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1、三重积分习题课,重点：1.计算；2.应用,上边界曲面（上顶）,下边界曲面（下底）,xOy 坐标面上的投影区域,一、利用直角坐标系计算三重积分,“先一后二”,（一）先投影，再确定上、下面,c1,c2,.,“先二后一”,（二）坐标轴投影法,c1,c2:向 z 轴的投影区间,Dz:过 zc1,c2且垂于z轴的平面截 得到的截面,M(x,y,z)M(r,z),z,r,P(x,y,0),x,y,z,柱面坐标 M(x,y,z),M(r,z),z=z,.,.,二、利用柱面坐标计算三重积分,dr,r,rd,d,z,底面积：r drd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面 及+d;半径为 r 及 r+dr 的圆柱
2、面；平面 z及 z+dz；,dz,dV=,.,柱面坐标下的体积元素,.,dV,M(x,y,z)M(r,),r,P,y,x,z,.,.,.,球面坐标,三、利用球面坐标计算三重积分,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,球面坐标下的体积元素,.,半平面 及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+d,r 2 sin,drdd,dV,dV=,(一)平面区域的面积,设有平面区域D,(二)体积,设曲面方程为,则D上的曲顶柱体体积为:,则其面积为:,占有空间有界域的立体的体积为:,重积分在几何上的应用,(三)曲面的面积,(1)平面薄片的质心,重积分在物理上的应用,
3、(一)质(重)心,(2)空间物体的质心,(1)平面薄片的转动惯量,(二)转动惯量,(2)空间物体的转动惯量,则转动惯量为,设物体占有空间域,有连续密度函数,设物体占有空间区域V,体密度为,区域 V 之外有一质量为 m 的质点 A(a,b,c),求物体 V 对质点 A 的引力.,(三)引力,其中G为万有引力系数。,引力F在三个坐标方向上的分量为,三重积分可以用 直角坐标、柱面坐标和球面坐标来计算.其方法都是将三重积分化为三次积分.,三重积分的计算,将三重积分化为三次积分关键：,根据被积函数和积分域选择合适的坐标系;画出投影域、确定积分序;定出积分限、计算要简便.,1,化为球系下的方程,r=2 c
4、os,.,M,.,r,例1,例题,例1,解,利用球面坐标,画图,1,1,Dxy,Dxy:,x=0,y=0,x+2y=1 围成,1,.,.,.,例2：,x+2y+z=1,Dxy,I=,1,1,Dyz,.,.,.,例3：,x+y+z=1,I=,解,直接积分困难，考虑改变积分次序,例4,解,a,例5,D,S=,D:,.,.,.,例5,.,.,.,例5,解,S=,解,先算前面部分的面积A1,由,求交线,求柱面,所截剩下部分的面积.,被锥面,例8,解,例9,解,例10,旋转曲面方程为,旋转曲面方程,测 验 题,A,B,B,C,球面坐标,a,.,.,.,用哪种坐标？,r=a,.,例6,解,由积分区域的对称性知,
