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1、寻找最速降线,1,感谢你的观看,2019年8月26,数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点.C.F.Gauss,数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.R.C.Buck,2,介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法,连续,多元函数极值,积分等,内容提要,回顾微积分有关知识,复习微分方程的求解的解析与数值方法,最速降线求解的仿真方法,3,1696年John Bernoulli向他的兄长和其他,数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:,一质
2、量为m的质点，在重力作用下从定点A,沿曲线下滑到定点B，,试确定一条曲线，使得质,点由A到B下滑时间最短.,假定B比A低，不计摩擦力,和其他阻力等因素.,此问题导致数学新分支的产生.,背景故事,4,思考,这是一个求最值的问题,与求函数的极值一样吗？,与求线性规划问题中的极值一样吗？,它的数学形式怎样？,历史,1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告,5,贝努利 约翰 Bernoulli,Johann,欧洲著名科学家族,涉猎 微积分、微分方程、解析几 何、概率论以及变分法,谁发现 LHospital 法则,欧拉的指导者和老师,更贡献于物理、化学和天文学,瑞士的骄傲,6,问题数学形式,设曲线
3、为,满足 y(0)=0,y(c)=H,我们要求的是怎样的函数y(x),下滑的时间,使得T(y)取得最小值,minT(y),7,近似方法,如图建立坐标系,设A为原,点,B为(c,H),将带状区域,直线 y=yk=kH/n 把这区域,分成 n个带状小区域.,在带状域yk-1yyk,可近似认为,而曲线段近似认为是直线段,其长度,0 y H用平行于 x 轴的,8,求这个函数的极小值,就得到问题的近似解,(n-1元函数!),于是质点从A到B所需时间近似为,可以使用数学软件来求极值，但所得曲线为,离散形式，无解析表达式,(是已知的！),(为简单计,可取g=1000cm/s2),9,令,可令,解出,故,求解
4、极值数值方法,10,令 为下列方程的解,再将 代入(*)式中，将 用曲线连接即得拟合最速降线，再求出时间.,11,function m6_1(G,H,n)h=H/n;g=9.8;f=1.0;a=0;b=2/(sqrt(2*g*(n-1)/n*H);c=(a+b)/2;i=1;while abs(f)1e-10s=0;for j=1:nv=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c2*v2);endf=c-G/(h*s);if f0b=c;else a=c;endc=(a+b)/2;i=i+1;endx(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h
5、);T=sqrt(x(1)-a)2+h2)/sqrt(2*g*h)for k=2:nv=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);T=T+sqrt(x(k)-x(k-1)2+h2)/v;end plot(x,-(0.1:h:H),*r),利用数学软件求近似最速降线和最短时间,12,利用数学软件求解得到的曲线,13,再作分析,质点要走最快的路线(曲线)，应该如何变化？,依然用从质点速度变化的角度考虑,设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的,上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？,如图,若A1,A2到l 的垂足分,为a
6、,b,OD=c,质点经过l于C,别为O,D,A1,A2 到l的距离分别,OC=x 那么质点由A1到A2需时间,14,惟一驻点满足,也即,这就是光学中的 Snell 折射定律,15,建立数学模型,分析：如图建坐标系，,AB 分割成小段,考虑在第k,层与k+1层质点在曲线上的下,滑，依能量守恒律，可近似,认为质点在每层内的速度不,变，于是依辅助结论知,注意上式对任何k成立，,若用与x 轴平行的直线将,16,令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线,上任何一点,其中 为该点切线与铅垂线,的夹角,故导出,17,导出微分方程,又因,于是得到,18,一个引理,设集合E0=g(x)C1 g(a)=g(b)=0
7、,如果在a,b连续函数 f(x)满足,那么,f(x)0,对g(x)E0，总有,19,另一种方法变分法,设曲线为,满足 y(0)=0,y(c)=H,在曲线上P(x,y）处质点速度为,又设从A到P的弧长为s,则,从而质点沿曲线由A到B需时间,20,那么我们的问题成为,求某个,使得,引进集合,显然若,是最速曲线函数,则,故得,设集合,21,那么对,依复合函数求导法,注意第二项,22,上式乘以,这里,于是导出,23,注意从降线定义可知,故,1）可求解析解,解法,2）也可以用数值方法，例如欧拉法求解,得到方程为,24,由于在原点y=0,可改写方程,求解析解提示：,解析解,25,function cycl
8、oid(G,H,n)if nargin=2%两个参数则默认n为100 n=100;endg=9.8;h=H/n;minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n);x=0;y=0;while abs(G-x)1e-4 x=0;c=(minc+maxc)/2;%二分法求c值 for j=1:n y=j*h;v=sqrt(2*g*y);x=x+c*v*h/sqrt(1-c2*v2);gx(j)=x;gy(j)=y;end,最速降线问题仿真方法Matlab程序,26,if xG%判断最后一个点与所给点的位置情况 minc=c;else maxc=c;endend T=0;for j=1:n v=
9、sqrt(2*g*j*h);if j=1 s=sqrt(gx(1)2+h2);else s=sqrt(gx(j)-gx(j-1)2+h2);end T=T+s/v;end plot(gx,-gy,*r);Tend,27,取G=H=10，n=100,28,取G=H=10，精确解,29,取G=H=10，仿真方法与精确解,30,实验任务,1.分别用数值方法和解析方法求出的最速降线,的曲线和下降时间,将两种结果比较,2.在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从,A 到B的曲线,使得这曲线绕l 旋转所得的旋转面,的面积最小.设直线l与点A,B在xy 平面，l为x轴，,A为(0,（e+e-1)/2),B为(3，(e2+e-2)/2),(设c=/2,H=1),31,用曲线连接面上A(0,0,1),B(1,3,0)两点,求使得,AB 弧长最短的曲线(短程线),4.在第3题中，将曲面改为,求在曲面上连接A(1,0,1),B(0,2,2)的最短弧线,（建议以数值和解析两种方法求解加以比较）,3.圆柱面方程为,32,上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所,5.若求出最速降线的曲线方程,试将质点从曲线,需时间,注：若选择本次实验，必须完成任务1、2,33,谢谢各位！,34,感谢你的观看,2019年8月26,35,
