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1、系 统 误 差,第 3 章,3-1,主讲：马冰,教学目的和要求：,通过本章内容的教学，使学生对系统误差的产生原因、特征和消除方法，有一个整体的 认识。要求学生清楚系统误差的产生原因、特点和分类方法；了解系统误差处理的原则，了解系统误差的发现方法；初步掌握定值系统误差和变值系统误差的减弱和消除方法。,3-2,主 要 内 容：,1概述：系统误差的定义、产生原因、特点、分类。2系统误差对测量结果的影响：恒定系统误差对测量结果的影响、变值系统误差对测量结果的影响。3系统误差的发现方法：实验对比法、残余误差观察法、马列科夫准则、计算数据比较法、秩和检验法、t检验法。4.系统误差的一般处理方法：消除系统误
2、差的措施、恒定系统误差的减弱和消除方法、变值系统误差 的减弱和消除方法、系统误差的消除准则。,3-3,第一节 系 统 误 差 概 述,3-4,一、系统误差定义,所谓系统误差是指在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。,3-5,注：如真值一样，系统误差及其原因不能完全获知。在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。,特点：,具单向性（大小、正负一定）可消除（原因固定）重复测定重复出现,3-6,二、系统误差产生的原因,系统
3、误差是由人们可掌握，可控制，可调节，理论上能消除的较大因素造成 系统误差是可以设法预测的。测量装置的因素测量方法的因素测量环境的因素测量人员的因素,3-7,测量仪器方面的因素:如仪器设计上的缺点，刻度不准，仪表未进行校正或标准表本身存在偏差，安装不正确等；环境因素:如外界温度、湿度、压力等引起的误差；测量方法因素:如近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差；测量人员的因素:测量人员的习惯和偏向或动态测量时的滞后现象等，如读数偏高或偏低所引起的误差。针对以上具体情况分别改进仪器和实验装置以及提高测试技能予以解决。,3-8,激光数字波面干涉仪的系统误差来源,激光波长系统漂移 标准镜面局部缺陷的固
4、定电噪声 干涉视场的系统噪声 波差多项式模型误差,3-9,三、系统误差的分类与特征,1.分类,恒定（常量）可变（线性、周期性、其他复杂规律）,(2)根据对系统误差的掌握程度分类。,(1)根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性分类。,已定的未定的,3-10,2.特征(1)无补偿性：影响算术平均值的估计。(2)可变系统误差影响测量结果分散性的估计。,三、系统误差的分类与特征,3-11,定值系统误差,定义：在整个测量过程中，误差大小和符号均固定不变的系统误差。某量块的公称尺寸为10mm，实际尺寸为10.001mm,误差为-0.001mm,若按公称尺寸使用,则始终会存在-0.001mm的系统误差
5、。某千分尺零位位置不指零，也会在使用过程中造成对每次测量量值读数的一个常量的零值误差。,3-12,变值系统误差,定义：在整个测量过程中，误差的大小和符号随着测量位置或时间的变化而发生有规律的变化。线性（累进）变化系统误差 周期性变化系统误差 复杂规律变化系统误差,3-13,线性变化系统误差,定义：在整个测量过程中，随着测量位置 或时间的变化，误差值成比例地增大或 减小，称该误差为线性变化系统误差。,刻度值为1mm的标准刻尺，存在刻划误差，每一刻度间距实际为，若用它与另一长度比较，得到比值为，则被测长度的实际值为 由于测量值为，故产生的系统误差,是随测量值 的大小而线性变化的。,3-14,线性变
6、化系统误差举例,某长度为1 金属刻尺的材料随温度变化的线膨胀系数为，则在使用其测长时在偏离标准温度(200C)50C的条件下引起的测长误差可视为随温度线性变化的系统误差有 3。,在丝杠测量中，由于丝杠轴心线安装偏斜所造成的螺距累积误差，是随牙数或螺距的测量长度而线性变化的系统误差。,3-15,线性变化系统误差举例,线性变化系统误差举例,周期性变化系统误差,定义：在整个测量过程中，随着测量位置或 时间的变化，误差按周期性规律变化的，称其为周期性变化系统误差。,仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一个偏离值，则指针在任一转角 处引起的读数误差为。此误差变化规律符合正弦曲线规律，当指针在00和1800时
7、误差为零，而在900和2700时误差绝对值达最大。,某齿轮、光学分度头中分度盘等安装偏心引起的齿轮齿距误差、分度误差，都是属于正弦规律变化的系统误差。,3-18,复杂规律变化系统误差,定义：在整个测量过程中，随着测量位置或时 间的变化，误差按确定的更为复杂的规律变 化，称其为复杂规律变化系统误差。,微安表的指针偏转角与偏转力矩不能保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度所产生的误差。,复杂规律一般可建立诸如代数多项式、三角多项式或其他正交函数多项式等数学模型来描述。,3-19,各类特征系统误差图示,曲线a是恒定系统误差，曲线b是线性变化系统误差，曲线c是非线性变化系统误差，曲线d是周期性变化系统误差
