/a或ba 9. 下列命题正确的个数是 10. 若直线l上有无数个点不在平面内,则l 若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一直线平行 两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 若一直线a和平面内一直线b平行,则a A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11. b是平面外的一条直线，下列条件中可得出b是 A.b与内的一条直线不
4、相交 B.b与内的两条直线不相交 C.b与内的无数条直线不相交 D.b与内的所有直线不相交 12. 已知两条相交直线a、b，a平面，则b与的位置关系 A.b B.b与相交 C.b D.b或b与相交 13. 如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明. 解 SG平面DEF，证明如下： 方法一：三角形中位线 连接CG交DE于点H，如图所示. DE是ABC的中位线， DEAB. 在ACG中，D是AC的中点， 且DHAG. H为CG的中点. FH是SCG的中位线， FHS
5、G. 又SG平面DEF，FH平面DEF， SG平面DEF. 方法二： 平面平行的性质 EF为SBC的中位线，EFSB. EF平面SAB，SB平面SAB， EF平面SAB. 同理可证，DF平面SAB，EFDF=F， 平面SAB平面DEF，又SG平面SAB，SG平面DEF. 14. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、 C1D1、A1A的中点.求证： BFHD1； EG平面BB1D1D； 平面BDF平面B1D1H. 证明 平行四边形的性质，平行线的传递性 如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，HD1MC1. 又MC1BF，BFH
6、D1. 取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE DC， 又D1G DC，OE1212 D1G， 四边形OEGD1是平行四边形，GED1O. 又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D. 由知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H. 15. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点. 求证：MN平面AA1C1C. 证明 方法一：平行四边形的性质 设A1C1中点为F，连接NF，FC， N为A1B1中点， NFB1C1，且NF=B1C1， 又由棱柱性质知B1
7、C1 BC， 又M是BC的中点， NF MC， 四边形NFCM为平行四边形. MNCF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，MN平面AA1C1C. 方法二：三角形中位线的性质 连接AM交C1C于点P，连接A1P， M是BC的中点，且MCB1C1， M是B1P的中点， 又N为A1B1中点， MNA1P，又A1P 平面AA1C1，MN平面AA1C1，MN平面AA1C1C. 方法三：平面平行的性质 设B1C1中点为Q，连接NQ，MQ， M、Q是BC、B1C1的中点， MQ CC1，又CC1平面AA1C1C， MQ 平面AA1C1C， MQ平面AA1C1C . N、Q是A1B1、B1C1的中点，
8、 NQA1C1，又A1C1平面AA1C1C，NQ 平面AA1C1C， NQ平面AA1C1C . 又MQNQ=B，平面MNQ平面AA1C1C， 又MN平面MNQMN平面AA1C1C. 16. 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F. 求证：EF平面ABCD. 12方法一：平行四边形的性质 过E作ESBB1交AB于S，过F作FTBB1交BC于T， AEES连接ST，则，且BF=FT =AB1B1BBC1C1CB1E=C1F，B1A=C1B，AE=BF ES=FT，ES=FT B1BCC1又ESB1BFT，四边形EFTS为平行四边形.
