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1、1.3.2函数的极值与导数,高二数学 选修2-2 第一章 导数及其应用,还记得高台跳水的例子吗？,探究一：,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,定义,一般地,设函数 f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有,我们就说 f(x0)是 f(x)的一个极大值,点x0叫做函数 y=f(x)的极大值点.,反之,若,则称 f(x0)是 f(x)的一个极小值,点x0叫做函数 y=f(x)的极小值点.,极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.,理解极值概念时需注意的几点：(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的
2、点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值,总结,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1),(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,（1）如图是函数 的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？,随堂练习,答：,1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x
3、)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。,如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？,探究,x,y,o,a,b,y-=f(x),0,0,0,0,极小值点,极大点,f(a)=0,f(b)=0,探究二：极值与导数之间的关系,a,b,x,y,O,1)如果在x0附近的左侧 f/(x0)0,右侧f/(x0)0,那么f(x0)是极大值.,2）如果在x0附近的左侧 f/(x0)0,那么f(x0)是极小值.,极值与导数之间的关系：,当 f/(x0)=0时：,f(a),f(b),小结,极值与导数之间的关系：,（
4、1）如图是函数 的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？,（2）如果把函数图象改为导函数 的图象?,随堂练习,答：,x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。,探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.,f(x0)=0 x0 是可导函数f(x)的极值点,x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0)=0,注：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,探究三：,求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f(x)=0的根（3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 若f(x)左正右负，则f(x)为极大值；若 f(x)左负右正，则f(x)为极小值,定义域 方程的根列表求极值,求函数的极值,已知函数的极值求参数,变式训练：,1.已知函数 在区间（-1,1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围（）,2.已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）,函数极值的综合应用,
