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1、1.LTI离散系统的时域分析：,2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习离散变换,时域分析法：序列的变量-k,域分析法的基础,3.时域分析法主要内容：,概述：,求出响应与激励关系,经典法（自由响应和强迫响应）,零输入响应和零状态响应,冲击响应与卷积和,建立线性差分方程并,第三章 离散系统的时域分析,LTI离散系统的响应单位序列和单位序列响应卷积和,本章要点：,一 差分与差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程二 差分方程解 数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解三 零输入响应和零状态响应,3.1 LTI离散系统的响应,仿照微分运算，引出离散信号的差分运算的概念。,一、差
2、分与差分方程,1.差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)f(k 1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。前向差分与后向差分的关系：（3）差分的线性性质：af1(k)+bf2(k)=a f1(k)+b f2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=f(k)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=f(k)2 f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+bmf(k-m),1.定义差分,
3、2.差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),差分方程的阶数：未知序列最高与最低序数的差,上式各移位序列的系数均为常系数，即常系数差分方程，用来描述LTI离散系统；若系数是变量K的函数则为变系数差分方程,1、用迭代法求差分方程的数值解差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解当差分方程阶次较低时可以使用此法,二、差分方程的解,解：将差分方程中除y(k)以外的各项都移到等号右端，得,对k=2，将已知初始值y(0)
4、=0,y(1)=2代入上式，得,依次迭代可得,特点：便于用计算机求解 得不到闭合解,例3.11若描述某离散系统的差分方程为,已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k),1.齐次解：,与微分方程经典解类似:y(k)=yh(k)+yp(k),y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),齐次方程 y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0特征方程 n+an-1n 1+a0=0其根i(i=1，2，n)称为差分方程的特征根。,2、差分方程的经典解（闭合解）,若单输入-单输出的LTI系统的激励为f(k),全响应为y(k)，则
5、描述系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，一般可写为,齐次解（由特征根形式确定齐次解形式）-表3-1,2.有重根 特征根为r重根时,3.有一对共轭复根1、2=a+jb=ejYh(k)=kCcos(k)+Dsin(k)（或Akcos(k-),其中Aej=C+jD）,特解yp(k):,激励f(k),响应y(k)的特解yp(k),特解的形式与激励的形式类似,或,表3-2典型激励对应的特解,y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。,3）全解,代入初始条件求出待定系数Ci 于是得到完全解
6、的见书P88,解：方程的特征方程为,例3.1-2,若描述某系统的差分方程为,已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励f(k)=2k,k0。求方程的全解,特征根为1 22，为二重根，齐次解为,由题意，设特解为,将yp(k)代入到原方程得,全解为：,将已知条件代入，得C11,C2=-1/4,自由响应,强迫响应,初始条件y(0)=0,y(1)=-1,四步求解,1、完全解的形式,零状态响应，仅由激励引起,零输入响应，激励为零时的响应,三、零状态响应和零输入响应,零输入响应和零状态响应,（1）yzi(k)零输入响应（仅有系统的初始状态引起的响应）,差分方程：齐次,y(k)+an-1y(k-1)+a
7、0y(k-n)=0,y(k)=yzi(k)+yzs(k),2.借助经典法,Czij-待定系数由yzi(k)起始条件确定（k0）,yzi(k)=y（k），k0,零输入的初始状态满足,一般K=0，接入激励,由y(0)y（1）包含输入,由yzs(k)起始条件确定,其中：Czsj-待定系数-由yzs(k)起始条件确定,yp(k)-特解-,3.y(k)全响应,零输入响应,由yzi(k)起始条件确定,y(0)、y(1)-起始条件确定,待定系数代差分方程,待定系数代差分方程,零状态响应,强迫响应,自由响应,y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),差分方程：非齐次,（
