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1、相似三角形与圆的综合题相似三角形与圆的综合考题 1、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，过E作O的切线ED，切点为C，ADED交ED于点D，交O于点F，CGAB交AB于点G 求证：BGAG=DFDA 2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F (1)求证：DE为O的切线 (2)求证：AB：AC=BF：DF - 1 - 3、(南通)已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，DEAC，E为垂足 (1)求证：ADE=B； (2)过点O作OFAD，与ED的延长线相交于点F，求证：FDDA=FODE 4、如图，AB为O
2、的直径，BF切O于点B，AF交O于点D，点C在DF上，BC交O于点E，且BAF=2CBF，CGBF于点G，连接AE (1)直接写出AE与BC的位置关系； (2)求证：BCGACE； (3)若F=60，GF=1，求O的半径长 - 2 - 5、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF (1)求证：PC是O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD=DEDF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 6、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE
3、AB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF (1)求证：PC是O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD=DEDF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 - 3 - 227、如是O的直径，CB、CD分别切O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC； (1)求证：AE是O的切线； (2)过点D作DFAB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF 8、已知：如图，AB是O的直径，D是O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE AC，垂足是点E过点B作BEAB，交ED延长线于点F，连结OF
4、。 求证：(1)EF是O的切线； (2)OBFDEC。 - 4 - 9、如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O 切线，交OD的延长线于点E，连结BE (1)求证：BE与O相切； (2)连结AD并延长交BE于点F，若OB6，且sinABC2，求BF的长 310、如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。 (1)求证：DE是O的切线； (2)若ACAB=4AF5，求DF的值； (3)在(2)的条件下，若O直径为10，求EFD的面积 - 5 - 11、已知：如图，在RtABC中，A=90，以AB为直径作
5、O，BC交O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F 求证： (1)DE为O的切线 (2)ABDF=ACBF 12、如图，以ABC的边AB为直径的O与边BC交于点D，过点D作DEAC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分BAC (1)求证：EF是O的切线； (2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积 - 6 - 13、知AB是O的直径，直线l与O相切于点C且AC=AD，弦CD交AB于E，BFl，垂足为F，BF交O于G。 (1)求证：CE=FGFB； (2)若tanCBF= 14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交
6、CB的延长线于E. 求证：AEBD； AD = DFAE - 7 - 221，AE=3，求O的直径。 215、已知：ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点. 求证：ET = ED 16、如图，ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CDBA，垂足为D. 求证： DAC = 2B； CA= CDCO - 8 - 2 相似三角形与圆的综合考题 1、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，过E作O的切线ED，切点为C，ADED交ED于点D，交O于点F，CG
7、AB交AB于点G 求证：BGAG=DFDA 证明：连接BC，FC，CO， 过E作O的切线ED， DCF=CAD， D=D， CDFADC， =， CD2=ADDF， CGAB，AB为直径， BCA=AGC=BGC=90， GBC+BCG=90，BCG+GCA=90， GBC=ACG， BGCCGA， =， CG2=BGAG， 过E作O的切线ED，OCDE， ADDE，COAD， OCA=CAD， AO=CO， OAC=OCA， OAC=CAD， 在AGC和ADC中， ， AGCADC， CG=CD， - 9 - BGAG=ADDF 2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是A
8、C的中点，ED与AB的延长线相交于点F (1)求证：DE为O的切线 (2)求证：AB：AC=BF：DF 3、(南通)已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，DEAC，E为垂足 (1)求证：ADE=B； (2)过点O作OFAD，与ED的延长线相交于点F，求证：FDDA=FODE 解：方法一： 证明：连接OD， OA=OD， - 10 - OAD=ODA AB是O的直径， ADB=90，即ADBC 又AB=AC， AD平分BAC，即OAD=CAD ODA=DAE=OAD ADE+DAE=90， ADE+ODA=90，即ODE=90，ODDE OD是O的半径， EF是O的切线 ADE
9、=B 方法二： AB是O的直径， ADB=90，又DEAC， DEA=90， ADB=DEA， ABC中，AB=AC，ADBC， AD平分BAC，即DAE=BAD DAEBAD ADE=B 证明：OFAD， F=ADE 又DEA=FDO， FDODEA FD：DE=FO：DA，即FDDA=FODE 点评：本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明 4、如图，AB为O的直径，BF切O于点B，AF交O于点D，点C在DF上， BC交O于点E，且BAF=2CBF，CGBF于点G，连接AE (1)直接写出A
