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1、相遇及追及问题专题：相遇及追及问题 一相遇及追及问题 1特点：追及问题是两个物体运动的问题。两个物体的速度相等往往是解题的关键，此时两物体间的距离可能最大，也可能最小。 2解题方法：选同一坐标原点、同一正方向、同一计时起点，分别列出两个物体的位移方程及速度方程。 解题的关键是找出两物体间位移关系、速度关系。 当位移相等时，两物体相遇；两物体速度相等时，两物体相距最远或最近。 这类问题如能选择好参照物，可使解题过程大大简化。巧用运动图象亦可使解题过程大大简化。 例1、车从静正开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间
2、的最小距离。 解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t。当人追上车时，两者之间的位关系为： s人+s0=s车 即： v人t+ s0= at22 由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。 代入数据并整理得：t212t+50=0 =b24ac=1224501=560 所以，人追不上车。 在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速当于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。 at=6 t=6s 在这段时间里，人、车的位移分别为： s人=v人t=66=36m 22 s车=at/2=16/2=18m s=s0+s车s人=2
3、5+1836=7m 例2、甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？ 分析：乙此追上甲车可能有两种不同情况：甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。 解答：设经时间t追上。依题意： v甲t-at2/2+L=v乙t 2 15t-t/2+32=9t 1 t=16s t=-4s(舍去) 甲车刹车的时间 t=v0/a=15s 显然，甲车停止后乙再追上甲。 甲车刹车的位移 s甲=v02/2a=152/2=112.5m 乙车的总位移 s乙=s甲+32=
4、144.5m t=s乙/v乙=144.5/9=16.06s 三求解追击问题的常用方法 1、通过运动过程的分析，找到隐含条件，从而顺利列方程求解，例如： 、匀减速物体追赶同向匀速物体时，能追上或恰好追不上的临界条件： 即将靠近时，追赶者速度等于被追赶者速度 、初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体时，追上前两者具有最大距离的条件：追赶者的速度等于被追赶者的速度。 2利用二次函数求极值的数学方法，根据物理现象，列方程求解。 3在追击问题中还常常用到求“面积”的方法，它可以达到化繁为简，化难为易，直观形象的效果。 例3、甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2
5、的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4ms的速度，a2=1ms2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。 解法一： 两车同时同向出发，开始一段由于甲车速度大于乙车速度，将使两车距离拉开，由于甲车作匀减速运动，乙车作加速运动，总有某一时刻两车速度相同，此时两车相距最远，随着甲车进一步减速，乙车进一步加速，动车速度大于甲车速度，使两车距离变小，当乙车追上甲车时两车运动位移相同。 当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t1，两车速度为v 对甲车： v=v1+a1t1 对乙车： v=v2+a2t1 两式联立得 t1=(v1-v2)/(a1-a
6、2)=4s 此时两车相距 s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2)- (v2t1+a2t12/2)=24m 当乙车追上甲车时，两车位移均为s，运动时间为t则： v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2 得 t=8s 或t=0(出发时刻，舍去。) 2 解法二： 甲车位移 s1= v1t+a1t2/2 乙车位移 s2= v2t2+a2t2/2 某一时刻两车相距为s s=s1-s2= (v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2) =12t-3t2/2 当t=-b/2a时，即t=4s时，两车相距最远 s=124-342/2=24m 当两车相遇时，s=0，即12t-3t2/2=0 t=8
7、s 或t=0(舍去) 例4、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解法一、利用二次函数极值法求解 设经过时间t汽车和自行车之间的距离S，由如图1可得 S = S自 - S汽 = 31v自t - at2 =6t -t2 22二次函数求极值的条件可知： b6S汽 当t= -= 2时两车之2a33S 间的距离有极大值，且Sma x =62 -2S自 22 =6 解法二、利用分析法求解 自行车在追击汽车的前一阶段过程中，由于汽
8、车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小，很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。 由上述分析可知当两车之间的距离最大时有 v汽 =at = v自 v6 t =自=2 a3 Sma x = S自 - S汽 31Sma x = v自t - at2 =62 -22 =6 223 解法三、利用图象求解 v/m/s 在同一V-t图中画出自行车和汽车的速度图线，如图2所示，其中表示自行车的速度图线， 表示汽车的速度图线，自行车的位移S自等于图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移S汽 则等6 于图
9、线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的 距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难0 t0 t/s 看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大， 1即： Sma x =6t0 - t06 2因为汽车的速度图线的斜率等于汽车的加速度大小 6tg=a t0 t0 =2 由上面、两式可得Sma x =6 解法四、利用相对运动求解 选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，汽车相对2此参照物的各个物理量的分别为：v相初 = 6m/s，a相 = -3 m/s， v相末 = 0 。 由公式 2a相S相 = v相末2- v相初2 得 S相 =v相末-v相初2a相226a630-62=
10、2(-3) =6 例5、A、B两列火车在同一轨道上同向行驶, A在前, 速度为vA=10m/s, B车在后速度 vB=30m/s. 因大雾能见度低, B车在距A车500m时, 才发现前方有A车. 这时B车立即刹车, 但要经过1800m B车才能停止. 问： (1) A车若仍按原速前进, 两车是否会相撞? 若会相撞, 将在何时何地发生? (2) B车在刹车的同时发出信号, A车司机在收到信号1.5s后加速前进, 求A车的加速度多大时, 才能避免事故发生 (1) B车开始刹车经31s在距开始刹车处810m两车相撞. (2) A车做匀加速运动, 加速度至少为0.15m/s2时, 才能避免相撞. 4
11、练习：1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a1=20m/s2，B车晚3s启动，加速度a2=30m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？ 解一、两车速度相等时，相距最远。 a1t=a2(t-3) 得 t=9s s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=270m 解二、 s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=-5t2+90t-135=-5(t2-18t+27) 二次项系数为负，有极大值。 s=-5(t-9)2+270 v 当t=9s时，s有极大值 90 s=270m 60 解三、用图象法求。 30 作出vt图如图。由图可知，在t=
12、9s时相遇。0 3 6 9 t s即为图中斜三角形的面积。 s=3180/2=270m A B 2、A、B两车在一条水平直线上同向匀速 100m s2 行驶，B车在前，车速v2=10m/s，A车在后， s1 车速72km/h，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。 解一：作物理情景示意图如图所示。 对A： s1=v1t-at2/2 v2=v1-at 对B： s2=v2t 且 s1-s2=100m 由、得 100=20t-at2/2-10t=10t-at2/2 由、得 t=20s a=0.5m/s2 解二、利用平均速度公式。 s1=(v1+v2)
13、t/2=15t s2=v2t=10t v s1-s2=15t-10t=100 20 t=20s 10 由v2=v1-at得 a=0.5m/s2 解三、作出vt图，如图。 0 t 图中三角形面积表示A车车速由20m/s到10m/s时，At 比B多之的位移，即s1-s2=100m。 100=10t/2 t=20s 2 |a|=tg=1/2=0.5m/s 5 解四、以B车为参照物，用相对运动求解。 A相对于B车的初速度为10m/s，A以a减速，行驶100m后“停下”，跟B相遇而不相撞。 vt2=v02-2as 0=102-2a100 a=0.5m/s2 v2=v1-at 得 t=20s 3甲车以3m/s2的加速度，由静止开始做匀加速直线运动，乙车在甲车运动2s后从同一在点由静止出发，以4m/s2的加速度做匀加速直线运动，两车运动方向一致，在乙车追上甲之前，两车距离最大值是 A18m B23.5m C24m D28m 4经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行使时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否发生撞车事故？ 6
