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1、1,、解关于,x,的不等式,x,2,(1,a,),x,a,0.,解,方程,x,2,(1,a,),x,a,0,的解为,x,1,1,，,x,2,a,，函数,y,x,2,(1,a,),x,a,的图象开口向上，则当,a,1,时，原不等式,解集为,x,|,a,x,1,；,当,a,1,时，原不等式解集为,?,；,当,a,1,时，原不等式解集为,x,|,1,x,a,一、含参一元二次不等式解法,1,2,解关于,x,的不等式：,ax,2,(,a,1),x,1,0(,a,R),解：,原不等式可化为：,(,ax,1)(,x,1),0,，当,a,0,时，,x,1,，当,a,0,时,?,?,?,?,?,?,x,1,a,
2、(,x,1),0,1,a,x,1.,当,a,1,时，,x,1,，,2,当,1,a,0,时，,?,?,?,?,?,?,x,1,a,(,x,1),0,，,x,1,a,或,x,1.,当,a,1,时，,1,a,1,，,x,1,或,x,1,a,，,综上原不等式的解集是：,当,a,0,时，,x,|,x,1,；当,a,0,时，,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,|,1,a,x,1,；,当,a,1,时，,x,|,x,1,；当,1,a,0,时，,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,|,x,1,或,x,1,a,.,当,a,1,时，,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,|,x,1,a,或,
3、x,1,，,3,类题通法,解含参数的一元二次不等式时：,(1),若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于,0,与小,于,0,进行讨论；,(2),若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式,进行讨论；,(3),若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论,4,3,、已知关于,x,的不等式,x,2,ax,b,0,的解集为,x,|1,x,2,，求,关于,x,的不等式,bx,2,ax,1,0,的解集,解,x,2,ax,b,0,的解集为,x,|1,x,2,，,1,2,是,x,2,ax,b,0,的两根,由韦达定理有,?,?,?,?,?,a,1,2,，,b,1,2,，,5,得,?,?,?,?,?,a
4、,3,，,b,2,，,代入所求不等式，得,2,x,2,3,x,1,0.,由,2,x,2,3,x,1,0,?,(2,x,1)(,x,1),0,?,x,1,2,或,x,1.,bx,2,ax,1,0,的解集为,?,?,?,?,?,?,，,1,2,(1,，,),6,类题通法,1,一元二次不等式,ax,2,bx,c,0(,a,0),的解集的端点值是,一元二次方程,ax,2,bx,c,0,的根，,也是函数,y,ax,2,bx,c,与,x,轴交点的横坐标,2,二次函数,y,ax,2,bx,c,的图象在,x,轴上方的部分，,是由,不等式,ax,2,bx,c,0,的,x,的值构成的；,图象在,x,轴下方的部分，
5、,是由不等式,ax,2,bx,c,0,的,x,的值构成的，,三者之间相互依存、,相互转化,7,4,、,已,知,关,于,x,的,不,等,式,ax,2,bx,c,0,的,解,集,是,x,|,x,2,或,x,1,2,，求,ax,2,bx,c,0,的解集,8,1,、,关于,x,的不等式,(1,m,),x,2,mx,m,x,2,1,对,x,R,恒成立，,求实数,m,的取值范围,解,原不等式等价于,mx,2,mx,m,1,0,，对,x,R,恒成立，,当,m,0,时，,0,x,2,0,x,1,0,对,x,R,恒成立,当,m,0,时，,由题意，,得,?,?,?,?,?,m,0,，,m,2,4,m,?,m,1,
6、?,0,?,?,?,?,?,?,m,0,，,3,m,2,4,m,0,?,?,?,?,?,?,m,0,，,m,0,，或,m,4,3,?,m,0.,综上，,m,的取值范围为,m,0.,二、不等式恒成立,9,类题通法,不等式对任意实数,x,恒成立，,就是不等式的解集为,R,，,对于一,元,二,次,不,等,式,ax,2,bx,c,0,，,它,的,解,集,为,R,的,条,件,为,?,?,?,?,?,a,0,，,b,2,4,ac,0,；,一元二次不等式,ax,2,bx,c,0,，,它的解集为,R,的条件为,?,?,?,?,?,a,0,，,b,2,4,ac,0,；,一元二次不等式,ax,2,bx,c,0,的
7、解,集为,?,的条件为,?,?,?,?,?,a,0,，,0.,10,2,若关于,x,的不等式,ax,2,2,x,2,0,在,R,上恒成立，,求实数,a,的取,值范围,解：,当,a,0,时，原不等式可化为,2,x,2,0,，其解集不为,R,，故,a,0,不满足题意，舍去；当,a,0,时，要使原不等式的解集为,R,，只,需,?,?,?,?,?,a,0,，,2,2,4,2,a,0,，,解得,a,1,2,.,综上，所求实数,a,的取值范围为,?,?,?,?,?,?,1,2,，,.,11,2,、已知,f,(,x,),x,2,2(,a,2),x,4,，,如果对一切,x,R,，,f,(,x,),0,恒成立，
8、求实数,a,的取值范围；,解,由题意可知，只有当二次函数,f,(,x,),x,2,2(,a,2),x,4,的图象与直角坐标系中的,x,轴无交点时，才满足题意，,则其相应方程,x,2,2(,a,2),4,0,此时应满足,0,，即,4(,a,2),2,16,0,，解得,0,a,4.,故,a,的取值范围是,a,|0,a,4,12,解,若对任意，,x,3,1,，,f,(,x,),0,恒成立，则满足题意,的函数,f,(,x,),x,2,2(,a,2),x,4,的图象如图所,示由图象可知，此时,a,应该满足,?,?,?,?,?,f,?,3,?,0,，,f,?,1,?,0,，,3,2,a,1,，,变式,1,
9、、是否存在实数,a,，使得对任意,x,3,1,，,f(x),0,恒,成立若存在求出,a,的取值范围；若不存在说明理由,13,即,?,?,?,?,?,25,6,a,0,，,1,2,a,0,，,1,a,5,，,解得,?,?,?,?,?,?,?,a,25,6,，,a,1,2,，,1,a,5.,这样的实数,a,是不存在的，所以不存在实数,a,满足：对任意,x,3,1,，,f,(,x,),0,恒成立,14,变式,2,、已知函数,y,x,2,2(,a,2),x,4,，对任意,a,3,1,，,y,0,恒,成立，试求,x,的取值范围,解：,原函数可化为,g,(,a,),2,xa,x,2,4,x,4,，是关于,a,的一元一次,函数要使对任意,a,3,1,，,y,0,恒成立，只需满足,?,?,?,?,?,g,?,1,?,0,，,g,?,3,?,0,，,即,?,?,?,?,?,x,2,2,x,4,0,，,x,2,10,x,4,0.,因为,x,2,2,x,4,0,的解集是空集，所以不存在实数,x,，使函数,y,x,2,2(,a,2),x,4,，对任意,a,3,1,，,y,0,恒成立,15,
