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1、相似三角形经典大题解析相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点，过点M作MNBC，交AC于点N，在AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h 请你用含x的代数式表示h 将AMN沿MN折叠，使AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？ 解：QMNBC AMNABC h6=x83x4h=QAMNA1MN A1MN的边MN上的高为h， 当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时， y=SA1MN=12MNh=12x34x=3
2、8x 2当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4x8)， 设A1EF的边EF上的高为h1， 则h1=2h-6=QEFMN32x-6 A1EFA1MN A1EFABC QA1MNABCSA1EFSABCh=1 63x-632=224=x-1x2+6222QSABC=1268=24 SA1EF2 4Qy=SA1MN-SA1EF=92322x-x-12x+24=-x+12x-24 882(4x8) 38x，取x=4，y最大=6 23所以 y=-98x+12x-242综上所述：当0x4时，y=当4x6 当x=163时，y最大，y最大=8 A M N B E A1 F C 2如图，抛物线经过A(4，0)
3、，B(1，0)，C(0，-2)三点 求出抛物线的解析式； P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 2解： -2)，Q该抛物线过点C(0，可设该抛物线的解析式为y=ax+bx-2将A(4，0)，B(1，0)代入， 1a=-，16a+4b-2=0，2得解得 a+b-2=0.b=5.2此抛物线的解析式为y=-12x+252x-2 存在 如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为-当1m4时， AM=4-m，PM=-12m+212m+252m-2， 52m-2 又QCOA=PM
4、A=90， 当AMPM=AOOC=21时， APMACO， 即4-m=2-12m+25m-2 2解得m1=2，m2=4，P(2，1) 当AMPM=OCOA=12时，APMCAO，即2(4-m)=-12m+252m-2 解得m1=4，m2=5 1) 当1m4时，P(5，-2) 当m1时，P(-3，-14) 综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，-14) -2)或(-3， 3如图，已知直线l1:y=23x+83与直线l2:y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合 求ABC的面积； 求矩形
5、DEFG的边DE与EF的长； 若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0t12)秒，矩形DEFG与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围 yl2 C D l1E y A O x F B 解：由23x+83A点坐标为(-4，=0，0)得x=-4 B点坐标为(8，0)由-2x+16=0，得x=8 AB=8-(-4)=12 28y=x+，x=5，由解得C点的坐标为(5， 6)33y=6y=-2x+16SABC=12AByC=12 126=36238+83 解：点D在l1上且xD=xB=8，yD= D点坐标为(8， 8)
6、 =8又点E在l2上且yE=yD=8， -2xE+16=8xE=4E点坐标为(4， 8)OE=8-4=4，EF=8 解法一：当0t3时，如图1，矩形DEFG与ABC重叠部分为五边形CHFGR过C作CMAB于MRtRGBRtCM By，则l2yD R E l1l2y C C E D R l1E l2D C l1R A F O G M RGA O F M G B x BG=RG，即t=B x F A G O M B x ，RG=2t BMCM36QRtAFHRtAMC， 12t2t-12S=SABC-SBRG-SAFH=36-即S=-43t+2 (8-t)(8-t)32163t+443 82t,
7、当3t8时，如图2，为梯形面积，GGR=2(8-t)+=8-3331282t880 s=4(4-t)+8-=-t+233333当8t12时，如图3,为三角形面积，s=12(8-2t3)(12-t)=t23-8t+484如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米秒过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒 若a=4厘米，t=1秒，则PM=_厘米； 若a=5厘米，求时间t，使PNBPAD，并求出它们的相似比； 若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
8、求a的取值范围； 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由 解： PM=D Q C D Q P C N B P A 34N B A ， M M t=2，使PNBPAD，相似比为3:2 QPMAB，CBAB，AMP=ABC， AMPABC，QM=3-t(a-1)aPMBN=AMAB即PMt=a-ta，QPM=t(a-t)a， (QP+AD)DQ2=(MP+BN)BM2当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即 t(a-t)t3-+3(a-1)(a-t)+tt6aaa=化简得t=， 226+aQt3，
9、6a6+a3a6， 3，则a6，Q3a6时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等 梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM ta(a-t)=3-t，把t=6a6+a代入，解之得a=23，所以a=23 所以，存在a，当a=23时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等 5如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t，解答下列问题： 当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由； 设BPQ的面积为S，
10、求S与t的函数关系式； 作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？ 解：(1)BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为B=600,所以BPQ是等边三角形. 0(2)过Q作QEAB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2tsin60=3t,由AP=t,得PB=6-t, 所以SBPQ=12BPQE=12(6-t)3t=32t2+33t； (3)因为QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因为C=600, 所以QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQcos60=
11、0122t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EPQR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为PEQ=900,所以APR=PRQ=900.因为APRPRQ, 所以QPR=A=60,所以tan60=6500QRPR,即6-2t3t=3,所以t=65, 所以当t= 时, APRPRQ 6在直角梯形OABC中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA35分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系 求点B的坐标； 已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD5，OE2EB，直线DE交x轴于点F求直线DE的解析式；
12、点M是中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 y M C D E N O B A F x .7在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，1 = 2 = 45 如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系； 将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到 图15-2，其中AO = OB 求证：AC = BD，AC BD； 将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到 图15-3，求O A 1 C 图7-3 B BDACM D 2 O A N 1 B 图7-
13、1 D 2 O M 的值 A 1 C 图7-2 B N D 2 M N 解：AO = BD，AOBD； 证明：如图4，过点B作BECA交DO于E，ACO = BEO M D 2 O E A N 1 C 图4 B F 又AO = OB，AOC = BOE， AOC BOEAC = BE 又1 = 45， ACO = BEO = 135 DEB = 45 2 = 45，BE = BD，EBD = 90AC = BD 延长AC交DB的延长线于F，如图4BEAC，AFD = 90ACBD 如图5，过点B作BECA交DO于E，BEO = ACO 又BOE = AOC ， BOE AOC D M 2 E
14、A N 1 C BEAC=BOAO 又OB = kAO， B O 图5 由的方法易得 BE = BDBDAC=k 10如图，已知过A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。 经过多少时间，线段PQ的长度为2？ 写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围； 在P、Q运动过程中，是否可能出现PQMN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由； 是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由； Y N A Q O P M X
