三角恒等式课件.ppt

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1、一、知识提要,1、同角三角比八个基本关系式,倒数关系：,SinCsc=1 CosSec=1 tgCtg=1,商数关系：,Sin=tg Cos,Cos=Ctg Sin,1、同角三角比八个基本关系式,平方关系：,Sin2+Cos2=1,tg2+1=Sec2,Ctg2+1=Csc2,1、同角三角比八个基本关系式,附：图示分析,平方关系：三个阴影三角形上面顶点平方和等于下顶点之平方,倒数关系：对角线两顶点之积为1,1、同角三角比八个基本关系式,商数关系：相邻的三顶点中间一个是两旁顶点的乘积。,1、同角三角比八个基本关系式,一般的，如果已知角三角比，并已知终边所在象限，角可唯一确定。若未知范围，可根据终

2、边象限讨论，并相应求出三角比。,证明三角恒等式时，如果式中含有正 余切割，同时又含有正余弦，一般化 弦，若仅含切割则不必了。,证明三角恒等式按由繁至简原则，或 左至右，右至左，或左右归一，总 之两端异化同。,2、两角和与差的余弦、正弦,本节从证明两角差的余弦公式出发，,通过不同的变换，再逐步推导出两角和的余弦及两角和与差的正弦，说明公式间有密切的内在联系。从这个角度准确理解，掌握好公式，才能提高运用公式解决问题的技巧。,由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律：对2k及(2k1)的三角比；诱导公式中三角比保持不变，对

3、2k(/2)及2k(3/2)的三角比，诱导公式中三角比发生改变，其次将公式中的理解为锐角，判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该象限的符号判别其诱导后三角比前取“”或“”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看象限”。,2、两角和与差的余弦、正弦,对于aSinbCos这样的式子，总 可以化为一个角的三角比形式。,2、两角和与差的余弦、正弦,即aSinbCos=a2+b2 Sin(+)。其中由,a bCos=Sin=a2+b2 a2+b2,02来确定。,3、两角和与差的正切、余切,两角和的正切公式：,两角差的正切公式：,这两式成立的条件是：正切符号“tg”后面的角、+、都不等于,tg+tg tg(+

4、)=1 tgtg,tg tg tg()=1+tgtg,k+(kZ)2,4、二倍角公式,正弦公式：Sin2=2SinCos,余弦公式：,Cos 2=Cos2 Sin2=2Cos2 1=1 2Sin2,正切公式：,2tgtg2=1-tg2,1(K+且 K+,KZ)2 2 4,运用公式变形：在解题过程中运用以上公式的变形十分重要，这是提高综合能力、提高数学思维素质的有效手段和途径。,4、二倍角公式,例如：,tg+tg=tg(+).(1 tgtg),tg tg=tg().(1+tgtg),Sin2 Sin=2Cos,Sin2 Cos=2Sin,Cos2 Sin2=1,1+Cos2 Cos2=2,1 C

5、os2 Sin2=2,4、二倍角公式,从本质上理解二倍角公式的含义。2是的二倍，是/2的二倍，4是2的二倍，等等。,有的特殊关系式也要记住：,1 tg=tg 1+tg 4,1+tg=tg+1 tg 4,5、半角公式,1 Cos Sin=2 2,1+Cos Cos=2 2,1 Cos tg=2 1+Cos,5、半角公式,变形公式：,Sin 1 Cos tg=2 1+Cos Sin,二、例题分析,例1：已知大于零度小于180度，且,1Sin+Cos=，求Sin和 5,Cos的值。,例1：已知大于零度小于180度，且,1Sin+Cos=，求Sin和 5,Cos的值。,分析：若求出sin cos值，,

6、1Sin+Cos=联立，5,可以求出Sin和Cos的值。,将之与,例1：已知大于零度小于180度，且,1Sin+Cos=，求Sin和 5,Cos的值。,解：,1Sin+Cos=代入 5,把,(Sin+Cos)2=1+2SinCos,得,12SinCos=25,0 180，且,12SinCos=0 25,900，Cos0,知：Sin Cos0,而(Sin Cos)2=1 2SinCos,12 25,49 25,=1,Sin Cos=,7 5,联立：,Sin Cos=,7 5,Sin+Cos=,1 3,得：,Cos=,3 5,Sin=,4 5,2,=,注意：对于任意角，总有,(Sin+Cos)2=

7、1+2SinCos,(Sin Cos)2=1 2SinCos,这两个等式联系着 Sin和Cos，Sin+Cos，Sin Cos，SinCos关系。,本例解法多种：可以利用,Sin2+Cos2=1,Sin+Cos=,1 5,求Sin,由于0180可知 Sin=,4 5,又如：,Sin+Cos=,1 5,12SinCos=25,得：,1 12x2 x=0 则Sin和Cos是方程的解。5 25,由本题可得启示：,Sin+Cos值小于1时，不在第一象限。Sin+Cos0时，不在第三象限。,例2：已知tg=3，求Sin2+SinCos+2Cos2的值。,例2：已知tg=3，求Sin2+SinCos+2C

