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1、例.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C 为任意常数),所求通解:,例:,解法 1 分离变量,即,(C 0),解法 2,故有,积分,(C 为任意常数),所求通解:,例.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,例.求方程,的通解.,解:注意 x,y 同号,由一阶线性方程通解公式,得,故方程可,变形为,所求通解为,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,例.求解,解:,这是一个全微分方程.,用凑微分
2、法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,思考:如何解方程,这不是一个全微分方程,就化成上例 的方程.,但若在方程两边同乘,备用题 解方程,解法1 积分因子法.,原方程变形为,取积分因子,故通解为,此外,y=0 也是方程的解.,解法2 化为齐次方程.,原方程变形为,积分得,将,代入,得通解,此外,y=0 也是方程的解.,解法3 化为线性方程.,原方程变形为,其通解为,即,此外,y=0 也是方程的解.,例.,解:,例.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,对于,型方程(n2)，可以令,得,如果能求出其通解,逐次积分n-1次，就可得到
3、原方程的通解,其中C1,C2.,Cn为任意常数.,例.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,例.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,例.,解:特征方程:,即,其根为,方程通解:,备用题,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解:根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证
4、法可证),(89 考研),例.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,例.,的通解为,的通解.,解:将所给方程化为:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组:,积分得,故所求通解为,例.,的通解.,解:,对应齐次方程为,由观察可知它有特解:,令,代入非齐次方程后化简得,此题不需再作变换.,特征根:,设的特解为,于是得的通解:,故原方程通解为,(二阶常系数非齐次方程),代入可得:,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于
5、是所求特解为,例2.求解定解问题,解:本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,例4,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例6.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.(填空)设,2.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,的通解为,换回原变量,得原方程通解为,设特解:,代入确定系数,得,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A=1,所求通解为,