8、，曲线e是复杂规律变化系统误差。,3-20,已定系统误差和未定系统误差,指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。,指这类系统误差的大小和符号不能完全确切掌握的，因此在处理和表征测量结果时，是属于不可修正的系统误差。,已定系统误差,未定系统误差,3-21,1、具有确定规律性：测量过程中误差的大小和符号固定不变，或按照确定的规律变化。2、产生在测量开始之前：影响系统误差的因素在测量开始之前就已经确定。3、与测量次数无关：增加测量次数不能减小系统误差对测量结果的影响。,四、系统误差的特点,3-22,第二节系统误差对测量结果的影响,3-23,1定值系统误
9、差对测量结果的影响,设有一组常量测量数据 中分别存在系统误差 和随机误差，真值记为,则这组测量数据的算术平均值：,表明系统误差一般不具有抵偿性，即,定值系统误差只影响重复测量结果的算术平均值，对残差没有影响，不影响随机误差的分布规律。,3-24,测量数据的残余误差：,2.变值系统误差对测量结果的影响,对于恒定系统误差，上式第二项 为零，说明恒定系统误差不会影响对残差的计算，因而不会对标准差的估计产生影响。,对于可变系统误差的情形，上式第二项一般不为零，说明可变系统误差还会对标准偏差的估计产生影响。,3-25,测量数据的残余误差,由于它在数据处理中只影响算术平均值，而不影响残差及标准差，所以除了
10、要设法找出该恒定系统误差的大小和符号，对其算术平均值加以修正外，不会影响其他数据处理的过程。,由于它对算术平均值和残差均产生影响，所以应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的影响。,可变系统误差,恒定系统误差,小 结:,3-26,可变系统误差的随机误差分布,时刻,时刻,时刻,时刻,对于测量过程中不同时刻情形，由于可变系统误差的存在，将随机误差的测量值分布展开后呈现如图所示:,可变系统误差造成测量结果的算术均值变化、分散性也变大的图形解释:,3-27,第三节 系统误差的发现方法,3-28,因为系统误差的数值往往比较大，必须消除系统误差的影响，才能有效地
11、提高测量精度。为了消除或减小系统误差首先碰到的困难问题时如何发现系统误差。在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，通常人们还难于查明所有的系统误差，也不可能全部消除系统误差的影响。发现系统误差必须根据具体测量过程和测量仪器进行全面的仔细分析，这是一件困难而又复杂的工作，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法，下面只介绍用于发现某些系统误差常用的几种方法。,定值系统误差的发现方法（1）对比检定法（单组测量）（2）均值与标准差比较法（多组测量）（3）t检验法（多组测量）（4）秩和检验法（多组测量）变值系统误差的发现方法（1）残差观察法（单组测量）（2）残差核算法（单组测量）前后分组核算（线
12、性）、阿卑-赫梅特准则（周期）（3）不同公式核对法（单组测量）,定值系统误差的发现方法,（1）对比检定法,试验对比法是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。这种方法适用于发现不变的系统误差。例如量块按公称尺寸使用时，在测量结果中就存在由于量块的尺寸偏差而产生的不变的系统误差，多次重复测量也不能发现这个误差，只有用另一块高一级精度的量块进行对比时才能发现它。在计量工作中，常用标准器具或标准物质作为检定工具，来检定某测量器具的标称值或测量值中是否含有显著的系统误差。标准器具所提供的标准量值的准确度应该比被检定测量器具的要高出12个等级或至少高几倍以上。,（2）均值与标准差比较法
13、,用区间概率估计原理判定是否有定值误差：给定置信概率Pa，若下式成立，则无系统误差。,（2）均值与标准差比较法,均值与标准差比较法,对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。设测量次数分别为n1和n2次，得 两组平均值 和 为：；,如果测量条件稳定，没有明显的变值系统误差，且都服从正态分布，则两列测得值的分布中心（数学期望）均将为理论均值，而 和 都将为 的近似值。根据 和 的近似程度，结合两者差异发生的概率，便可大致确定两组测得值是只含有随机误差，还是也伴有系统误差存在。,均值与标准差比较法,两列测得值的方差估计值为：,平均值 和 的方差估计值为：,两平均值之差
14、的方差为：,均值与标准差比较法,由于 和 是服从正态分布的随机变量，故其差值 也服从正态分布（其分布的平均值为零，方差为）。因此，可用区间的概率估计原理来判断是否有定值系统误差，即：,为与t对应的概率值，也可写成,均值与标准差比较法,在给定置信概率 时，若无定值系统误差，则 应不超出。如已经超出，则可认为 与 的差异不只有随机误差，而且还有定值系统误差存在。因为在不同测量条件下，得到的 和 具有相同的系统误差的可能性是非常微小的，这样判断的置信概率为。,（3）t 检验法,（3）t 检验法,（4）秩和检验法,（4）秩和检验法,（4）秩和检验法,秩和检验表,变值系统误差的发现方法,（1）残差观察法
