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1、初中常见动点问题解题方法,唐江红旗学校 张远强,引言,以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.,常见的动点问题,一、求最值问题二、动点构成特殊图形问题,一、求最值问题,初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助
2、的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。,一、求最值问题,例、如图，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是 _,一个动点,特点：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一 动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。,思路：解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点 满足最值的位置。,考题中，经常利用本身就具有对
3、称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。,p,练习1、如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数为（）A15 B.22.5 C.30 D.45 2、如图，在直角梯形中，ADBC，ABBC,AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，APD中AP边上的高为 _ 3、如图，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB,AOC=60，P是OB上的一动点，则PA+PC的最小值是_,两个动点（一）,特点：已
4、知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。,思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称 点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同 一直线上来解决。,例、如图，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值是_。,例、如图，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值是_。,解析：,过OB作P的对称点,过OA作P的对称点,90,练习1.如图，已知AOB的大小为，P是AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若PEF周长的最小值等于2，则
5、=（）A30 B.45 C.60 D.902.如图，AOB=30，内有一点P且OP=2，若M、N为边OA、OB上两动点，那么PMN的周长最小为（）A26 B.6 C.6/2 D.6,两个动点（二）,特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共 线，求不共线动点分别到定点和另一动点的距 离和最小值。,思路：（1）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动 点的对称点与定点的连线段上（两点之间线段 最短）,例、如图，在锐角ABC中AB=42,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是 _,（2）这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时，两线段和最小
6、，最小值等于这条垂线段的长。,练习1.如图，在ABC中，C=90，CB=CA=4，A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是_2.在锐角三角形ABC中，AB=4，BAC=60，BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB上动点，则BM+MN的最小值是 _,小结,以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。如何实现“搬点移线”,（1）确定被“搬”的点,（2）确定被“移”的线,二、动点构成特殊图形,问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性
7、质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。,如图：梯形ABCD中，AD/BC，AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发，沿着AD的方向向终点D以每秒一个单位的速度运动，当点P在AD上运动时，设运动时间为t，求当t为何值时，四边形APCB为平行四边形.,P,问题导入,P,解析,6,t,四边形APCB为平行四边形,AP=6 t=6,动点构成特殊图形解题方法,4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动点问题,2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意 的图形化动为静,3、根据已知条件，将动点的移动
8、距离以及解决 问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来,1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状 态时几何元素的关系，以及可求出的量,如图，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t0）.过点D作DFBC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.,
9、例题讲解,（1）求证：AE=DF解析：,A,t,2t,t,C,B,又AE=t，AE=DF。,在DFC中，DFC=90o，C=30o，DC=2t,DF=t,30o,（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.,A,t,2t,t,C,B,解析：,能，理由如下，,ABBC，DFBC，,四边形AEFD为平行四边形。,由（1）知AE=DF,AE DF,在RtABC中，设AB=x,则AC=2x,解得x=5,即AB=5,AC=10.,若使平行四边形AEFD为菱形，则须AD=AE，即t=10-2t,t=即当t=时，四边形AEFD为菱形。,30o,10-2t,（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.,A,t,2t,C,B,若EDF=90o时，则四边形EBFD为矩形,30o,10-2t,解析,在RtAED中，ADE=C=30o,AD=2AE,即10-2t=2t,t=,30o,当EDF=90o时,即10-2t=t,（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.,A,t,2t,C,B,当DEF=90o时,解析：,由（2）知EFAD,ADE=DEF=90o,A=90o-C=60o,AD=AE,则t=4,10-2t,30o,60o,（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.,当EFD=90o时,此种情况不存在。,解析：,A,C,B,30o,
