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1、1.3.1 二项式定理,1.在n=1,2,3时，写出并研究(a+b)n的展开式.(a+b)1=,(a+b)2=,(a+b)3=,a+b,a2+2ab+b2,a3+3a2b+3ab2+b3,结合左边的次数分析：展开式中的项数、次数(a、b各自次数）每一项的系数规律,提出问题：,次数:各项的次数等于二项式的次数,项数:次数+1,(a+b)2(a+b)(a+b),展开后其项的形式为：a2，ab，b2,这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b,对(a+b)2展开式的分析,每个都不取b的情况有1种，即,则a2前的系数为,恰有1个取b的情况有 种，则ab前的系数为,恰有2个取b的情况有 种，则b2前
2、的系数为,(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？,问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？,2)各项前的系数代表着什么？,3)你能分析说明各项前的系数吗？,a4 a3b a2b2 ab3 b4,各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数,3)你能分析说明各项前的系数吗？,a4 a3b a2b2 ab3 b4,每个都不取b的情况有1种，即 则a4前的系数为,恰有1个取b的情况有 种，则a3b前的系数为,恰有2个取b的情况有 种，则a2b2前的系数为,恰有3个取b的情况有 种，则ab3前的系数为,恰有4个取b的情况有 种，则b4前的系数为,则(a+b)4 a4 a3b
3、a2b2 ab3 b4,a4 a3b a2b2 ab3 b4,项,系数,(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),结果：,发现规律：,对于(a+b)n=,的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个括号中取b(其余括号中取a)的组合数.那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？,将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？,归纳提高,(a+b)n=,二项式定理,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（r=0,1,2,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有_个项.,展开式,二项式系数,r+1,n+1
4、,2.系数规律：,3.指数规律：,（1）各项的次数均为n；（2）字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n,1.项数规律：,展开式共有n+1个项,二项式定理,二项式定理,4.二项式系数可写成组合数的形式,组合数的下标为二项式的次数,组合数的上标由0递增到n,5.展开式中的第 r+1 项，即通项 Tr+1=_；,6.二项式系数为 _；,项的系数为 二项式系数与数字系数的积,课堂练习,解:（1）,例1.用二项式定理展开下列各式：,例2、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项,解:,解:,第四项系数为280.,课堂小结,1.二项式定理2.二项式系数及项的系数；二项式系数与
5、数字系数的积3.通项公式,例4.求近似值（精确到0.001）,（1）(1.002)6；（2）(0.997)3（3）今天星期三，再过22001天是星几？,分析：（1）(1.002)6=（1+0.002)6（2）(0.997)3=(1-0.003)3（3）22001=（7+1）667,类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项.,课堂练习,4.,(1)求 的展开式常数项,解:,(2)求展开式的中间两项,解:,展开式共有10项,中间两项是第5、6项。,思考：,2、(a+2b+3c)7的展开式中a2b3c2项的系数是多少？,例5 求 展开式中的有理项,解:,令,原式的有理项为:,
6、112x,例7 计算并求值,解(1):将原式变形,例7 计算并求值,解:(2)原式,例8:求 的展开式中 项的系数.,解,的通项是,的通项是,的通项是,由题意知,解得,所以 的系数为:,注意：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算,例9 9192除以100的余数是,由此可见，除后两项外均能被100整除,所以 9192除以100的余数是81,整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数,，,1、已知 的展开式中x3的系数 为，则常数a的值是_,2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（）A.-297 B.-252 C.297 D.207,3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是_,课堂练习,4、已知(1+)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5、已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.,6、若 展开式中前三项系数成等差 数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项；,特别地:,对定理的再认识,2、令a=1，b=x,
