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1、1,第五节 函数的幂级数展开,一.泰勒级数,二.函数的幂级数展开,2,教学目标,1.了解泰勒级数的定义,掌握将函数展成泰勒级数的充要条件.,2.理解函数的幂级数直接展开法,3.掌握幂级数的幂级数间接展开法,3,通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间内均可表示成一个函数(即和函数).但在实际中为了便于研究和计算,常常需将一个函数在某点附近表示成一个幂级数.这正好和原来“求一个幂级数的和函数”问题相反.本节将介绍如何将一个函数表示为一个幂级数.,下面将解决这样一些问题:,(1)对于给定的函数(x),在什么条件下才能展开成幂级数?,(2)如果可以展开,怎样求这个幂级数的系数,4,(3)展开后
2、的幂级数是否唯一?,一.泰勒级数,的幂级数展开;称此幂级数为该函数的幂级数展开式.,5,我们称此等式为函数(x)在 x=x0 处的n阶泰勒Taylor公式或泰勒Taylor展开式.,其中,显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似之处.故为了讨论函数的幂级数展开,先来讨论泰勒级数.,由泰勒中值定理知,当(x)在 x0 的某邻域内具有直到 n+1,从而当(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有,阶导数,那么在该邻域内必有,6,的泰勒级数或泰勒展开式.,称为函数(x)在 处的麦克劳林级数或麦克劳林展开式.,7,满足,则这个幂级数一定是泰勒级数,也就是说,则,8,二.函数的幂级数展开,其幂级数展开式
3、必为麦克劳林级数.,数展开式必为泰勒级数;,若,在 x=0 处能展成幂级数,则,将初等函数展成幂级数的方法,9,1.直接展开法,数的方法,称为直接展开法.,(3)证明在收敛区间内余项,直接展开法的计算步骤为:,10,且其收敛区间为,于是,解,的一般项,则对 恒有,11,解,12,且其收敛区间为,于是,对,恒有,13,利用间接展开法,可以将幂函数,展开成 x 的幂级数.,14,称这个公式为二项展开式.,下面略去证明过程,有,注1 此级数在端点处的敛散性完全由的具体取值而定.,15,2.间接展开法,何级数、指数函数 ex 和正弦函数 sinx),进行逐项积分或,很大;下面利用幂级数的性质与已知幂级
4、数的展开式(如几,逐项微分或变量替换等方法,求出一些函数的幂级数展开,式间接展开法.,常用的函数展开式即收敛区间如下：,16,17,18,解,所以,而,于是,19,解,而,所以,20,解,于是,而,21,解,22,23,解,因为,于是,当,即,时,24,当,25,证,因为,所以,26,合并同类项得,27,27,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业：P130 1(单数),2,3,28,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开式的函数.,2.常用函数的幂级数展开式,29,30,有何不同?,提示 后者必需证明,前者无此要求.,提示,思考练习,31,解,x 1 时,此级数条件收敛,因此,3.将下列函数展开成 x 的幂级数,