9、 EFST，又ST平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD. 方法二：相似三角形的性质 连接B1F交BC于点Q，连接AQ， B1C1BC，B1F=C1F B1QC1BB1E=C1F，B1A=C1B，B1EB1F =B1DB1QEFAQ，又AQ 平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD. 方法三：平面平行的性质 过E作EGAB交BB1于G， 连接GF，则B1EB1G=， B1AB1BB1E=C1F，B1A=C1B， C1EB1G，FGB1C1BC， =C1BB1B又EGFG=G，ABBC=B， 平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG， EF平面ABCD. 17. 如图所示，在正
10、方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？ 解 面面平行的判定 当Q为CC1的中点时， 平面D1BQ平面PAO. Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA. P、O为DD1、DB的中点，D1BPO. 又POPA=P，D1BQB=B， D1B平面PAO，QB平面PAO， 平面D1BQ平面PAO. 直线与平面平行的性质定理 18. 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. 求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH. 若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的
11、取值范围. 证明 四边形EFGH为平行四边形，EFHG. HG平面ABD，EF平面ABD. EF平面ABC，平面ABD平面ABC=AB， EFAB.AB平面EFGH. 同理可证，CD平面EFGH. (2)解 设EF=x，由于四边形EFGH为平行四边形， CFxFGBFBC-CFx3=.则=1-.从而FG=6-x.四边形EFGH的周长CB46BCBC4232l=2(x+6-x)=12-x.又0x4,则有8l12,四边形EFGH周长的取值范围是. 19. 如图所示，平面a平面b，点Aa，Ca，点Bb，Db,点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB=CFFD. 求证：EFb; 若E，F分别是AB，
12、CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长. 证明 两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例 方法 当AB，CD在同一平面内时， 由ab，平面a平面ABDC=AC， 平面b平面ABDC=BD，ACBD， AEEB=CFFD，EFBD， 又EFb,BDb,EFb. 方法 当AB与CD异面时， 设平面ACDb=DH，且DH=AC. ab，a平面ACDH=AC， ACDH，四边形ACDH是平行四边形， 在AH上取一点G，使AGGH=CFFD， 又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH， 又EGGF=G，平面EFG平面b. EF平面EFG，EFb.综
13、上，EFb. 解三角形中位线 如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF. E，F分别为AB，CD的中点， MEBD，MFAC， 且ME=BD=3，MF=AC=2， 1212EMF为AC与BD所成的角， EMF=60或120， 在EFM中由余弦定理得， 12EF=ME2+MF2-2MEMFcosEMF=32+22232=136， 即EF=7或EF=19. 20. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ平面BCE. 证明 方法一：平行四边形的性质 如图所示，作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，连接MN. 正方形A
14、BCD和正方形ABEF有公共边AB，AE=BD. 又AP=DQ，PE=QB， 又PMABQN， QNBQPMPEPMQN=，PM QN， DCBDABDCABAE四边形PMNQ为平行四边形，PQMN. 又MN平面BCE，PQ平面BCE， PQ平面BCE. 方法二：相似三角形的性质如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK， AE=BD，AP=DQ， PE=BQ， APDQ= PEBQ 又ADBK，由得DQAQ= BQQKAPAQ=，PQEK. PEQK又PQ平面BCE，EK平面BCE， PQ平面BCE. 方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面ABEF内，过点P作PMBE，交AB于点M，
15、连接QM. PMBE，PM平面BCE， 即PM平面BCE， APAM= PEMB 又AP=DQ，PE=BQ， APDQ= PEBQ 由得AMDQ=，MQAD， BQMBMQBC，又MQ平面BCE，MQ平面BCE. 又PMMQ=M，平面PMQ平面BCE， PQ平面PMQ，PQ平面BCE. 21. 如图所示，正四棱锥PABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PMMA=BNND=58. 求证：直线MN平面PBC； 求线段MN的长. 证明：方法一： 相似三角形的性质 连接AN并延长交BC于Q， 连接PQ，如图所示. ADBQ，ANDQNB， ANDNAD8=， NQNBBQ5又PMB
16、N5=， MAND8AN8AM=，MNPQ， MPNQ5又PQ平面PBC，MN平面PBC， MN平面PBC. 方法二：平行四边形的性质 如图所示，作MQAB交PB于Q，作NRAB交BC于R，连接QR. MQABNR， PM=MQ，NR=BN， PAABDCBD又PMBN=，MQ NR， MAND四边形MNRQ为平行四边形，MNQR. 又QR平面PBC，MN平面PBC， MN平面PBC. 方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面ABP内，过点M作MNPB，交AB于点O， 连接ON. MOPB，MO平面PBC，PB平面PBC 即MO平面PBC， AM=AO APAB又PMBN5=， MAND8AO=DN , ABDBNOAD， NOBC，又NO平面PBC，BC平面PBCNO平面PBC. 又MONO=O，平面MNO平面PBC， MN平面MNO，MN平面PBC. 解 在等边PBC中，PBC=60， 222在PBQ中由余弦定理知 PQ=PB+BQ-2PBBQcosPBQ 65182819165=13+=，PQ=， -21386428822MNPQ，MNPQ=813，MN= 918=7. 138