8、os2的值。,分析：由已知条件tg=3，如果将已知式子变为只含式子，就可以求得所需值。,例2：已知tg=3，求Sin2+SinCos+2Cos2的值。,解：Sin2+2Cos2+SinCos,Sin2+2Cos2+SinCos=Sin2+Cos2,tg2+2+tg=tg2+1,32+3+2=32+1,7 5,=,注：此题注意了 Sin2+Cos2=1的主动灵活应用，三角函数中1的作用是灵活巧妙的。如：Sin4+Cos4=(Sin2+Cos2)2 2Sin2Cos2,例3：求证：(1+Ctg Csc)(1+tg+Sec)=2,例3：求证：(1+Ctg Csc)(1+tg+Sec)=2,证:原式=

9、,Cos 1 Sin 11+1+Sin Sin Cos Cos,Sin+Cos 1 Cos+Sin+1=.Sin Cos,2SinCos=2 CosSin,例3：求证：(1+Ctg Csc)(1+tg+Sec)=2,解：证,Cos 1 Sin 11+1+Sin Sin Cos Cos,Sin+Cos 1 Cos+Sin+1=.Sin Cos,2SinCos=2 CosSin,注：此例题体现了化弦。,例4：(1)求Sin33Sin12 Cos33 Cos12,7 2 2(2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,例4：(1)求Sin33Sin12 Cos33 Cos12,7 2 2

10、(2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,解：(1)原式=Cos(33+12)=Cos45=,22,例4：(1)求Sin33 Cos33 Cos12,7 2 2(2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,解：(1)原式=Cos(33+12)=Cos45=,22,7 2 2 Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,(2)原式=,7 2 1=Sin=Sin=18 9 6 2,例4：(1)求Sin33 Cos33 Cos12,7 2 2(2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,解：(1)原式=Cos(33+12)=Cos45=,22,7 2 2

11、 Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,(2)原式=,7 2 1=Sin=Sin=18 9 6 2,说明 本题旨在加深学生对公式的正，逆用。,例5：已知,3，2 4,Cos()=，,1213,Sin(+)=，,3 5,求Sin2。,例5：已知,3，2 4,Cos()=，,1213,Sin(+)=，,3 5,求Sin2。,解：,3，2 4,0，4,3+2,又 Cos()=,1213,Sin()=,513,Sin(+)=,3 5,Cos(+)=,4 5,Sin2=Sin(+)+(),=Sin(+),Cos()+,Cos(+),Sin(),3 5,=.+.=,1213,4 5,513,5

12、6 65,Sin2=Sin(+)+(),说明 使学生树立相对观点，不但知道+，分别是与两角的和、差。而 且会把2看作两角()与()的和，把2看()与()的差。,=Sin(+),Cos()+,Cos(+),Sin(),3 5,=.+.=,1213,4 5,513,56 65,例6：已知ABC中，SinASinBCosACosB，试判断ABC的形状，并说明理由。,例6：已知ABC中，SinASinBCosACosB，试判断ABC的形状，并说明理由。,解：CosACosB SinASinB0,Cos(A+B)0,ABC,ABC，而Cos(A+B)0,CosC0,CosC0 又0C,C ABC钝角三角

13、形,例7：已知,Sin+Sin=a(1)Cos+Cos=b(2),求Cos()的值,例7：已知,Sin+Sin=a(1)Cos+Cos=b(2),求Cos()的值,解：(1)式平方：即Sin2+Sin2+2SinSina2(3),(2)式平方：即Cos2+Cos2+2CosCos=b2(4),(3)(4)即 2+2Cos()a2b2,Cos()=,a2b2 2 2,说明 进行三角恒等变形常要用到代数 技巧，要熟悉所学三角公式的各 种形式，这样就可以有机地把代 数技巧结合到三角变换中去。,例8：当x取什么值时，y=1-(Sinx+Cosx)2+Cos2x取得最大值与最小值，最大值 与最小值各是多

14、少？,例8：当x取什么值时，y=1(Sinx+Cosx)2+Cos2x取得最大值与最小值，最大值与最 小值各是多少？,解法一：y1(Sin2x2Sinx Cosx+Cos2x Cos2x),3,1 1 Sin2x+Cos2x,3,2 Cos2x Sin2x,32,12,6,=2Cos 2x,当 2x+2k kZ,6,12,即 xk kZ时 y最大2,当 2x+2k+kZ,6,5 12,即 xk+kZ时 y最小 2,例8：当x取什么值时，y=1(Sinx+Cosx)2+Cos2x取得最大值与最小值，最大值与最 小值各是多少？,解法二：,3,y1 Sin(x+)2+Cos2x,2,4,3,1 2S

