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1、反函数,镇沅一中 高一223班,复习:函数的概念,函数的三要素：,设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个函数,记作 y=f(x),其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域,什么叫函数？,简言之，函数就是非空数集到非空数集上的映射。,例:画出函数y=2x的定义域到值域上的映射示意图，并求f(2)与f(3)的值。,解：,f(-2)=-4,f(3)=6,易知 f:AB为一 一映射,二、探讨问题(1)若
2、f(x1)=-4,f(x2)=6,则x1=_，x2=_,-2,3,A,B,一、反函数的概念,一般地，函数y=f(x)中，设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到，如果对于y在C中的任何一个值，通过，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么，就表示y是自变量，x是自 变 量 y的函数，这样的 函数 叫做函数y=f(x)的反函数，记作 x=f 1(y)在函数x=f 1(y)中,y表示自变量,x表示函数.但在习惯上，我们一般用x表示自变量,y用表示函数，为此我们常常对调函数x=f 1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f 1(x),反函数的概念的理解：,结论:若y=f(x
3、)有反函数是y=f 1(x),则函数 y=f 1(x)的反函数就是y=f(x),它们是互为反函数。,回答：有。是,R,0,+),两个,不是,是否任何一个函数都有反函数？,这表明函数y=x2没有反函数！,并非所有的函数都有反函数！,什么样的函数才有反函数呢？,例：下列函数中，存在反函数的是（）,若函数y=f(x),是集合A 到集合B的函数,当不同x的对应不同的y且集合B无剩余元素时,函数y=f(x)存在反函数.,A,B,C,D,答案:C,请问，一个函数具有在某区间具有单调性，那么这个函数一定有反函数吗？,例：y=x2在0，+）上是增函数，y=x2也有反函数,例：y=在x0 上面具有反函数,但是它
4、在x0 上没有单调性!,所以，函数在某区间上面具有单调性，那么肯定有反函数，但是若函数有反函数，不一定是单调的！,4、反函数与原函数的关系：,A,C,y=f(x),y=f 1(x)(x=f 1(y),C,A,反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。,答：不是。因为前者的值域显然不是后者的定义域,所以求原来函数的反函数时，必须先确定反函数的定义域即：确定原函数的值域,结论：,例.求下列函数的反函数：,（1）,解：,所以，的反函数是,的值域是R,(2),解：,所以，的反函数是,的值域是R,解：,(3),所以，的反函数是,的值域是,(4),解：,所以，的反函数是,的值域是,二、求
5、反函数的步骤:,(2)反解:把y=f(x)看作是x的方程,解出x=f 1(y);,(3)互换:将x,y互换得y=f 1(x);,(4)注明:注明y=f 1(x)其定义域（即原函数的值域);,(1)求值:求出y=f(x)的值域,反函数的图象关系,首先，我们来看两个函数,思考一下，这两个函数图像有什么关系？,y=log2x,y=2x,二、图像的对称性,A(0,-2),B(-2,0),图像关于直线 y=x对称,三、小结：,2.若y=f(x)有反函数是y=f 1(x),则函数y=f 1(x)的反函数就 是y=f(x)，它们是互为反函数。,4.反函数与原函数的关系：反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。,谢谢,