10、E与BC的位置关系； - 11 - (2)求证：BCGACE； (3)若F=60，GF=1，求O的半径长 解：如图1， AB是O的直径， AEB=90 AEBC 如图1， BF与O相切， ABF=90 CBF=90-ABE=BAE BAF=2CBF BAF=2BAE BAE=CAE CBF=CAE CGBF，AEBC， CGB=AEC=90 CBF=CAE，CGB=AEC， BCGACE 连接BD，如图2所示 DAE=DBE，DAE=CBF， DBE=CBF AB是O的直径， ADB=90 BDAF DBC=CBF，BDAF，CGBF， CD=CG F=60，GF=1，CGF=90， tanF
11、=CG=tan60= CG=， CD= - 12 - AFB=60，ABF=90， BAF=30 ADB=90，BAF=30， AB=2BD BAE=CAE，AEB=AEC， ABE=ACE AB=AC 设O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r ADB=90， AD=r r=r= DC=AC-AD=2r-r=2+3 O的半径长为2解析： +3 由AB为O的直径即可得到AE与BC垂直 易证CBF=BAE，再结合条件BAF=2CBF就可证到CBF=CAE，易证CGB=AEC，从而证到BCGACE 由F=60，GF=1可求出CG=DC=CG=；连接BD，容易证到DBC=CBF，根据角平分线的性质
12、可得r，由DC=AC-AD=；设圆O的半径为r，易证AC=AB，BAD=30，从而得到AC=2r，AD=可求出O的半径长 5、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF (1)求证：PC是O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD=DEDF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 分析：连接OC，证明OCP=90即可 乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出 可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦
13、AC的长 解答：证明：连接OC PC=PF，OA=OC， PCA=PFC，OCA=OAC， - 13 - 2PFC=AFH，DEAB， AHF=90， PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90， PC是O的切线 解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD=DEDF，理由如下： 连接AE 点D在劣弧AC中点位置， DAF=DEA， ADE=ADE， DAFDEA， AD：ED=FD：AD， AD=DEDF 解：连接OD交AC于G OH=1，AH=2， OA=3，即可得OD=3， DH=2 22点D在劣弧AC中点位置， ACDO， OGA=OHD=90， 在OGA和OHD中， ， OGAOHD，
14、 AG=DH， AC=4 点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点，再证垂直即可同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质 - 14 - 6、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF (1)求证：PC是O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 证明：连接OC PC=PF，OA=OC， PCA=PFC，OCA=OAC， PFC=AFH，DEAB， AHF=90， P
15、CO=PCA+ACO=AFH+FAH=90， PC是O的切线 解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DEDF，理由如下： 连接AE 点D在劣弧AC中点位置， DAF=DEA， ADE=ADE， DAFDEA， AD：ED=FD：AD， AD2=DEDF 解：连接OD交AC于G OH=1，AH=2， OA=3，即可得OD=3， DH=2 点D在劣弧AC中点位置， ACDO， OGA=OHD=90， 在OGA和OHD中， - 15 - ， OGAOHD， AG=DH， AC=4解析： 连接OC，证明OCP=90即可 乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出 可以先根据勾股定
16、理求出DH，再通过证明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长。 7、如图，AB是O的直径，CB、CD分别切O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC； (1)求证：AE是O的切线； (2)过点D作DFAB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF 证明：连接OD，OE， CB、CD分别切O于B、D两点， ODE=90，CD=CE， CE=AE+BC，CE=CD+DE， AE=DE， OD=OA，OE=OE， ODEOAE， OAE=ODE=90， OAAE， AE是O的切线； DFAB，AEAB，BCAB， AEDFBC， BMFBEA， - 16 - ， ，
17、 EDMECB， ， ， DM=MF 解析： 首先连接OD，OE，由CB、CD分别切O于B、D两点，即可得ODE=90，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可证得AE=DE，则可得ODEOAE，即可证得AE是O的切线； 首先易证得AEDFBC，然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得DM=MF 8、已知：如图，AB是O的直径，D是O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE AC，垂足是点E过点B作BEAB，交ED延长线于点F，连结OF。 求证：(1)EF是O的切线； (2)OBFDEC。 证明：连结OD， AB是O的直径， OA
18、=OB， 又CD=BD， ODAC， DEAC， DEC=90，ODE=90， 点D是O上一点， EF是O的切线。 BFAB，AB是O的直径， BF是O的切线， EF是O的切线， BFO=DFO，FB=FD， OFBD， FDB=CDE， OFD=C， C=OFB， - 17 - 又CED=FBO=90， OBFDEC。 9、如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O 切线，交OD的延长线于点E，连结BE (1)求证：BE与O相切； (2)连结AD并延长交BE于点F，若OB6，且sinABC2，求BF的长 3解：连结CO，ODBC，12，再由COOB，OE公共， OCE