15、,（1）残差观察法,（1）残差观察法,（1）残差观察法,（1）残差观察法,（2）残差核算法,（2）残差核算法,（2）残差核算法,（3）不同公式核对法,别捷尔斯公式,贝塞尔公式,贝塞尔公式,别捷尔斯公式,u服从正态分布,均值为0，标准差为：,判断准则：,（3）不同公式核对法,第四节 系统误差一般处理方法,3-56,系统误差一般处理方法,一、消除系统误差的措施 1从产生误差根源上消除系统误差。2利用加修正值的方法消除系统误差。3选择适当的测量方法消除系统误差。（1）替代法（2）交换法（3）异号法（4）对称测量法（5）半周期测量法,3-57,一、从产生误差根源上消除,最理想的方法。它要求对产生系统误
16、差的因素有全面而细致的了解，并在测试前就将它们消除或减弱到可忽略的程度。视具体条件不同，有：（1）所用基、标准件（如量块、刻尺、光波波长等）是否准确 可靠。（2）所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。（3）仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。（4）所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。（5）测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等（6）测量人员主观误差，如视差习惯等。,3-58,二、加修正值法,基本思想,预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，作出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包
17、含该系统误差的测量结果。,3-59,量块的实际尺寸不等于公称尺寸，若按公称尺寸使用，就要产生系统误差。因此应按经过检定的实际尺寸（即将量块的公称尺寸加上修正量）使用，就可以避免此项系统误差的产生。,关键：确定修正值或修正函数。,3-60,加修正值法,恒定系统误差,可变系统误差,按某变化因素，依次测得基准量 的测值，对差值 按最小二乘法确定该因素变化函数规律，取 其负值即为该可变系统误差的修正函数。,修正后残留的误差，可归成偶然误差来处理。,对已知基准量 重复测量取其均值，即 为其修正值。,3-61,三、改变测量方法,基本思想,在测量过程中，根据具体的测量条件和系统误差的性质，采取一定的技术措施
18、，选择适当的测量方法，使测得值中的系统误差在测量过程中相互抵消或补偿而不带入测量结果之中，从而实现减弱或消除系统误差的目的。,定值系统误差,标准量替代法,交换法,抵消法,线性系统误差,周期性系统误差,对称补偿法,半周期法,3-62,定值系统误差标准量替代法,在测量装置上测量被测量后不改变测量条件，立即用相应的标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而得到该标准量测量结果与已知标准量的差值，即系统误差，取其负值即可作为被测量测量结果的修正量。,3-63,不等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有,移去被测量，用标准砝码 代替，若该砝码不能使天平重新平
19、衡，如能读出使天平平衡的差值，则有,便消除了天平两臂不等造成的系统误差。,由于（存在恒定统误差的缘故）,标准量替代法举例,3-64,若将与交换位置，由于（存在恒定统误差的缘故），天平将失去平衡。原砝码P调整为砝码,才使天平再次平衡。于是有,根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。,定值系统误差交换法,不等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有,则有,消除了天平两臂不等造成的系统误差。,3-65,定值系统误差抵消法（异号法）,进行两次反向测量，该两次测量读数时出现的系统误差大小相等，符号相反，即,取两次测值的平均，有,在使用直角尺检定某量仪导轨运动
20、的垂直度时，可用它分别读数一次取算术平均值的方法，以使直角尺垂直误差得到补偿。,在使用丝杠传动机构测量微小位移时，为消除测微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的空回误差，往往采用往返两个方向的两次读数取算术平均值作为测得值，以补偿空回误差的影响,3-66,线性系统误差-对称测量法,在选取测量点时，取关于因素t的左右对称处，两次读数平均，可消除线性系统误差。,基本原理,对于线性系统误差，由于它随某因素t按比例地递增或递减，因而对任一量值 而言，线性误差依赖t而相对该值具有负对称性，对读数 与读数，因,有,3-67,对称测量法举例,测得依赖因素t的5个读数，可取对称读数平均值,作为测得值，可有效消除
