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1、直线的参数方程及应用高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 直线的参数方程及应用 一、直线的参数方程 1.定义：若a为直线l的倾斜角，则称e=(cosa,sina)为直线l的(一个)方向向量. ruuurrr2.求证：若P,Q为直线l上任意两点，e=(cosa,sina)为l的方向向量,则有PQ/e. 证明： 3.设直线l过点M0(x0,y0)的倾斜角为a，求它的一个参数方程. 归纳小结 r 引参：取满足 的实数t作参数. 参数方程： 方程特点：中已知点的坐标为 ，未知点坐标为；参数的系数：在x表达式中参数t的系数为 ，在y表达式中参数t的系数为 ；角a的含义：为直线的 ；表达式中
2、运算符号： . uuuuuur向量等式M0M=te的特点: 左边向量起点必须是 ，终点必须是 ； 等号右边向量e的坐标必须是 ，且a必须为直线的 ； 一个重要的等价关系：M0M=te点M的参数值为 . 如M0M=4e点M的参数值为 ；M0D=-2e点D的参数值为 ；M0E=-e点E的参数值为 . 参数方程: . 消参：当ap2时, 消参得 ；当a=p2时, 消参得 . 参数t的几何意义:表示 ，其绝对值为 . 参数t的取值范围:tR；若MM0与e同向,则t取 值；若MM0与e反向,则t取 值；若M与M0重合，则t=0. uuuuuuruuuuuuruuuuuurruuuuurruuuuurru
3、uuuuurrrrrr二、弦长公式、线段中点参数值 1.设AB是曲线C截直线l:x=x0+tcosa,所得弦，且弦端点A,B的参数值分别为y=y+tsina,0t1,t2，D为线段中点，参数值为tD，则 |AB|=|t2-t1|=(t2+t1)2-4t1t2. 证明： tD=t1+t2. 2 1 高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 证明： 例1 已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A,B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积. x2y2例2 经过点M(2,1)作直线l，交椭圆+=1于A,B两点.如果点M恰好为线段AB的中点，164求直线l的方程.
4、 练习 1.设直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为p3. 求直线l的参数方程； 求直线l和直线x-y-23=0的交点到点M0的距离； 求直线l和圆x2+y2=16的两个交点到点M0的距离的和与积. 2.已知经过点P(2,0)，斜率为43的直线l和抛物线y2=2x相交于A,B两点，设线段AB的中点为M.求点M的坐标. 3.经过点M(2,1)作直线l交双曲线x2-y2=1于A,B两点，如果点M为线段AB的中点，求直线AB的方程. 4.经过抛物线y2=2px(p0)外的一点A(-2,-4)且倾斜角为45的直线l与抛物线分别相交于M1,M2.如果|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，求p的值
5、. 5.已知曲线C1:x=-4+cost,x=8cosq,(t为参数),曲线C2:(q为参数) y=3+sint.y=3sinq.化C1、C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线； 若C1上的点P对应的参数为t=p2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x=3+2t,C3:距离的最小值. y=-2+t.解： 2 高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 练习： 1.直线l的方程为x=1+2t,，则l上任一点到点(1,2)的距离是 y=2-3t.A.t B.|t| C.13|t| D.3|t| x=-tsin20o+3,2.直线的倾斜角是 oy=tcos20.A.20o B.7
6、0o C.110o D.160o x=x0+tcosa,3.已知直线上的点A、B所对应的参数分别为t1、t2，点P分AB所y=y0+tsina.成的比为l，则点所对应的参数是 A.t1+t2t+tt+lt2t+lt1 B.12 C.1 D.2 21+l1+l1+lx=2cosq,的位置关系是 y=2sinq.4.直线3x-4y-9=0与圆A.相交但直线不过圆心 B.相交且直线过圆心 C.相切 D.相离 5.下列参数方程都表示过点M0(1,5)，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M和M0的距离，这个参数方程是 x=1+x=1+t,A. B.y=5+2t.y=5+121t,x=1
7、+5x=1+t, C.2 D.2 2y=5+2t.t.y=5+t.5t,6.直线x=3+acosq,x=-2-bsinq,与直线的位置关系为 C y=-2+asinq.y=3-bcosq.A.关于y轴对称 B.关于原点对称 C.关于直线y=x对称 D.互相垂直 x=-2+cosq,y7.曲线C的参数方程为，则的取值范围是 xy=sinq.A.-3,3B.(-,-3U3,+)C.-8. 参数方程3333U,+) ,D.(-,-3333x=-2cosq,pp所表示的曲线是 . 22y=2sinq.x=2+9.直线y=-3-2t,2上到点M(2,-3)的距离为2，且在点M下方的点的坐标2t.2是 .
8、 10.点(1,-5)与两直线x=1+t,及x-y-23=0的交点的距离是 . y=-5+3t. 3 高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 11.两圆x=3+2cosq,x=3cosq,与的位置关系是 . y=4+2sinq.y=3sinq.12.已知直线l经过点P(1,0)，倾斜角为a=写出直线l的参数方程； p6. 设直线l与椭圆x2+4y2=4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积. B.化一般参数方程x=x0+at,为标准参数方程 y=y+bt.01.直线标准参数方程的特点：参数t的系数：cosa、sina；角a的含义：为直线的倾斜角；表达式中运算符号：加法. 2
9、.一般参数方程向标准型转化： 设直线的一般参数方程为 x=x0+at, (t为参数) y=y0+bt.则可得标准方程为 aa2+b2t,x=x0+22a+b(取t=a2+b2t为参数) by=y+a2+b2t.022a+b显见，参数t=a2+b2t的绝对值表示直线l上的动点M(x,y)与定点M0(x0,y0)的距离. 证明:设直线的倾斜角为a，设直线标准参数方程为，与对比，得x=x0+at, (t为参数) y=y0+bt.例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式: x=4+x=4+2t,(1) (t为参数) (2)y=3+t.y=3+x=4+结果(1) y=3+25t,5 (t=5t为
10、参数) (2) 15t.5x=4+y=3+6t,x=x0+at,13(t为参数) (3) (t为参数) y=y+bt.40t.133t,13(t=2t为参数) 2t.13(3)令x=x0+cosjlt,cosjl=a,则于是(cosjl)2+(sinjl)2=l2=a2+b2,取l=a2+b2, sinjl=b.y=y+sinjlt0aa+b22则cosj=,sinj=ba+b22,t=a2+b2t, aa2+b2t,x=x0+22a+b于是得直线的标准参数方程为(t=a2+b2t为参数). by=y+a2+b2t.022a+b 4 高中数学 选考4-4 第二讲 直线的参数方程及应用 x=4+
11、例 求直线l1:y=3+613413t,(t为参数)与直线l2:x+y-2=0的交点到定点(4,3)的距离 t.题型三：参数方程 参数方程x=x0+at,中参数t具有几何意义的条件 y=y0+bt.x=x0+at,中参数t具有几何意义的条件：a2+b2=1且b0 y=y0+bt.uuuuuur事实上，|M0M|=(x-x0)2+(y-y0)2=(at)2+(bt)2=|t| 1x=2-t,2x=cosj,例4 求直线l：(t为参数)被曲线所截得的弦长. 3y=3sinj.y=3-t.2编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t系数平方和为1，则参数t就有几何意义”这个事实. y2解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y=3x-3、+x2=1，联立消元，整理得 3x2-x=0，于是两交点为A(0,-3)，B(1,0)，故|AB|=2. 解二：椭圆的普通方程为：y2 +x2=1，将直线参数方程代入并整理得，t2-6t+8=0，解得t1=2或t2=4，故|AB|=|t1-t2|=|2-4|=23 5
