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1、直观图面积问题直观图中的面积问题 内蒙古 熊明军 辽宁 曾玲莉 直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象实际物体的形象，掌握直观图的画法是学好立体几何的基础。在直观图的学习中，熟记斜二侧画法的作图原理是必须的，但对于直观图的面积问题，我们无需作出图形，可直接利用经验公式：S直观图2=S原图4加以解决。下面对其中常见的几类面积问题举例剖析，希望能对同学们的学习有所帮助。 一、经验公式的获得 假设给定一个边长为a的正方形ABCD，可以求得其斜二测画法下的直观图面积与平面直角坐标系下正方形面积之比为Ay2。 4BABDCDECx如左图：在平面直角坐标系下，显然S正方形=a2； 由
2、斜二测画法作图原理知：在右图中AD=，ADE=45，AEDE，即在等腰RtDADE中AE=DE=22a24。 =2a4222a，得S直观图=a。 44a2从而有：S直观图S直观图=S原图S正方形本文在此不讨论纯理论性的东西，也就不再对该经验公式进行一第 1 页 共 3 页 般性的证明。不过实际上我们可以得到，只要是以斜二侧画法原理为前提作出的直观图其面积都满足该公式。 二、已知原图面积，求直观图面积 例1、已知某四边形ABCD的面积为22，试求其在斜二测画法下作出的直观图的面积。 此题告诉的已知四边形没有明确的特征，因此其直观图S直观图2利用斜二侧画法是无法作出的。但是，根据经验公式可得：=S
3、原图4S直观图22S直观图，即S直观图=22=1。 =4S四边形422三、已知直观图面积，求原图面积 例2、已知DABC在斜二测画法下作出的平面直观图DABC是边长为a的正三角形，试求DABC的面积。 题中所给的条件能轻易地确定DABC直观图DABC的面积，S直观图=SDABC=aasin60=可知S原图=S直观图24=1232S2a；根据经验公式直观图=4S原图44443262S直观图=SDABC=a=a。 22224例3、如图所示，梯形ABCD是某一平面图形在斜二测画法下作出的直观图。若AB=2，AD=OD=1，CD=AB，并且ABDC，AD平行于y轴，求原图面积。 Cy32DxBO A第
4、 2 页 共 3 页 如果根据斜二侧画法的原理来分析，从而得出原图形，也是可以求解，但利用经验公式S直观图2就免去了复杂的作图过程。=S原图4直接由题中已知条件即可求出在斜二测画法下作出的直观图面积，由S原图=4S直观图求解即可。 2四、利用经验公式求解相关问题 例4、平面直角坐标系下的正方形ABCO，其中O为坐标原点，B点坐标为(2,2)，试求其直观图中定点B到x的距离。 正方形在斜二测画法下作出的直观图是平行四边形，无需作图，直接利用经验公式便能很快求解。 已知S原图=22=4；其在斜二测画法下作出直观图平行于x轴的长度不变，设点B到x的距离为h，则由知2h=224，即h=。 24S直观图22S原图的变形S直观图=4S原图4用斜二测画法下作出平面直观图的作图原理必须掌握，但对于某些题型，能不作图就不作，直接利用经验公式求解显得更快捷方便。 第 3 页 共 3 页
