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1、直线的参数方程及其应用参数方程学案 直线的参数方程及应用 目标点击： 1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P0(x0,y0)，倾斜角为a的直线l的参数方程是 ax=x0+tcos t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量，P(x,y) ay=y0+tsin P0P=t P0P=t 为直线上任意一点. (2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2， 则P1P2=t2t1 P1P2=t 2t 1
2、 (3) 若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3 t+t 则P1P2中点P3的参数为t312,P0P3=t1+t2 22 (4)若P0为P1P2的中点，则t1t20，t1t20时，点P在点P0的上方； 当t0时，点P与点P0重合； 当t0时，点P在点P0的右侧； P0P(x,y) l 当t0时，点P与点P0重合； x 当t0时，点P在点P0的左侧； 0问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一 l y 对应关系？ 我们把直线l看作是实数轴， P0 以直线l向上的方向为正方向，以定点P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长， P 这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了
3、 0 一一对应关系. h 问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2 ， 则P1P2？，P1P2=？ P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1 问题4：若P0为直线l上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？ l yP2 根据直线l参数方程t的几何意义， P1Pt1，P2Pt2，P0为直线l P0 上两点P1、P2的中点，|P1P|P2P| P1 P1PP2P，即t1t2, t1t20,设这个二次方程的两2515, t1t2- ，由M为线段AB的中点，8415根据t的几何意义，得| PM|t1+t2 1
4、6215 中点M所对应的参数为t M=,将此值代入直线的标准参数方程*， 1631541341x=2+=M点的坐标为，） 51616 即 M,倾斜角为p， 3 (1)求直线l与直线l：y=x-23的交点Q与P点的距离| PQ|； (2)求直线l和圆x2+y216的两个交点A，B与P点的距离之积. 解：(1)直线l经过点P,倾斜角为p,直线l的标准参数方 3 程为x=1+tcosp3py=-33+tsin3，即y=-33+3t21x=1+t2代入直线l： 13 y=x-23 得(1+t)-(-33+t)-23=0 整理，解得t=4+23 22 t=4+23即为直线l与直线l的交点Q所对应的参数值
5、，根据参数t的几 何意义可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+23. (2) 1x=1+t把直线l的标准参数方程为代入圆的方程 132t)=16,整理得：t28t+12=0， x2+y216，得(1+t)2+(-33+22 =82-4120,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆x2+y216的两个交点 A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|, 所以| PA| PB|=|t1 t2|=12 点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线
6、方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 例8：设抛物线过两点A(1,6)和B(1,2)，对称轴与x轴平行，开口向右， 直线y=2x+7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程. 解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为 2 方程为(y2)=2P(xa) (P0) 点B(1,2)在抛物线上，(22)2=2P(1a) aP=8P 代入 得(y2)2=2Px2P+16 将直线方程y=2x+7化为标准的参数方程tga=2, a为锐角， 7 参数方程学案 1x=-1+t125 cosa =, sina= 得 255y=5+t5 直线与抛物线相交于A，B, 将代入并化简得
7、： 4(P-6)24212-2P+350,可设方程的两根为t1、t2， t+t-70 ，由=555 又|AB|=t 2t 1 (t1+t2)2-4t1t2410 5(12-2P)23522+4=(410) 化简，得(6P)=100 44 P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y2)2=32x48 点拨：(1) 由两点A(1,6)和B(1,2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程. (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些. (x-1)2y2+=1，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右
8、焦点， 例9：已知椭圆43 求| F2A| F2B|的最大值. 解：由椭圆方程知a2，b=3,c=1, F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的 x=tcosa参数方程为 代入椭圆方程整理得 y=tsinat26 t cosa9=0 ，=36cos2a360 此方程的解为t1、t2，分别为A、B两点 6cosa-9对应的参数，由韦达定理t1t2= tt 1 2223+sina3+sina 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点 A, B所对应的参数值，| F1A|t1| |F1B|t2| 12 |AB|=t 2t 1 (t1+t2)2-4t1t2 23
9、+sina | F1A|F1B|t1|t2|=|t1t2| 由椭圆的第一定义| F1A| F2A|2a4， | F1B|+| F2B|=2a4 | F2A| F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A|F1B| 129 =16-4t 2t 1+|t1t2|=16-4+ 3+sin2a3+sin2a39 =16- 23+sina8 参数方程学案 25 4点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解 题，此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然F1坐标简单，因此选择过F1 利用椭圆的定义将| F2A| F2B| 转化为| F1A|
10、F1B|. 的直线的参数方程， 例10： 除书中解法外，补充解法二. x=a+tcosq 解法二：设过点P(a,0)的直线l的参数方程为(t为参数 y=tsinqp q(0,p)，且q) (1) 当sin2a1时，| F2A| F2B|有最大值2 直线l与圆x2+y25相交于B,C将直线l的方程(1)代入圆的方程 得 t2+2at cosq+a250，=(2acosq)2-4(a25)0. 即 a2 sin2q+50 (2) tBtC=2acosq tB tC= a25 2 直线l与抛物线y=x+7相交于A,D将直线l的方程(1)代入抛物线的 方程得(sin2q)t2t cosqa70 ， =
11、 cos2q-4(sin2q)(-a7)0 即1+(4a+27) sin2q0 (3) cosq-a-7 tAtD= tt= B C22sinqsinq 又|AB|=|CD| 线段AD与线段BC的中点重合，即 cosq1 tAtD=tBtC 2= -2acosq 即-2a=2， sinqsinq1p q(0,p),且q 0sin2q02a+271 a必须满足0 -10a1 点拨：此题利用直线参数方程形式比普通方程求a的范围运算量相对要 小，注意使用直线上两个点的中点的参数. x=x0+tcosa方法总结：利用直线l的参数方程 ，给研究直线与y=y+tsina0圆锥曲线C：F(x,y)=0的位置
12、关系提供了简便的方法. 一般地，把l的参数方程代入圆锥曲线C：F(x,y)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，f(t)=0, 1、(1)当0时， l与C相交有两个交点； 9 参数方程学案 2、当0时，方程f(t)=0的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入l的参数方程即可求的l与C的两个交点A和B的坐标. 3、定点P0(x0,y0)是弦AB中点 t1+t2=0 4、l被C截得的弦AB的长|AB|t1t2|；P0AP0B= t1t2；弦AB中点M点对应的参数为t1+t22；| Pt0M |=1+t22基础知识测试2： 7、 直线x=1+ty=-2 +t(t为参数)与椭圆x2+2y2=
13、8交于A、B两点，则|AB|等于( ) A 22 B 4363 C 2 D 3 8、直线x=x0+tcosay=y 0+tsina与二次曲线A、B两点，则|AB|等于( ) A |t1+t2| B |t1|t22| C |t1tt1+t2| D 29、 直线x=2-12t(t为参数)与圆x2+y2=1有两个交点A、B，若P点的坐 y=-1 +12t 标为(2,-1),则|PA|PB|= 10、过点P(6, 7x=6+2t2)的直线7(t为参数)与抛物线y2=2x相交于A、B两点， y=2 +t则点P到A,B距离之积为 . 参数方程1答案 1、D 2、D 3、D 4、A 5、D x=4-1t2 6、x=atgj55y=actgj 41 x=2+cosj或x=2-cosj3y=5-5ty=2sinjy=2sinj7、D 8、 抛物线x212上包含1x1的一段弧 直线的参数方程答案 1、 x=6+3tt2+lt12 2、D 3、C 4、 5、B 6、43 71+、 B y=7+1l2t8、 C 9、4 10、5410
