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1、平 面 应 力 问 题,平面应力问题：设有很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束，同时体力也平行于板面且不沿厚度变化。,平 面 应 变 问 题,平面应变问题：设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束，同时体力也平行于横截面且不沿长度变化。,物 理 方 程,这里，E为弹性模量，G为剪切模量，泊松系数，且有如下关系：,平面应力问题的物理方程,注：平面应力状态中，垂直于平面方向上的正应变不为零。,平面应变问题的物理方程,注：平面应变状态中，垂直于平面方向上的正应力不为零。,平 衡 微 分 方 程(1),o,x,y,c,
2、平 衡 微 分 方 程(2),X 方向力平衡：,c,再 证 剪 应 力 互 等,对c点力矩平衡：,c,几 何 方 程,P,A,B,P,A,B,o,x,y,刚 体 位 移,平 面 问 题 小 结,平面问题的基本方程：,三个物理方程三个几何方程两个平衡方程,平面问题中的未知函数：,三个应力分量三个应变分量两个位移分量,平面问题中一点的应力状态,P,A,B,o,x,y,y方向力平衡：,求得：,同理：,主 应 力 及 其 方 向,P,A,B,o,x,y,在应力主面上，全应力等于主应力，因此：,最大正应力与最大剪应力,莫尔圆推导应力状态公式,2,O.Mohr,德国人，1835-1918。,边 界 条 件
3、,位移边界条件：,应力边界条件：,混合条件：,在位移约束 面上：,在应力约束 面上：,位移约束与应力约束的组合。,设 面法线与x轴正向夹角的余玄为l，与y轴正向夹角的余玄为m。,边 界 条 件 举 例,x,y,x,y,q,p,圣维南原理及其应用,圣维南（Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant，17971886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。,圣 维 南 原 理 推 广,如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（
4、主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处发生显著的应力，而远处可以不计。,圣 维 南 原 理 应 用,x,y,h/2,h/2,严格边界条件,运用圣维南原理的边界条件,用位移法与应力法求解平面问题,位移法：以位移为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出位移分量，然后再求出形变分量和应力分量。,应力法：以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和相应的边界条件，并由此解出位移分量，然后再求出形变分量和位移分量。,注：课堂上只推导平面应力问题的求解方法，至于平面应变问题，只需
5、要在推导结果上稍作改变，即将结果中：,换为,换为,按位移求解平面应力问题(1)用应变表达应力（物理方程）,按位移求解平面应力问题(2)用位移表达应变（几何方程）,按位移求解平面应力问题(3)平衡方程,按位移求解平面应力问题(4)边界条件,按位移求解平面应力问题(5)小结,按位移求解平面问题需要：1.位移分量满足微分方程：,2.边界条件：,按位移求解平面问题(5)举例,按位移求解平面问题(6)举例,按应力求解平面应力问题(1)用位移表达应变（几何方程）,形变协调方程或相容方程,连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足相容方程，才能保证真实的位移分量存在。,按应力求解平面应力问题(2)相容
6、方程的运用,设有应变分量：,显然其不满足协调方程。,按应力求解平面应力问题(3)用应力表达应变（物理方程）,用应力表达应变并代入形变协调方程：,得到：,按应力求解平面应力问题(4)平衡方程,代入下式消去剪应力：,得到：,按应力求解平面应力问题(5)小结,按应力求解平面问题需要：,3.应力分量满足边界条件和或位移单值条件：,2.应力分量满足形变协调方程：,1.应力分量满足平衡微分方程：,按应力求解平面应力问题(6)例题,常体力情况下的简化（1）应力调和方程,常体力,拉普拉斯（Laplace，Pierre-Simon，17491827）方程，即调和方程。,当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体的边界形状以及受力分布相同，那么它们平面内的应力分布相同。,常体力情况下的简化（2）求解平衡方程,平衡方程,应力调和方程,所求的应力函数必须满足以下方程：,常体力情况下的简化（3）平衡方程的特解,特解一：,特解二：,特解三：,常体力情况下的简化（4）平衡方程的通解,剪应力相等：,则有：,最后得到：,常体力情况下的简化（5）平衡方程的解,通解,常体力情况下的简化（6）艾里应力函数表示的相容方程,应力调和方程,代入,得到：,简写为：,
