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1、一、复数的基本概念,1、称为复数，记为,其中 i 称为虚单位满足：,实数 x 和 y 称为实部和虚部，记为,2、与 相等,当且仅当,3、与 称为共轭复数，,记为 和,4、与 可以进行,加、减、乘、除等运算,从以上运算可看出复数的运算依然满足交,换律，结合律，分配律等，且完全平方公,式，平方差公式，立方差公式等也都成立。,5、全体复数可用平面点集表示，即表示,为平面直角坐标系中的坐标。,对应坐标系中的坐标,所以复数也可看成向量（矢量），其,加减运算服从平行四边形法则或三角,形法则。,性质：,此时整个平面称为复平面或 z 平面。,图中的红色箭头表示的复数。,6、既然复数可看成向量（矢量），则,必然
2、有大小和方向。,的大小(箭头长度)称为z的模,记为，显然,性质：,的方向由它与实轴的夹角确定。,此夹角称为辐角，记为,性质：,介于 之间的辐角称为主辐角，,记为：，显然有,辐角有无穷多个，所以定义：,例如：,则有,于是复数就有三种表示法：,指数形式表示法,7、设复数 的辐角为，模为,三角形式表示法,代数形式表示法,例如：,在进行复数的乘除运算时，使用指数形式,会较为方便，设,于是有：,8、复数的幂,设,z 的 n 次方根正好有 n 个根。,而,则,例如：,当,当,当,的 n 个根正好是内接于原点为圆心,为半径的圆的正 n 边形的顶点坐标。,9、平面曲线的复数方程,如何将曲线一般方程 改写为,复
3、数方程,表示复平面上的所有点，但当,x 与 y 满足一定关系式时，则此时的,就表示某曲线上的动点，于是,只要令，则,就表示 的复数方程。,例如：,的复数方程为,的复数方程为,或,的复数方程为,而圆心在,的圆复数方程为,或,二、复变函数,1、称为实(变)函数，,称为复变函数，,例如,2、当 代入时，可表示为,例如,三、复变函数的连续性与极限,等均为连续函数，,1、的连续性与 类似。,例如,间断点称为奇点。,如,的奇点为：,如,2、的极限,若 f(z)连续，则,也可以将 代入求极限，此时,就与二元函数求极限类似。,例如,注意：,此时的变化趋势是从任意方向无限接近。,令,当,证,当,性质：求极限时等价无穷小与洛必达法则,如,均可使用。,性质：,3、无穷远点,对于，当 时，则,练习,3、解方程,1、，求,2、，求,的指数表示形式。,4、证明 不存在,答案,1、,3、,2、,
