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1、3.1不等关系与不等式,(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度,且小于第二宇宙速度,(2)铁路旅行常识规定:旅客每人免费携带物品-杆状物不超过200cm,重量不得超过20kg,(3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的高度。,问题:上面的不等关系是用什么不等式表示的?,请你举出生活中的一些不等关系的例子,（一）.生活中的不等关系,一、引入,(2)中国神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度()不小于第一宇宙速度(记作),且小于第二宇宙速度(记).,(1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.,0v4
2、0,40,(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.,（二）.用不等式(组)表示不等关系,引入,我们用数学符号“”，“”，“”，“”，“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.,思考一下什么是不等式？,一、引入,问题1.设点A与平面 的距离为d，B为平面 上的任意一点，则,A,B,B,B,d,o,d|AB|.,问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于
3、20万元呢？,思考(1)销售量减少了多少?,(2)现在销售量是多少?,(3)销售总收入为多少?,解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：,因此，销售总收入为：,用不等式表示为：,问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系.(2)用不等式（组）表示上述不等关系.,分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？,(3)截得两种钢管的数量都不能为负.,(2)截得600mm钢管的数量不能超过50
4、0mm 的钢管数量的3倍；,(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；,上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：,考虑到实际问题的意义，还应有x,yN,x,yN,课堂练习：书本：P74，练习1、2,（1）.a与b的和是非负数；,（2）.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”,（3）.在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地仓库的长大于宽的4倍写出L与W的关系,a+b0,0h4,1、用不等式表示下面的不等关系：,课堂练习2、有一个两位数大于50而小于60,其个位数字比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系,1.分析:设个位数
5、字为,十位数字为,则,不等式的概念：,思考：,思考：,知识探究(二)：比较实数大小的基本原理,思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？,ab，ab，ab.,思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？,大数对应的点位于小数对应的点的右边,思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？,ab0 ab,思考5：如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？,ab=0 a=b,思考4：如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大
6、小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？,ab0 ab,两数大小的比较,例1比较x2x与x2的大小.,解：(x2x)(x2)=x22x+2=(x1)2+1，,因为(x1)20，所以(x2x)(x2)0，,因此x2xx2.,比较两个数(式)的大小的方法:,（1）作差,（2）变形,（3）判号,（4）结论,小结：作差法的步骤：（1）作差（2）变形（3）定号（4）结论,其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。,例1-2：比较下面两式的大小：,小结：作差法的步骤：（1）作差（2）变形（3）定号（4）结论,其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。,配方,配方,因式分
7、解,若ba,结论又会怎样呢?,1.不等关系和不等式,小结,3.作差法的步骤：（1）作差（2）变形（3）定号（4）结论,其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。,作业,一、交：P75，B1，A4、5二、不交：练习册,第二课时,3.1 不等关系与不等式,不等式的性质,问题提出,1.反映实数大小关系的基本原理是什么？,ab0 ab,ab=0 a=b,ab0 ab,2.用“差比法”比较两个代数式大小的一般步骤如何？,作差变形判断符号,探究（一）：不等式的基本性质,思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，你能用数学符号语言表述这个不
8、等式性质吗？,ab ba（对称性）,思考2：若甲a的身材比乙b高，乙的身材b比丙c高，那么甲a的身材比丙c高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？,ab，bc ac；ab，bc ac（传递性）,思考3：再有一个不争的事实：若甲a的年薪比乙b高，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？,ab a+cb+c（可加性）,思考4：还有一个不争的事实：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多.这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？,ab，cd a+cb+d（同向可加性）,思考5：如果ab，
9、c0，那么ac与bc的大小关系如何？如果ab，c0，那么ac与bc的大小关系如何？为什么？,思考6：如果ab0，cd0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？,ab，c0 acbc；ab，c0 acbc(可乘性),ab0，cd0 acbd(正数同向不等式可相乘),思考7：如果ab0，nN*，那么an与bn的大小关系如何？,思考8：如果ab0，nN*，那么与 的大小关系如何？,ab0(nN*)(开方法则),ab0 anbn(nN*)(乘方法则),不等式性质的理解(1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲
10、目套用(2)性质4中当c0时，得同向不等式当cb0，这个条件不能忽略，当n取正整数时，可放宽条件，命题仍成立，,2,练习：用“”,”“号填空,判断下列命题的真假,用不等号，,填空,例1 已知ab0，c0，求证:.,题型一用不等式(组)表示不等关系,配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，yN)，请写出x，y应满足的不等关系式思路探索 根据甲、乙两种原料的限额列不等式,【例1】,已知x1，比较x31与2x22x的大小思路探索 先作差，然后因
11、式分解变形解x31(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2,题型二比较大小,【例2】,作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算性质、分母或分子有理化等另外还要注意分类讨论,已知a，bR，比较a4b4与a3bab3的大小解(a4b4)(a3bab3)a3(ab)b3(ba)(ab)(a3b3)(ab)2(a2abb2),【变式2】,用不等式表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组
12、，这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步,已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假(1)若ab，则acbc2，则ab；(3)若aabb2；审题指导 判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系,题型二不等式性质的应用,【例3】,规范解答(1)c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，故该命题为假命题(2分)(2)由ac2bc2知c0，c20，ab，故该命题为真命题(4分),(5)由已知条件知abab0，ab0，bab，a0，b0，故该命题为真命题(12分)【题后反思】利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在
13、解题时要灵活、准确地加以应用,【变式3】判断下列各命题是否正确，并说明理由,设f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4.求f(2)的取值范围,误区警示运用不等式性质不当致错,【示例】,在求解某些有关联的未知数的范围时，因多次使用不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)导致所给变量的范围改变，从而出现错误,正解 法一(待定系数法)设f(2)4a2bm(ab)n(ab)，所以f(2)3(ab)(ab)因为1ab2，所以33(ab)6.又因为2ab4，所以53(ab)(ab)10.即5f(2)10.,所以f(2)4a2b2(st)(ts)3st，而1sab2,2tab4，所以5 f(2)10.,要求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，利用性质时，必须步步有据，避免改变代数式的取值范围,单击此处进入 活页规范训练,作业：,一、交：书本：P75，A 2、B2二、不交：练习册：P4546(除A6，B4、5外全做),