19、OBE OCEOBE， 又CE是切线，OCE90，OBE90BE与O相切 备用图中，作DHOB于H，H为垂足， 在RtODB中，OB6，且sinABC2，OD4， 3同理RtODHRtODB，DH458，OH 33又RtABFRtAHD，FBDHABAH， 45122453=FB 8136+3考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。 点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中档题。 10、如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。 (1)求证：DE是O的切线；
20、(2)若，求的值； - 18 - (3)在(2)的条件下，若O直径为10，求EFD的面积 试题分析： 连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得CAD=ODA，推出ODAC，根据平行线性质和切线的判定推出即可； 先由得ODAE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案； 根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可. 连接OD 因为OA = OD 所以OAD = ODA 又已知OAD = DAE 可得ODA = DAE ， 所以ODAC ， 又已知DEAC 可得DEOD 所以DE是O的切线； 由得ODAE， 135 28考点：圆的综合题 点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为
21、常见，一般以压轴题形式出现，难度较大. 11、已知：如图，在RtABC中，A=90，以AB为直径作O，BC交O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F 求证： (1)DE为O的切线 (2)ABDF=ACBF 证明：如图，连接OD、AD - 19 - OD=OA， 2=3， AB是O的直径， BDA=90， CDA=90 又E是边AC的中点， DE=AE=1AC， 21=4， 4+3=1+2=90，即 又AB是O的直径， DE为O的切线； 如图，ABAC，ADBC， 3=C 又ADB=CDA=90， ABDCAD， ABBD =ACAD易证FADFDB， BDBF， =ADDFAB
22、BF， =ACDFABDF=ACBF 解析： 连接OD、AD，求出CDA=BDA=90，点E为AC中点，求出1=4，2=3，推出4+3=1+2=90，根据切线的判定即可； 证ABDCAD，推出出ABDF=ACBF 12、如图，以ABC的边AB为直径的O与边BC交于点D，过点D作DEAC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分BAC ABBDBDBFABBF=，再证FADFDB，推出，得，即可得ACADADDFACDF- 20 - (1)求证：EF是O的切线； (2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积 解：连接OD OA=OD， OAD=ODA， AD平分BAC， OAD=CAD，
23、ODA=CAD， ODAC， DEAC， DEA=90， ODF=DEA=90， OD是半径， EF是O的切线 AB为O的直径，DEAC， BDA=DEA=90， BAD=CAD， BADDAE， ABADAD=AE， 即4ADAD=3， AD=2， cosBAD=ADAB=234=32， BAD=30，BOD=2BAD=60， BD=12AB=2， S111BOD=2SABD=2222=， S60p22阴影=S扇形BOD-SBOD=360-3=23p-3解析： - 21 - 根据等腰三角形性质和角平分线性质得出OAD=ODA=DAE，推出ODAC，推出ODEF，根据切线的判定推出即可； 证B
24、ADDAE，求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出BAD=30，求出BOD=60和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和BOD的面积，相减即可 13、知AB是O的直径，直线l与O相切于点C且O于G。 (1)求证：CE=FGFB； (2)若tanCBF=2，弦CD交AB于E，BFl，垂足为F，BF交1，AE=3，求O的直径。 2解：证明：连结AC， AB为直径，ACB=90， ，且AB是直径， ABCD即CE是RtABC的高， A=ECB，ACE=EBC， CE是O的切线， FCB=A，CF=FGFB， FCB=ECB， BFC=CEB=90，CB=CB， BCFBCE， CE=CF，FBC
25、=CBE， CE=FGFB； CBF=CBE，CBE=ACE， ACE=CBF， tanCBF=tanACE=AE=3， 221AE=， 2CE31=CE=6， CE222在RtABC中，CE是高， CE=AEEB，即6=3EB， - 22 - EB=12， O的直径为：12+3=15。 14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E. 求证：AEBD； AD = DFAE 证明：AE为圆的切线， EAB=ACE， CA为BCD的平分线， ACE=ACD， ABD=ACD， EAB=ABD， AEBD； AEBD， AEC=DB
26、C， DBC=DAC， AEC=DAC， EAB=ADB， ABEDFA， 2ABAE =DFDAACE=ACD， AD=AB AD=AB， 则ADAB=AD=AEDF 15、已知：ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点. 求证：ET = ED - 23 - 2证明：因为四边形ABCD是平行四边形 ADBC EAD=ECF EDA=EFC AEDCEF(AA) DEAE =EFCE AB平行DC EAG=ECD G=EDC AEGCED DAC = 2B； CA= CDCO 证明：如图,由已知ABC中,AB=AC 得 ABC为等腰三角形,B=ACB 外角1=B+ACB=2B 又由已知O是BC上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆与AC相切于点A 得OAB为等腰三角形,B=OAB,OAAC 外角2=B+OAB=2B OAC=90即1=2，OAC为直角三角形 - 24 - 2 222由已知过C作CDBA的延长线于D，得ADC=90，ADC为直角三角形 在直角三角形OAC和ADC中 1=2,OAC=ADC=90 OACADC 则CA/CO=CD/CA，即CA=CDCO - 25 -