8、2）yzs(k)零状态响应,初值的确定,yzi(-1)=y(-1),yzi(-2)=y(-2),-,yzi(-n)=y(-n),连续系统yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),yzi(1)=？,yzi(2)=？,yzi(n)=？,y(k)=yzi(k)+yzs(k),（1）yzi(k)初值,k0,激励没有接入f(k)=0,初始状态,迭代yzi（-1）yzi（0）,例3.1-4 若描述某离散系统的差分方程为,已知f(k)=0,k0,初始状态y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零输入响应,解：零输入响应满足,初始状态：,求初始值,差分方程的特征方程为：,齐次解为：,有必要吗
9、？,将初始值代入得：,由于yzs(k)为零状态响应，k0时激励还没有接入，所以有：yzs(-1)=yzs(-2)=yzs(-n)=0,（2）yzs(k)初值,yzs(0)、yzs(1)、-yzs(n)=？,借助差分分方程-递推迭代,零状态举例,例1：系统方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知激励 f(k)=2k,k0求系统的零状态响应。,零状态响应yzs(k)满足,yzs(k)+3yzs(k 1)+2yzs(k 2)=f(k),yzs(1)=yzs(2)=0,递推求初始值 yzs(0),yzs(1),yzs(k)=Czs1(1)k+Czs2(2)k+yp(k),代入初始
10、值求得 Czs1=1/3,Czs2=1,零状态响应,yzs(k)=(1)k/3+(2)k+(1/3)2k,k0,yzs(k)=Czs1(1)k+Czs2(2)k+yp(k),=Czs1(1)k+Czs2(2)k+(1/3)2k,yzs(1)=3yzs(0)2yzs(1)+2=1,递推求初始值 yzs(0),yzs(1),yzs(0)=3yzs(1)2yzs(2)+1=1,yzs(k)=3yzs(k 1)2yzs(k 2)+2k k0,0,yzs(k),激励,3.2 单位序列和单位序列响应,一、离散系统的零状态响应二、复习离散信号有关知识三、单位序列和单位阶跃序列四、单位序列响应和阶跃响应,一、
11、离散系统的零状态响应,零状态响应：当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)所产生的响应。用yzs(k)表示，满足如下方程：,若特征根均为单根，则有,Czsj为待定系数，yp(k)为特解。,注意：零状态响应的初始状态yzs(-1),yzs(-2),yzs(-n)为零，但其初始值yzs(0)，yzs(1)，yzs(2)，,yzs(n-1)不一定为零。,二、基本离散信号,定义：连续信号是连续时间变量t的函数，记为f(t)。离散信号是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数，记为f(tk)。离散信号表示：（a）图形表示,（tkt(k1)）在图a中为变数；在图b，c中为常数,（b）解析表示：,三、单位序列和
12、单位阶跃序列,1.单位序列（单位脉冲序列或单位样值序列）：,位移单位序列：,加：(k)+2(k)3(k),运算,乘：(k)(k)=(k),延时：,0,取样性质：f(k)(k)=f(0)(k),f(t)(t)=f(0)(t),f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0),f(k)(k)=f(0)(k),求和：,2.单位阶跃序列：(k),(1)定义：,(2)运算：,求和,（3)(k)与(k)的关系：(k)=(k)=(k)-(k-1)（差分表示，对应的微分(t)=d(t)/dt）求和(k)=对应的是连续系统的积分,式中，令 i=k-j,则当 i=-时，j=;当 i=k时，j=0,故,四、单位序列响应
13、和阶跃响应,单位序列响应当LTI离散系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应为单位序列响应，用h(k)表示。和连续系统的h(t)相类似。求h(k)的方法：（1）解差分方程；（2）z变换法（第六章）；分析：由于(k)仅在k=0时等于1，而在k0时为零，因而在k0时，系统的h(k)和系统的零输入响应的函数形式相同。因此，求h(k)的问题转化为求差分方程的齐次解的问题，而h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。,1).定义：g(k)=T0,(k)当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列(k)时，系统的零状态响应为单位阶跃序列响应，用g(k)表示。,2).h(k)与g(k)的关系：,h(k)=g(k
14、)=g(k)g(k 1),(k)=(k)=(k)(k 1),阶跃响应：g(k),线性移位不变性,由于,所以,(k2k1),表3-3几种常见的数列求和公式,(k0),(k2k1),(k0),例题,例3.2-1 求下图所示离散系统的单位序列响应h(k)。,（2）h(k)满足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k)h(-1)=h(-2)=0(3)求初始值：用迭代法 h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+(k)h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1(4)k0时,h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0 h(k)=c1(-1)k+c2(2)k h