21、该范围内的线性误差,机械式测微仪、光学比长仪等，都以零位中心对称刻度，一般都存在随示值而递增（减）的示值误差。采用对称测量法可消除这类示值误差,很多随时间变化的系统误差，在短时间内均可看作是线性的，即使并非线性的，只要是递增或递减的，如采用对称测量法，则可基本或部分消除,3-68,线性系统误差-基准变换消除法,用此法所消除的系统误差，从根源上看，多为定位基准不正确而长生的一种系统误差。它在测量过程中，反映在测量数据里呈线性形式。如用自准直仪及水平仪等测直线度误差（以测量的始末两点的连线为基准），用相对法测量齿轮的周节累积误差等都是典型的实例。对这些测量所规定的数据处理方法，就是为了消除这一误差
22、而采取的措施。,3-70,周期性系统误差-半周期法,对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。,仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心 引起的刻度示值,复杂规律变化的系统误差,构造合适的数学模型，进行实验回归统计后，对该误差进行补偿和修正。改用组合测量等方法，使系统误差以尽可能多的组合方式出现于被测量中，使之具有偶然误差的抵偿性，即以系统误差随机化的方式消除其影响。这种方法叫组合测量法。如用于检定线纹尺的组合定标法和度盘测量中的定角组合测量法以及力学计量中检定砝码的组合测量法等,3-71,复杂规律变化的系统误差,练习题:,3-73
23、,3-74,发现系统误差的常用方法,计量检定法 组内统计检验（残差统计法）组间系统误差检验,在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，通常人们难于查明所有的系统误差，即使经过修正系统误差，也不可能全部消除系统误差的影响。但是，人们在实际测量的工作过程中，经过不断的探索与总结，还是有一些发现系统误差的行之有效的方法,3-76,在计量检定中，常设（标准器具量值），现对均值 进行检定，判断其是否含有系统误差。,一、计量检定,在计量工作中，常用标准器具或标准物质作为检定工具，来检定某测量器具的标称值或测量值中是否含有显著的系统误差。标准器具所提供的标准量值的准确度应该比被检定测量器具的要高出12个等级或
24、至少高几倍以上。,现对被检量重复测量 次，假设测量服从正态分布,3-77,计量检定法步骤:,2、构造统计量,3、在给定显著水平下，查 分布表的临界值,4、作出决策。若，判定被检量算术平均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被检量含有恒定的系统误差。,5、加修正值。对测得值 加一个修正值，即,1、计算均值，按贝塞尔公式计算标准差,3-78,例 题,用量值为3.05的标准器具检定某台仪器，重复测量15次，数据依次见下，试分析该仪器的系统误差。2.9，3.0，3.1，3.0，3.1，3.2，3.1，2.8，2.9，2.9，3.0，3.0，2.9，2.9，2.8,3-79,【解】,计算,假设,被检仪
25、器,有,故仪器有显著系统误差,修正值,3-80,测量值,检查时间序号,标定该仪器在不同时间段的测量值的变化，包括算术平均值和标准差，以核查该测量仪器在一个长的时期内的测量准确度,使之得到控制,某仪器测量过程控制图,3-81,二、多台仪器间的比对测试,缺少标准器具的检定手段时，可以考虑选择几个实验室之间进行比对测试，在严格规定比对测试的规范基础上，可以通过对几个参加实验室的测试数据的汇总、统计分析，得出一些说明实验室之间测试结果是否有显著差异的结论。,在检查仪器的测量稳定性试验中，需要对仪器的某标准测量值进行不同时间段的多次重复测量，得到多组数据。,组间t检验法,组间F检验法,3-82,对某10
26、电阻器进行次测量，其均值和标准差估计值分别为和,两周后又用对电阻器进行次测量，其均值和标准差估计值分别为 和。试分析该两组测量结果是否有显著差异。（显著水平）,3-83,例 题,【解】,根据题意,查t分布临界值表有,故可断定在 下两组均值之间有显著差异。,按公式计算,由于,3-84,两组标准差之间的方差检验,1、检验,2、计算检验统计量,3、给定显著水平，查F分布表 和,4、作出决策。若，接受原假设，即认为两组标准层之间没有显著差异，否则存在显著差异。,3-85,2、组间F检验法（组数m2正态）,组数据，每组数据个数，,构造统计量,组内残差平方和,组间残差平方和,给定显著水平，若，则存在系统误差；反之则无根据怀疑各组间有系统误差。,自由度,3-86,在某仪器上测得13组数据，每组次数与算术平均值见下表（每次测量值略），试分析各组数据间是否有显著差异。（显著水平）,3-87,例 题,【解】,故可断定在下各组间存在系统误差。,经计算列出方差分析表，得,按,查表得,因,残差平方和,自由度,组间,组内,和,3-88,三、其他检验方法说明,1、各种检验方法可提供发现系统误差的信息。2、只能发现“有”，不能判断“无”。3、更不能给出系统误差的大小和产生原因。,3-89,