15、in2(x+)+Cos2x,4,3,Cos(2x)+Cos2x,2,3,Sin2x+Cos2x(以下同法一),3,例9：已知Sin(2+)+2Sin=0,求证：tg=3tg(+),例9：已知Sin(2+)+2Sin=0,求证：tg=3tg(+),分析：欲证tg=3tg(+),Sin Sin(+)=3Cos Cos(+),3 Sin(+)Cos=SinCos(+),Sin(+)+2Sin(+)Cos=0,2Sin+Sin(2+)=0,例9：已知Sin(2+)+2Sin=0,求证：tg=3tg(+),证明:,Sin(2+)+2Sin=0,Sin(+)+2Sin(+)0,Sin(+)Cos+Cos(

16、+)Sin+2Sin(+)Cos Cos(+)Sin=0,3Sin(+)Cos Cos(+)Sin=0,tg=3tg(+),说明 2+=(+)+，=(+)角变换，再 变形（不化简而化繁）得到证明。,例10：已知2tg=3tg，,求证：tg()=,Sin25 Cos2,例10：已知2tg=3tg，,求证：tg()=,Sin25 Cos2,证明:由已知得tg=tg，,3 2,tg tg tg 左边=1+tgtg 2+3tg2,3 tg tg 2,1+tg2,3 2,Sin2 右边=5(Cos2+Sin2)(Cos2+Sin2),2SinCos=4Cos2+6Sin2,12Cos2,=,12Cos2

17、,2SinCos,(4Cos2+6Sin2),tg=2+3tg2,左边右边,分析：要证A=B，一般有三种方法：A B；B A；A C，B C，从而 A=B。本例用的是第三种方法，把“1”化为“Sin2+Cos2”是有时解题用的 方法，先化简为繁，反而能较快地达到 目的。,例10：已知2tg=3tg，,求证：tg()=,Sin25 Cos2,例11：已知 4CosCos=，,6,4SinSin=,2,求(1 Cos4)(1 Cos4)的值。,例11：已知 4CosCos=，,6,4SinSin=,2,求(1 Cos4)(1 Cos4)的值。,解：将已知的两式相乘，得,4.2SinCos2SinC

18、os=2,3,Sin2Sin2=,32,(1 Cos4)(1 Cos4),=2Sin222Sin22,=4(Sin2Sin2)2=4=3,34,例11：已知 4CosCos=，,6,4SinSin=,2,求(1 Cos4)(1 Cos4)的值。,说明：将已知两式相乘，是对所要求值的式子,(1 Cos4)(1 Cos4)进行分析而思考 出来的方法。4是2的二倍。,例12：已知A、B、C是ABC的三个内角，,求证：,A B B C C Atg tg+tg tg+tg tg=1 2 2 2 2 2 2,例12：已知A、B、C是ABC的三个内角，,求证：,A B B C C Atg tg+tg tg+

19、tg tg=1 2 2 2 2 2 2,证明：由,B C tg+=2 2,B2,C2,tg tg,B2,C2,tg+tg,1,可得,B2,C2,tg+tg=,B C tg+2 2,A tg 2 2,=,A tg 2,=C,左边=,A tg 2,B2,C2,tg+tg,+,B2,C2,tg tg,A tg 2,=,A tg 2,C,B2,C2,tg tg,1,+,B2,C2,tg tg,=,B2,C2,tg tg,1,+,B2,C2,tg tg,=1=右边,例12：已知A、B、C是ABC的三个内角，,求证：,A B B C C Atg tg+tg tg+tg tg=1 2 2 2 2 2 2,说

20、明：要掌握有关三角形内角的恒等式。由,A+B+C=得A+B=C，,A+B C=2 2 2。,于是Sin(A+B)=SinC，Cos(A+B)=CosC，,tg(A+B)=tgC，Sin=，,A+B 2,C os 2,C,Cos,A+B 2,C Sin 2,=,tg,，,A+B 2,C tg 2,C,=,例13：已知函数,f(x)=2aSin2x 2 aSinxCosx+a+b(a0),3,定义域为0,，值域为 5,1。求常数a、b。,2,例13：已知函数,f(x)=2aSin2x 2 aSinxCosx+a+b(a0),3,定义域为0,，值域为 5,1。求常数a、b。,2,解：利用二倍角公式可

