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1、1.列表法,3.逐差法 4.最小二乘法,2.作图法,一、列表法,在记录和处理实验测量数据时，经常把数据列成表格，它可以简单而明确地表示出有关物理量之间的对应关系，便于随时检查测量结果是否正确合理，及时发现问题，利于计算和分析误差，并在必要时对数据随时查对。通过列表法可有助于找出有关物理量之间的规律性，得出定量的结论或经验公式等。列表法是工程技术人员经常使用的一种方法。,列表时，一般应遵循下列规则（1）简单明了，便于看出有关物理量之间的关系，便于处理数据。（2）在表格中均应标明物理量的名称和单位。（3）表格中数据要正确反映出有效数字。（4）必要时应对某些项目加以说明，并计算出平均值、标准误差和相
2、对误差。,例：,通过测量温度t和在温度t下铜的电阻Rt来测量铜的电阻温度系数，得到t与Rt的数据列表如下：,表中数据均为有效数字,列表法,2-3 作图法处理实验数据,作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。,1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以 12mm对应于测量仪表的仪表误差。根据表数据U 轴可选1mm对应于0.10V，I 轴可选1mm对应于0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）约为130mm130mm。,作
3、图步骤：实验数据列表如下.表1：伏安法测电阻实验数据,二 作图法处理实验数据,2-3 作图法处理实验数据,2.标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。,2-3 作图法处理实验数据,5.标出图线特征：在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点 A、B 的坐标就可求出 R 值。,电阻伏安特性曲线,6.标出图名：在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。,由图上A、B两点可得被测电阻R为：,至此一张图才算完成,作图法,1.作图规则,作图一定要用坐标纸，测量数据
4、中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误差位在小格之间估计。,1.作图规则,标明坐标轴和图名,1.作图规则,标点,2.作图规则,连线,2-3 作图法处理实验数据,不当图例展示：,曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。,2-3 作图法处理实验数据,改正为：,2-3 作图法处理实验数据,横轴坐标分度选取不当。横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。,2-3 作图法处理实验数据,改正为
5、：,2-3 作图法处理实验数据,图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。,2-3 作图法处理实验数据,改正为：,3.作图举例,例：,直角坐标举例。测得铜电阻与温度对应的一组数据如表所示，试用直角坐标作图表示出电阻与温度的函数关系。,在图中任选两点 和，将两点代入式中可得：,最后，得到电阻随温度的变化关系为：,由于有x=0的坐标点，故,2.用电势差计校准量程为1mV的毫伏表，测量数据如下（表中单位均为mV）。在如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，并对毫伏表定级别。,毫伏表的级别为：,为1.5级表,三、逐差法,1.逐差法的含义,把实验测量数量（因变量）进行逐项相减或依顺序分为两组
6、实行对应项测量数据相减之差作因变量的多次测量值。然后求出最佳值算术平均值的处理数据的方法。,逐差法是对等间距测量的有序数据进行逐项或相等间隔项相减得到结果的一种方法。它计算简便，并可充分利用测量数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处理方法。1）逐差法的使用条件（1）自变量x是等间距离变化的。（2）被测的物理量之间的函数形式可以写成x的多项式，即,2）逐差法的应用,例：拉伸法测弹簧的倔强系数 设实验中等间隔地在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加9次，分别记下对应的弹簧下端点的位置L0、L1、L2、L9，则可用逐差法进行以下处理。（1）验证函数形式是线性关系 把所测的数据逐项相
7、减 当L1,L2、L9基本相等时，就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的.即F=K L 用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须要逐项逐差。,（2）求物理量数值,现计算每加一克砝码时弹簧的平均伸长量，若用上式，得：从上式可看出，中间的测量值全部低消了，只有始末二次测量值起作用，与一次加九克砝码的测量完全等价。,为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作一些组合，仍能达到多次测量来减小误差的目的。因此一般使用逐差法的规则如下：通常可将等间隔所测量的值分成前后两组的，前一组为L0、L1、L2、L3、L4，后一组为L5、L6、L7、L8、L9，将前后两组的对应项相减为 再取平均值
