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1、第一章 常用逻辑用语,1.1.3 四种命题间的相互关系,复习引入,从构成来看，所有的命题都具有条件和结论两部分构成,记做:,通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式。其中p和q可以是命题也可以不是命题.,命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题 定义的要点：能判断真假的陈述句,用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句叫做真命题。判断为假的语句叫做假命题。理解：1）命题定义的核心是判断，切记：判断
2、的标准必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。,下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。,观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？,(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；,互逆命题：一个命题的条件和结论分别是
3、另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原 命 题：其中一个命题叫做原命题。逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。,即 原命题:若p,则q,逆命题:若q,则p,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。,原命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢?,探究1：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？,例1.等边三角形的三个内角相等.,例2.若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数.,逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形.,逆命题:若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数.,（真命题）,（真命题）,（假命题）,（真命题）,原命题是真命题，它
4、的逆命题不一定是真命题.,观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？,(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.,原命题:若p,则q,为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作“p”“q”，读作“非p”“非q”。,否命题:若p,则q,互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。,原命题与其否命题的真假是否存在相关性呢?,
5、探究2：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？,否命题:同位角不相等,两直线不平行.,例1.原命题:同位角相等,两直线平行.,例2.原命题:若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数,否命题:若f(x)不是正弦函数,则f(x)不 是周期函数,（真命题）,（真命题）,（真命题）,（假命题）,原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.,观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.,原命题:若p,则q,逆否命题:若q,则p,互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是
6、第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”。,原命题与其逆否命题的真假是否存在相关性呢?,探究3：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定是真命题吗？,例1.原命题:同位角相等,两直线平行.,逆否命题:两条直线不平行,同位角不相等.,例2.原命题:若a b,则 ac2bc2。,若逆否命题:若ac2bc2,则ab。,（真命题）,（真命题）,（假命题）,（假命题）,原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题.原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题。,、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二
7、个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。,、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。,、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。,三个概念,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:,若 p,则 q 若 q,则 p若p,则q若q,则p,1：要写出一个命题的另外三个命题
8、关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若p则q”的形式）,2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”，（3）“都”的否定为“不都”。,注意：三种命题中最难写 的是否命题。,四种命题之间的关系,原命题若p则q,逆命题若q则p,否命题若 p则 q,逆否命题若 q则p,互为逆否 同真同假,互为逆否 同真同假,例:分别写出以命题的逆命题、否命题和逆否命题：若x=1或x=2，则x23x+2=0。,逆否命题：若x2x，则x且x。,逆命题：若x2x，则x或x。,否命题：若x且x，则xx。,例 设原命题是“当c 0 时，若a b，则ac bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判
9、断它们的真假：,解：逆命题：当c 0 时，若ac bc，则a b 逆命题为真,否命题：当c 0 时，若a b，则ac bc 否命题为真,逆否命题：当c 0 时，若ac bc，则a b 逆否命题为真,小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。,事例:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又道：“哎，不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。请你用逻辑学
10、原理解释这两人离去的原因。,解：张三走的原因是：“该来的没有来”，逆否命题是-“来了的是不该来的！”从而导致张三认为自己是不该来的。李四走的原因是“不该走的又走了”，其逆否命题是“没有走的是应该走的”，从而使李四觉得主人在赶自己走。,否命题与命题的否定,否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。对于原命题:若 p,则 q，否命题:若p,则q，命题的否定:若 p，则q。,例.命题：ABC中，若C90，则A、B都是锐角.命题的否命题是（），命题的否定是（）(A)ABC中，若C90，则A、B都不是锐角(B)ABC中，若C90，则A、B
11、不都是锐角(C)ABC中，若C90，则A、B都不一定是锐角(D)ABC中，若C90，则A、B不都是锐角,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某x，不成立,存在某x，成立,不等于,某个,某些,练习1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。(1)原命题：若 则答:逆命题：若 则 否命题：若 则 逆否命题：若 则,(2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是0；逆命题：若一个数的平方是0，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是0；逆否命题：若一个
12、数的平方不是0，则它不是负数.,试判断上面命题的真假.,真命题,假命题,假命题,真命题,假,假,假,假,练习2:把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.,解：原命题：若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点中心对称;逆命题：若一个函数的图象关于原点中心对称,则它是奇函数;否命题：若一个函数不是奇函数,则它的图象不关于原点中心对称;逆否命题:若一个函数的图象不关于原点中心对称,则它不是奇函数.,(3)奇函数的图象关于原点中心对称.,试判断上面命题的真假.,真命题,真命题,真命题,真命题,真,真,真,假,真,假,假,假,练习.四种命题真假的个数可能为（）个。,答：0
13、个、2个、4个。,一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:,练一练,1.判断下列说法是否正确。,1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；,（对）,2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。,（对）,2.原命题：若AB=A,则AB=。,逆命题：若AB=，则AB=A。,否命题：若ABA，则AB。,逆否命题：若AB，则ABA。,（假）,（假）,（假）,（假）,3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。,（错）,4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。,（错）,3）判断二次函数y=ax2+bx+c中，若b=a+c，则该二次函数不存在有零点”，它的逆否命题是,并判断其真假.,4）判断命题“若xAB，则x U A UB”的真假，学出它的其他三种命题并判断真假。,假,假,假,假,有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明,
