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1、2、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里叶变换的应用受到限制。,3、它只能求出系统的零状态响应，零输入响应还得用其他方法确定。,在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题-即拉普拉斯变换。,应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是建立在线性时不变系统具有叠加性和齐次性的基础上的，只是信号分解的基本单元函数不同。因此这两种变换，无论在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变换的一种特殊情况。,因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。,由于当,本章共四节：拉普拉斯变换；拉普拉斯变换的性
2、质；拉普拉斯逆变换；复频域分析；,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，这样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法，引出了拉普拉斯变换。,如：一个指数增长的信号 显然不满足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。,51 拉普拉斯变换,对任意信号 乘以一个衰减因子,适当选取 的值使 当 时,信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：,例如,不满足绝对可积的条件。,只要,满足绝对可积的条件。,又如,也不满足绝对可积的条件。,只要,满足绝对可积的条件。,上述积分结果是 的函数，令其为 即：,假设 满足绝对可积条件，则,由傅立叶逆变换得：,令，为实数，则 于是上面
3、两个式子变为：,式称为双边拉普拉斯变换对；称为 的双边拉氏变换（或象函数）；称为 的双边拉氏逆变换（或原函数）。,二、收敛域,如前所述，选择适当的 值才可能使 满足绝对可积,才可使(1)式积分收敛，信号 的双边拉普拉斯变换存在。通常把 满足绝对可积的 值的范围称为收敛域。,我们先来研究两种信号：,（1）因果信号,（2）反因果信号,解：,可见对于因果信号，仅当 时，其拉氏变换才存在。其收敛域为。,在以 为横轴，为纵轴的 平面（复平面），是一个区域，称为拉普拉斯变换的收敛域或象函数的收敛域。如下图 所示。,收敛边界,解：,可见对于反因果信号，仅当 时，其拉氏变换才存在。其收敛域为。如图所示。,S平
4、面,如果一个双边函数,其双边拉氏变换为,如果，当然存在共同的收敛域，收敛域是带状区域;,如果 则没有共同的收敛域，不存在。,双边函数的收敛域,当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏变换同时存在，将 代入即可得其傅氏变换。,双边拉氏变换便于分析双边信号,但其收敛条件较为苛刻,这也限制了它的应用,单边拉氏变换,实际用到的信号都有初始时刻，不妨设其为坐标原点，这样，时，从而拉氏变换可写成,本章仅讨论单边拉普拉斯变换，单边拉普拉斯变换简称为拉普拉斯变换或拉氏变换。,这里 0是指,三、（单边）拉普拉斯变换,的拉氏变换简记为:,逆变换简记为:,1、拉普拉斯变换的符号表示,（2）存在某个 有,(1)在有限区间
5、内可积。,那么对于，拉氏积分收敛。,2收敛域（单边拉氏变换存在条件）,我们称 为 指数阶的。,其中,(1)在有限区间 内可积。,条件1表明，可以包含有限个间断点，只要求它在有限区间可积。,（2）存在某个 有,满足条件2，且 有界，其拉氏变换存在,满足条件2，但 无界，其拉氏变换不存在,说明：,(1)在有限区间 内可积。,条件2表明，可以是随t的增大而增大的，只要它比某些指数函数增长的慢即可。,（2）存在某个 有,满足条件1，但不满足条件2，其拉氏变换不存在,说明：,满足条件1，且 选，有 其拉氏变换存在,再例如：,增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。,而,定理表明，满足条件1和2的因果函
6、数 存在拉氏变换，其收敛域为 以右，即 的半平面，而且积分是一致收敛的,(1)在有限区间 内可积。,（2）存在某个 有,说明：,另外，要注意还有一类信号：时限信号收敛域,时限信号的收敛域为整个 平面。,即,时限信号对于任何 都有,解：这个信号显然是可积的，且对于任何 都有,所以收敛域是整个 S 平面。,3常用信号的拉氏变换,例5.1-4 求、的象函数。,解：，均为时限信号，所以收敛域为整个 平面。,解：,特例：,*.收敛域简单记忆法：,其中 为 所有极点的实部的最大值。,的收敛域为：,*.由于单边拉氏变换的积分区间是，所以，与 的拉氏变换相同。为简便，时间函数中的 也常略去不写。,因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。,由于当,拉氏变换与傅里叶变换比较:,2.拉氏变换是傅氏变换的拓展，它对信号的限制要宽的多。象函数是复变函数，它存在于收敛域的半平面内，而傅里叶变换仅是收敛域中虚轴上的函数。,4.但拉氏变换也有不足之处，单边拉氏变换仅适用于因果信号，而且它们的物理意义不很明显，例有明确的物理含义，而 却没有明确的含义。,拉氏变换与傅里叶变换比较:,3.拉氏变换可同时求解零输入响应和零状态响应，且拉氏逆变换容易求得。,