8、由此可见，与上面一般求平均值方法不同，这时每个数据都用上了。但应注意，这里的 是增加五克砝码时弹簧的平均伸长量。,例：,伏安法测电阻,试用逐差法求出电流I的最佳值并算出电阻R,.若按逐项相减，则有,解：,根据伏安公式,.若按顺序分为两组（15为一组，610为一组）,实行对应项相减，其结果如表：,可以利用这种分组法计算因变量 的平均值,根据欧姆定律得,2.有关逐差法的几点说明,使用条件：自变量等间隔变化（对一次逐差必须 是线性关系，否则先进行曲线改直）,用数据进行直线拟合（一次逐差）,优点：充分利用测量数据（取平均的效果）,作用：验证函数是否线性关系（一次逐差）,四、最小二乘法,近性计算法比较：
9、,作图法：直观、简便。但主观随意性大（粗略）,逐差法：粗略的近似计算方法（要满足一定条件）,回归分析法：最准确的计算方法,1.回归分析法定义：,由数理统计的方法处理数据，通过计算确定其函数关系的方法。,步骤：,1.推断函数形式（回归方程）,2.由实验数据确定参数a、b、c等的最佳值。,3.根据实验数据检验函数关系 是否合理。,y=aebx+c(指数关系）,如 y=a+bx(线性关系）,2.用最小二乘法进行一元线性回归,（1）最小二乘法原理,给定函数关系为 y=a+bx,最小乘数a和b的值是能使各次测量值误差平方和为最小的那个值。数学表达式为：,最小二乘法,由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线（
10、或曲线），常用的方法是最小二乘法。所得的变量之间的相关函数关系称为回归方程。所以最小二乘法线性拟合亦称为最小二乘法线性回归。本章只讨论用最小二乘法进行一元线性回归问题，有关多元线性回归和非线性回归，请参考其他书籍。1）一元线性回归 最小二乘法所依据的原理是：在最佳拟合直线上，各相应点的值与测量值之差的平方和应比在其他的拟合直线上的都要小。假设所研究的变量只有两个：x和y，且它们之间存在着线性相关关系，一元线性方程为：y=A0+A1X,实验中测得的一组数据是：需要解决的问题是：根据所测得的数据，如何确定上式中的常数A0和A1。实际上，相当于作图法求直线的斜率和截距。由于实验点不可能都同时落在上式
11、表示的直线上，为使讨论方便，限定：所有测量值都是等精度的。只要实验中不改变实验条件和方法，这个条件就可以满足。只有一个变量有明显的随机误差。因为xi和yi都含有误差，把误差较小的一个作为变量x，就可满足该条件。,假设在上式中的x和y是在等精度条件下测量的，且y有偏差，记作 把实验数据代入方程y=A0+A1X后得：其一般式为,i的大小与正负表示实验点在直线两侧的分散程度，其值与A0、A1的数值有关。根据最小二乘法的思想，如果A0、A1的值使 最小，那么上式就是所拟合的直线。求：A0、A1 由 对和求一阶偏导数，且使其为零得：,令 为 x 的平均值，即 为 y 的平均值，即 为 x2的平均值，即
12、为xy的平均值，即 代入前式中得：解得,2）把非线性相关问题变换成线性相关问题 在实际问题题中，当变量间不是直线关系时，可以通过适当的变量变换，使不少曲线问题能够转化成线性相关的问题。需要注意的是，经过变换等精度的限定条件不一定满足，会产生一些新的问题。遇到这类情况应采取更恰当的曲线拟合方法。例：若函数为X2+Y2=C,其中C为常数。令：X=x2,Y=y2,则有：Y=C-X。，其中a、b为常数，将原方程化为：，令 则有：Y=b+aX,3）相关系数（关联系数）在函数形式确定以后，用回归法处理数据，其结果是唯一的，不会像作图法那样因人而异。可见用回归法处理问题的关键是函数形式的选取。为了判断所得结
13、果是否合理，在待定常数确定以后，还需要计算一下相关系数。对于一元线性回归，定义为：,相关系数的数值大小反映了相关程度的好坏。可以证明其值介于0和1之间，值越接近于1，说明实验数据能密集在求得的直线附近，x,y之间存在着线性关系，用线性函数进行回归比较合理。相反，如果其值远小于1而接近0，说明实验数据对求得的直线很分散，x与y之间不存在线性关系，即用线性回归不妥，必须用其他函数重新试探。在实验中，一般当 时，就认为两个物理量之间存在较密切的线性关系。,r0 拟合曲线斜率为正,r0 斜率为负,r=0 则x和y无线性关系,例 用本节作图法例子中电阻丝电阻值随温度变化的实验数据，：结合最小二乘法做以下
14、内容（1）线性拟合，并写出直线方程：（2）求出电阻温度系数a和0时的电阻R0。（3）求出相关系数，评价相关程度。,假定一元线性方程为：,解：金属导体的电阻和温度的关系为,实验数据填入下表，并进行计算，结果见表3。115.0 225.0 28.05 786.8 420.8 220.0 400.0 28.52 813.4 570.4 325.0 625.0 29.10 846.8 727.5 430.0 900.0 29.56 873.8 886.8 535.0 1225 30.10 906.0 1054 640.0 1600 30.57 934.5 1223 745.0 2025 31.00 961.0 1395 850.0 2500 31.62 999.8 1581平均值32.5 1187.5 29.815890.269 982.219,由表3可得：代入式求A0、A1式中得：故函数关系为：R=26.5+0.101t()其中：R0=26.5（）（1/）,由值可见，R与t之间有较好的线性关系，即相关程度较好。用最小二乘法与用作图法求得的Rt之间的关系有一定的差别，说明作图法有一定的随意性。,