21、得,f(x)=a(1 Cos2x)aSin2x+a+b,3,=a(Cos2x+Sin2x)+2a+b,3,=2aSin 2x+2a+b,6,x0,2,2x+在此区间,6,6,7 6,Sin(2x+)最大值为1，最小值为。,6,1 2,(1)当a0时，f(x)的最小值是 2a+2a+b=5，,即 b=5，f(x)最大值是,1 2,2a+2a+b=1,即 a=2。,(2)当a0时，f(x)的最小值是,1 2,2a+2a+b=3a+b=5,而f(x)最大值是,2a+2a+b=1,b=1，a=2,a=2，b=5 或a=2，b=1,例13：已知函数,f(x)=2aSin2x 2 aSinxCosx+a+

22、b(a0),3,定义域为0,，值域为 5,1。求常数a、b。,2,说明：分类讨论是数学解题中的一种重要的也 是常用的思维方法。,例14：已知SinCos=，,60169,且(,),求tg的值。,4,2,例14：已知SinCos=，,60169,且(,),求tg的值。,4,2,解法一：由已知,Sin2=,120169,，,4,2,2,2,Cos2=1 2,120169,=,119169,tg=,1 Cos2 Sin2,1+,119169,120169,=,12 5,=,例14：已知SinCos=，,60169,且(,),求tg的值。,4,2,解法二：同解法一到cos2=止。,119169,(,)

23、,4,2,tg0,tg=,1 Cos2 1+Cos2,1+,119169,119169,=,1,=,12 5,例14：已知SinCos=，,60169,且(,),求tg的值。,4,2,解法三：由已知1+2SinCos=,289169,又SinCos0，,(Sin+cos)2=,289169,Sin+Cos=,1713,(1),，,同样(Sin cos)2=,，,49169,，,Sin Cos=,713,(2),由(1)、(2)式得,Sin=,1213,Cos=,513,tg=,12 5,说明：,的符号，故用半角公式,tg=,1 Cos2 Sin2,；,采用解法二须注意cos2本身是负值，而tg

24、是正值，采用解法三要注意由于的取值范围可确定sin+cos、sin-cos的符号。,解法一是根据题设可确定sin2、cos2,例15：已知tgA=,，求证：acos2A+bsin2A=a,例15：已知tgA=,，求证：acos2A+bsin2A=a,解：证法一 利用万能置换公式有：,左边=,aCos2A+bSin2A,=a.,1,1+,+b.,2.,1+,=a.,a2 b2,a2+b2,+b.,2ab,a2+b2,=,a3 ab2+2ab2,a2+b2,a(a2+b2),a2+b2,=,=a=右边。,例16：已知tgA=,，求证：acos2A+bsin2A=a,解：证法二,tgA=,SinA,

25、CosA,aSinA=bCosA,2aSin2A=2bCosASinA,2aSin2A=bSin2A,a(1 Cos2A)=bSin2A,acos2A+bsin2A=a,分析：题设中隐含了条件Ak+。看到题,例15：已知tgA=,，求证：acos2A+bsin2A=a,设中的tgA和求证式中的cos2A，sin2A自然想到用万能置换公式。,2,例16：已知tg+Sin=m，tg Sin=n,求证：m2 n2=4 mn,例17：已知tg+Sin=m，tg Sin=n,求证：m2 n2=4 mn,证明:,m2 n2,(tg+Sin)2(tg Sin)2,=,=4tgSin,4 mn=4 tg2 S

26、in2,=4(Sec2 1)Sin2,=4 tg2Sin2,=4tgSin,左右两边都等于4tgsin故相等。,例17：已知tg+Sin=m，tg Sin=n,求证：m2 n2=4 mn,解：证明,m2 n2,(tg+Sin)2(tg Sin)2,=,=4tgSin,4 mn=4 tg2 Sin2,=4(Sec2 1)Sin2,=4 tg2Sin2,=4tgSin,左右两边都等于4tgsin故相等。,注：此题体现了知识提要中左右归一的证题思路,三、小结,本节重点、难点：,1、掌握同角八个三角恒等关系式。,2、在两角和与差的公式中，以Cos(+)CosCosSinSin最为基本，应当掌握这一公式的推导过程，其它的一系列公式都可以通过诱导公式，同角关系式或式的变形运算得到，建议同学们在理解、掌握公式的来龙去脉的基础上去认识，记忆公式，而不要死记硬背。,3、公式的应用讲究一个“活”字，体现在 以下两个方面。(1)即要熟练地顺着用公式，也要善于 逆着用公式。(2)能够创造条件应用公式。如角的变 换：可表示为(+)，“2”可表示为(+)()等。,4、掌握和熟练运用两角的和与差的正 切公式、二倍角的正弦、余弦和正 切公式。5、灵活地选择各有关公式及其变形，进行三角式的化简、求值和证明。,