相似三角形的性质.docx

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1、相似三角形的性质时间段 授课内容 一 知识梳理 二 集合章末复习 三 例题讲解 四 小结与练习 知识梳理 1相似形 具有相同形状的图形叫做相似形相似形仅是形状相同，大小不一定相同相似图形之间的互相变换称为相似变换 2相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等 3相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例 一、相似的有关概念 二、相似三角形的概念 1相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形 如图，ABC与ABC相似，记作ABCABC，符号读作“相似于” 1合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Cent

2、er 第 1 页 共 12 页 AABCBC2相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是1“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形” 三、相似三角形的性质 1相似三角形的对应角相等 2相似三角形的对应边成比例 3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比 4相似三角形周长的比等于相似比 5相似三角形面积的比等于相似比的平方 四、相似三角形的判定 1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似 3如

3、果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似 5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似 7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似 五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式 证明比例式或等积式的主要方

4、法有“三点定形法” 1横向定型法 欲证ABBC，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母=BEBFA，B，C恰为ABC的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B，E，F恰为BEF的三个顶点因此只需证ABCEBF 2合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 2 页 共 12 页 2纵向定型法 ABDE，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A，B，C恰为=BCEFABC的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D，E，F恰为DEF的三个顶点因此只需证ABCDEF 欲证3中间比法 由于运用三点定

5、形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常用到中间比 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解 倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之 复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换，等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明 六、相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做

6、平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等 BDAB如图：AD平分BAC交BC于D，求证： =DCACA12EA123BDCBDCE证法一：过C作CEAD，交BA的延长线于E 1=E，2=3 1=2，3=EAC=AE BDBABAADCE， =DCBEAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型 证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E 1=2=E，AB=BE BDBEABBEAC， =DCACAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型 七、相似证明中的面积法 3合肥皖智教育培训中

7、心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 3 页 共 12 页 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题 常用的面积法基本模型如下： AAEADBBCHDHOGDCB图3：“燕尾”型C图1：“山字”型BCAH如图：SABCSACD1图2：“田字”型BC=2= 1CDCDAH2如图SABCSBCD1BCAHAHAO2= 1DGODBCDG2如图： SABDSABDSAEDABADABAD =SACESAEDSACEAEACAEAC八、相似证明中的基本模型 AAEDFAEEIADEFDBBCBCGCBDHGCABOABOAEBAF

8、BECDCDCFDCDAAOBCBCDDEBCEDBCAAEHD4合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 4 页 共 12 页 AAEACBDCBCDBDCADBADEBCFBGDEADEFBCAGDFBMPBECBECECBHECDAGDAEBFCFGCAFNADFGDAFH例题精讲 一、与三角形有关的相似问题 如图，在ABC中，ACAB，点D在AC边上，若在增加一个条件就能使ABCACB，则这个条件可以是 ADBC如图，D、E是DABC的边AC、AB上的点，且ADAC=AEAB，求证：ADE=B. AEDBC如图，在D

9、ABC中，ADBC于D，CEAB于E，DABC的面积是DBDE面积的4倍，AC=6，求DE的长. 5合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 5 页 共 12 页 AEBDC 如图，ABC中，ABC=60，点P是ABC内一点，使得APB=BPC=CPA，PA=8，PC=6，则PB= APBC如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF+EBG AHGFBCDE 如图，已知DABC中，AE:EB=1:3，BC:CD=2:1，AD与CE相交于F，则AFEF+的值为 FCFDAEFDBC53 B.1 C. D.2 22在DAB

10、C中，BD=CE，DE的延长线交BC的延长线于P， 求证：. PADBP=AECA.ADBECP如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC6合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 6 页 共 12 页 的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F. 求证：EF=3DE. ADEBMFNC111 如图，已知AB/EF/CD，若AB=a，CD=b，EF=c，求证：=+. cabAECBFD如上图，垂足分别为B、CDBD，AC和BD相交于点E，ABBD，EFBD，D，垂足为F.证明：111.

11、 +=ABCDEFAEBCFD 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P. 求证：PMPN=PRPS ABDlRSOCNPM7合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 7 页 共 12 页 已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDEF，AC的延长线交EF于G求证：EG=GF ABCEDGF 如图，ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把ABC分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形的面积S1，S2，S3分

12、别为1，1，2，则ABC的面积是 AFDS1S3BHIS2EPG2C2 如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p，q，则梯形的面积是 Dq2Op2ABCA2(p+q22) B(p+q) p2q2DP+q+2 p+q2222Cp+q+pq 22二、与平行四边形有关的相似问题 如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是 GAEBCFD8合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 8 页 共 12 页 如图，已知DEAB

13、，OA2=OCOE，求证：ADBC. CDOABE 如图，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BCYABCD的对角线相交于点O，于点F，若AB=a，AD=c，BE=b,求BF的值 DOFABEABCDKOFEC如图：矩形ABCD的面积是36，在AB，AD边上分别取点E，F，使得AE=3EB，DF=2AF，且DE与CF的交点为点O，求DFOD的面积。 BEOOAFDAFKDCBEC9合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 9 页 共 12 页 三、与梯形有关的相似问题 已知：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，M是AB的中

14、点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F. 求证：EF/CD 若AB=a,CD=b，求EF的长. AEMFBDC如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=a，BC=b，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长 APEOQDBFC四、与内接矩形有关的相似问题 DABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15,BC边上的高AD=10,求SYEFGH. AGAHEMFBEDFCBDC如图，已知DABC中，AC=3，BC=4，C=90，四边形DEGF为正方形，其中D，E在边AC，BC上，F

15、，G在AB上，求正方形的边长 10合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 10 页 共 12 页 CDEAFGB 如图，已知DABC中，四边形DEGF为正方形，D，E在线段AC，BC上，F，G在AB上，如果SDADF=SDCDE=1，SDBEG=3，求DABC的面积 CDEAFGB如图，在DABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E(与点A，C不重合)在AC边上，EFAB交BC于F点 当DECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长 当DECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长 试问在AB上是否存在

16、点P，使得DEFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长 CEAFB11合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 11 页 共 12 页 1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点，过点M作MNBC，交AC于点N，在AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h 请你用含x的代数式表示h 将AMN沿MN折叠，使AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少

17、？ 3如图，已知直线l1:y=28x+与直线l2:y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴33于A、B两点矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合 求ABC的面积； 求矩形DEFG的边DE与EF的长； 若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0t12)秒，矩形DEFG与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围 yl2E C D l1y A O B F x 12合肥皖智教育培训中心 He Fei Wan Zhi Educational Training Center 第 12 页 共 12 页