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1、泰勒中值定理,泰勒中值定理,B.Taylor 1685-1731 英国,观察 sinx 与一个多项式函数 f(x),问题的提出,（如下图）,以平直代曲,以切直代曲,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,泰勒(Taylor)中值定理,证明:,拉格朗日形式的余项,皮亚诺形式的余项,皮亚诺形式的余项用于极限计算,麦克劳林(Maclaurin)公式,Maclaurin 公式是Taylor中值定理的特殊形式，但却是独立于Taylor中值定理并且迟于它被提出来的。,Maclaurin 1698-1746 英
2、国,注 意:,3.凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问题，大部分都可以用Taylor 定理来解决。掌握了Taylor 定理以后，回过头来看前面的那些理论，似乎一切都在你的掌握之中了，你或许会有一种“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉！从这个意义上来讲，说“Taylor 定理是一元微分学的顶峰”并非妄言。,Taylor公式,Maclaurin 公式,简单的应用,解,代入公式,得,由公式可知,估计误差,其误差,对于我们初学者来说，在给出函数的Taylor展开式或者Maclaurin展开式时，我们要知道有一个余项存在，也就是说一个一般的函数不与一个n 次多项式函数完全相等，两者有些差别，差别用余项来
3、体现。但是余项具体的表达式我们现在可以不用考虑太多。,比如，给出函数 的Maclaurin展开式,常用简单函数的麦克劳林公式,可以注意到，正弦函数是一个奇函数，所以,的Maclaurin 展开的表达式中只有x 的奇数次方项，并且,所以我们可以通过这种方式来很快捷地掌握 的Maclaurin 展开式,所以，我们可以得到用n次多项式来近似表示正弦、余弦函数的近似计算结果，而且可以看到，随着n的增大，近似效果就越来越好，x的取值范围就可以随之而扩大。,播放,所以，有一个公式就可以想象并得到其它的几个公式。,例2,解,这就是所谓的“间接展开”。,解,例3,麦克劳林(Maclaurin)公式,Taylor公式,Maclaurin 公式,对于我们初学者来说，在给出函数的Taylor展开式或者Maclaurin展开式时，我们要知道有一个余项存在，也就是说一个一般的函数不与一个n 次多项式函数完全相等，两者有些差别，差别用余项来体现。但是余项具体的表达式我们现在可以不用考虑太多。,比如，给出函数 的Maclaurin展开式,
