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1、第四章 导数应用,第1课时导数与函数的单调性,1.探索函数的单调性与导数的关系.2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.,对于函数y=x3-3x,如何判断单调性呢?你能画出该函数的图像吗?定义法是解决问题的最根本方法,但定义法较繁琐,又不能画出它的图像,那该如何解决呢?,增函数和减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是.(如图(2)所示),单调增函数,单调减函数,单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间M上具有,区间M称
2、为.判断函数的单调性有 和,图像法是作出函数图像,利用图像找出上升或下降的区间,得出结论.奇函数在两个对称的区间上具有 的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有 的单调性.定义法是利用函数单调性的定义进行判断,通过设变量、作差、变形、定号,得出结论.作图并观察函数的图像,找出图像上升(或下降)的起点和终点的 坐标,从而得出单调递增(或递减)区间.,单调性,图像法,定义法,单调区间,相同,相反,横,根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间(a,b)内求函数单调区间的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f(x).(3)解不等式f(x)0或f(x)0,那么函数y=f(x)在
3、这个区间内单调递;如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递.(4)写单调区间.,增,减,1,D,【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数y=x2在(0,+)上是增函数.,函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减情况为().A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数y=2-3x2在区间(-1,1)上先增后减.也可通过导数研究,对于函数y=2-3x2,y=-6x,故当x(-1,0)时,y0,函数递增;当x(0,1)时,y0,函数递减.,2,C,如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数,那么a的取值范围是.【解
4、析】已知函数的图像为开口向上的抛物线,对称轴为x=1-a,若在区间(-,4上是减函数,则1-a4,故a-3.,3,(-,-3,4,求函数y=x2-x的单调区间.,求函数的单调性与其导函数正负的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,(续表),7,利用导数求函数的单调区间已知函数f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.,已知函数f(x)的导函数f(x)=ax2+bx+c的图像如下图所示,则函数f(x)的图像可能是().,【解析】由导函数图像可知当x0时,f(x)0,函数f(x)递减,排除A、B.又当x=0时,f(0)=0,所以选D.,D,判断下列函数的单调性,并
5、求出单调区间.(1)f(x)=sin x-x,x(0,);(2)f(x)=2x3+3x2-24x+1.,已知函数f(x)=ln x+x2+ax在定义域内为增函数,求实数a的取值范围.,B,1.函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,则“y=f(x)是R上的增函数”是“f(x)0”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】函数y=x3,当x=0时,f(0)=0,但y=x3是R上的增函数,故选B.,C,(0,1),3.函数y=x-ln x的单调递减区间是.,4.若函数y=x3+bx有三个单调区间,求实数b的取值范围.【解析】因为已知函数有三个单调区间,所以y=3x2+b=0有两个不同的实数根,即3x2=-b有两个不同的实数根,得b0,所以实数b的取值范围是(-,0).,有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明,
