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1、首先，既然是求某曲线上某点的切线，那么必然得先有一个曲线，从最基本的二次函数曲线开始。右边，就是一个任意构造的二次函数曲线。,然后，再在这条曲线上任取一点，设为点A。,由图可以得知，y=x2-5x+1,A(4,-3).(取整点只为方便计算),再过A点，作一条切线 L1,那么，如何来求这条切线呢？,在这里，要用到,极限,的思想。,对于这条切线，我们做一下处理：假设在那条函数曲线上有另一个点A，直线L1通过点A和A。,那么，当点A和A之间的距离变近时，L1就越接近L1。而如果点A和A靠近到极限也就是重合的时候，L1就成为了L1。,所以设A的坐标点为（4-p，-3-q）,因为A(4,-3),因为A在
2、抛物线上由此我们可以列出方程(4-p)2-5*(4-p)+1=-3-q,(4-p)2-5*(4-p)+1=-3-q 16-8p+p2-20+5p+1=-3-q(展开)p2-3p=-q-p+3=q/p(两边同除以p)因为p，q 无限接近于0所以q/p=3,所以，L1的斜率为3设L1：y=3x+b 再将A（4，-3）代入可得：L1：y=3x-15,那么，这一条曲线上某点的切线的斜率和函数表达式应该是可以求的了，但若每一点都这样去求的话不是很麻烦？所以，还得找到一个通用的公式。,设该点的坐标为（x,y）,再按照上面方法求一遍(x-p)2-5*(x-p)+1=y-q(x2-5x+1)+p2-2px+5
3、p=y-q(展开并整理)p2-2px+5p=-q p-2x+5=-q/p(同除以p)p可以忽略不计所以，q/p=2x-5,可以得出，y=x2-5x+1在(x,y)处的切线的斜率为2x-5,设这个函数式的解析式为：y=ax2+bx+c同样有点A,A,切线L1，L1。设A(x,y),A(x+p,y+q),a(x+p)2+b(x+p)+c=y+q(ax2+bx+c)+2apx+ap2+bp=y+q(展开并整理)2apx+bp+ap2=q 2ax+b+ap=q/p(除以p)所以p/q=2ax+b,所以对于任意二次函数曲线(y=ax2+bx+c)上的点（x，y）的切线L1的斜率为2ax+b.,那么，二次
4、函数是如此，三次函数呢？,先画个图。,同样的，作出A.,设此函数式为：y=ax3+bx2+cx+d 可以列出方程：a(x+p)3+b(x+p)2+c(x+p)+d=y+q 3ax2p+3axp2+ap3+2bxp+bp2+cp=q(和前几次一样展开、化简)3ax2+3axp+ap2+2bx+bp+c=q/p(两边同除以p),3ax2+3axp+ap2+2bx+bp+c=q/p(两边同除以p),如何化简？,因为p可以忽略不计，所以3axp,ap2,bp可以忽略 所以，q/p=3ax2+2bx+c,即对于所有3次函数曲线（y=ax3+bx2+cx+d）的某点（x，y）的斜率为3 ax2+2bx+c
5、。,那如果是相对与全体函数呢？,（理论上曲线都可以用函数表示）,由对于二次函数曲线和三次函数曲线的总体的研究，我们可以发现，解关于斜率的方程都是将坐标（x+p,y+q）代入N次方程中,然而，如果将不同指数的每一项分开看的话,（这里以三次项为范例）,a(x+p)3+b(x+p)2+c(x+p)+d=y+q,3ax2p+3axp2+ap3+2bxp+bp2+cp=q,3ax2+3axp+ap2+2bx+bp+c=q/p,3ax2+2bx+c=q/p,a(x+p)3,ax3+3ax2p+3axp2+ap3,3ax2p+3axp2+ap3,3ax2+3axp+ap2,展开,将原有的部分去除,除以p,仍
6、带有p的忽略,所以处理后的结果就是展开来的式子中提出只带有一个p的这一项，再除以p,a(x+p)3,ax3+3ax2p+3axp2+ap3,3ax2,3ax2p,a(x+p)3,ax3+3ax2p+3axp2+ap3,3ax2,3ax2p,由各次方的展开式的系数的规律（杨辉三角形）我们可以知道，这一项(式子中提出只带有一个p的这一项)的展开后的系数就等于这一项的指数。,这处理为：axn 变为 anx(n-1),比如，将四次函数（y=ax4+bx3+cx2+dx+e）经过处理，变为 点（x，y）的斜率=4ax3+3bx2+2cx+d(零次项算在（将原有部分去除）里),axn 变为 anx(n-1),精品课件！,精品课件！,综上所述，对于任意曲线（函数式），将（标准式）每一项以axn 变为 anx(n-1)的变化，就可以求出在此函数式上坐标为（x,y）的点的斜率。,
