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1、第9课时 函数与方程,1.函数的零点(1)对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的(2)方程f(x)0有解函数yf(x)的图象 函数yf(x)有零点,基础知识梳理,零点,与x轴有交点,基础知识梳理,思考？,1.所有的函数都有零点吗？【思考提示】并非任意函数都有零点，只有f(x)0有根的函数yf(x)才有零点,(3)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个 也就是方程f(x)0的根,基础知识梳理,f(a)f(b)0,(a，b),f(c)0,c,基础知识梳理,思考？,2.在上面的
2、条件下，(a，b)内的零点有几个？【思考提示】在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定,2二分法(1)二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,基础知识梳理,f(a)f(b)0,一分为二,基础知识梳理,(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步：确定区间a，b，验证，给定精确度.第二步：求区间(a，b)的中点x1.,f(a)f(b)0,第三步：计算：若，则x1就是函数的零点；若，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若，则
3、令ax1(此时零点x0(x1，b)；,基础知识梳理,f(x1)0,f(a)f(x1)0,f(x1)f(b)0,f(x1),第四步：判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重重复第二、三、四步,基础知识梳理,三基能力强化,1(教材习题改编题)函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(),答案：B,三基能力强化,答案：B,3函数f(x)x32x2x的零点是()A0 B1C0和1 D(0,0)和(1,0)答案：C,三基能力强化,4若函数f(x)2x2ax3有一个零点是1，则f(1)_.答案：10,三基能力强化,5(2009年高考山东卷)若函数f(x)axxa(
4、a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_答案：a1,三基能力强化,函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点,课堂互动讲练,(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点,课堂互动讲练,(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点,课堂互动讲练,课堂互动讲练,判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)x3x1，x1,2；(3)f(
5、x)log2(x2)x，x1,3,【思路点拨】判定函数在端点处的函数值正负，然后判断是否存在零点,课堂互动讲练,【解】(1)法一：因为f(1)200，所以f(1)f(8)0，故f(x)x23x18，x1,8存在零点法二：令x23x180，解得x3或6，所以函数f(x)x23x18，x1,8存在零点,课堂互动讲练,(2)f(1)10，f(1)f(2)log2210.f(3)log2(32)3log2830.f(1)f(3)0.故f(x)log2(x2)x，x1,3存在零点,课堂互动讲练,【名师点评】函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象,课堂互动讲练,课堂互动讲
6、练,【思路点拨】借助函数零点存在性定理和函数在1,1上的单调性来判断,f(x)在1,1上是单调递增函数，f(x)在1,1上有且只有一个零点,课堂互动讲练,【规律小结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断,课堂互动讲练,课堂互动讲练,互动探究,若例2中x的范围改为R，试回答原来问题,解：f(x)42x2x2，令f(x)0，x2，1.x2是f(x)的极大值点,课堂互
7、动讲练,1用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得到各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；,课堂互动讲练,2在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间a，b长度尽可能小，且满足f(a)f(b)0.,课堂互动讲练,课堂互动讲练,求方程2x33x30的一个近似解(精确度为0.1),【思路点拨】令方程左边为f(x)，找f(x)存在零点的区间a，b用二分法求f(x)的零点得方程的近似解,【解】设f(x)2x33x3.经计算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点
8、，即方程2x33x30在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解，,课堂互动讲练,如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.,课堂互动讲练,至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.6875,0.75)内，可以将区间端点0.6875作为函数f(x)零点的近似值因此0.6875是方程2x33x30精确度为0.1的一个近似解,课堂互动讲练,【思维总结】求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运算即告结束,课堂互动讲练,有些问题利用零点求参数的范围，可
9、利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了这也体现了当不是求零点，而是求零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分12分)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根,【思路点拨】(1)g(x)m有零点，可以结合图象也可以解方程(2)利用图象求解,课堂互动讲练,课堂互动讲练,等号成立的条件是xe，3分故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有零点.5分,课堂互动讲练,3分可知若使g(x)m有零点，则只需m2e.5分
10、,课堂互动讲练,(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)f(x)中g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,课堂互动讲练,f(x)x22exm1(xe)2m1e2.,课堂互动讲练,其图象对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.10分故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，).12分,【误区警示】在讨论g(x)f(x)0有两个相异实数根时，求g(x)的最小值小于f(x)的最大值时不能取到等号,课堂互动讲练,(本题满分12分)若函数f(x)|4xx2|a，求满足下列条件a的值(1)有两个零点；(
11、2)有三个零点；(3)无零点；(4)有四个零点,课堂互动讲练,高考检阅,解：函数f(x)|4xx2|a有零点，等价于|4xx2|a0有实根，即|4xx2|a有实根，令g(x)|4xx2|，h(x)a，则上述问题等价于g(x)与h(x)有交点，故作出g(x)的图象，由图象可知：,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(1)当-a=0或-a4，即a=0或a-4时，g(x)与h(x)有两个交点，即f(x)有两个零点；4分(2)当a4，即a4时，h(x)与g(x)的图象有三个交点，即f(x)有三个零点.6 分,课堂互动讲练,(3)当a0，即a0时，g(x)与h(x)图象无交点；即f(x)无零点.8分(4)当0a
12、4，即4a0时，g(x)与h(x)图象有四个交点，即f(x)有四个零点.10分,综上所述：(1)当a0或a4时，f(x)有两个零点(2)当a4时，f(x)有三个零点；(3)当a0时，f(x)无零点(4)当4a0时，f(x)有四个零点.12分,课堂互动讲练,1函数零点的理解(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数,规律方法总结,(2)变号零点与不变号零点若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该
13、零点为函数f(x)的不变号零点若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件,规律方法总结,2用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根(2)求曲线yf(x)和yg(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数yf(x)g(x)的零点，即求f(x)g(x)0的根,规律方法总结,3用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题(1)第一步中要使：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)g(x)的根,规律方法总结,