15、(0)=c1+c2=1；h(1)=-c1+2c2=1 得 c1=1/3;c2=2/3所以,（1）列写差分方程：y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k),k0,K=0时，代入值已经考虑(k)作用了,经典法：同例3.2-1例：求y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)的单位阶跃响应g(k)经典法：g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k)g(-1)=g(-2)=0 迭代法g(0)=g(-1)+2g(-2)+1=1 g(1)=g(0)+2g(-1)+1=2 对k0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2）=1 齐次解：gn(k)=c1(-1)k+c2(2)k,求g(k)的方法,g(
16、k)=c1(-1)k+c2(2)k-，k0,特解：gp(k)=-（因为f（k）=(k)，设特解为P(k)）,代入g(0)，g(1)，解得c1=1/6;c2=4/3,g(k)=1/6(-1)k+4/3(2)k-(k),利用h(k)求g(k):,卷积和 卷积和图解法 不进位乘法求卷积 卷积和的性质,3.3 卷积和,1.序列的时域分解任意离散序列f(k)可表示为f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2)+f(i)(k i)+,信号f(k)分解为单位序列叠加,卷积和,线性运算,2.任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,3.卷积和的定义,已知定义
17、在区间（，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和,为f1(t)与f2(t)的卷积和，简称卷积；记为f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量i 下进行的，i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。,求和上下限,如果f1(k)为因果序列，由于k0时，f1(k)=0，故式(5.2-2)中求和下限可 改写为零，即,如果f2(k)为因果序列，而f1(k)不受限制，那么式(5.2-2)中，当(k-i)0，即ik时，f2(k-i)=0,因而和式的上限可改写为k，也就是,如果f1(k)和f2(k)均为因果序列，则有,(5.2-5),用定义求卷积和例题,例：f(k)=a k(k)
18、,h(k)=b k(k)，求yzs(k)。解：yzs(k)=f(k)*h(k),当i k时，(k-i)=0,这种卷积和的计算方法称为解析法,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为i得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转f2(i),右移k f2(k i)（3）乘积：f1(i)f2(k i)（4）求和：i 从到对乘积项求和。注意：k 为参变量。下面举例说明。,与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的翻转、平移、相乘、求和等四个基本步骤。,例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？,（1）换元（2）
19、f2(i)反转得f2(i)（3）f2(i)右移2得f2(2i)（4）f1(i)乘f2(2i)（5）求和，得f(2)=4.5,解：画出f1(i),f2(i),f2(-i),?,列表法求卷积和,f(k)=f1(k)*f2(k)=f1(i)f2(k-i),f(k)序号和：,见书p104,i+（k-i）=k,f1(i)和f2(k-i),将f1(k)的值排成一行；将f2(k)的值排成一列，交叉点处记入相应的乘积、沿虚线上对应序列和为常数，沿虚线各数值之和即为卷级和,不进位乘法求卷积与-列表法本质是一样,方法：,将两序列样值以各自k的最高值按右端对齐，然后把逐个样值对应相乘，但不进位，最后把同一列上的乘积
20、值按对位求和。,对有限长序列，卷积和的计算用：不进位乘法,f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。如k=2时f(2)=+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+,任意序列f(k)=+f1(-1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k-1)+f1(2)f2(k-2)+f1(i)f2(k i)+,+,f(k)=0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0,排成乘法,例 f1(k)=0，f1(1)，f1(2)，f1(3)，0 f
21、2(k)=0，f2(0)，f2(1)，0,不进位乘法求卷积和,例 f1(k)=1，2，3，4 k=0 f2(k)=5，6，7 k=0,1，2，3，4,5，6，7,解,7，14，21，28,6，12,18,24,5,10，15,20,+,5,16,34,52,45，28,求f(k)=f1(k)*f2(k),f(k)=5，16，34，52，45，28k=0,四、卷积和的性质,1.卷积和代数运算满足乘法的三律：(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.,求卷积和是本章的重点,三个LTI系统响应相同,级联,卷积和的代数运算规则在系统分析中的物理意义：两个子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应=两个子
22、系统的单位序列响应之和两个子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应=两个子系统的单位序列响应卷积和,2 与(k)卷积和:,证明:,(或用图形卷积法证明),3 与(k)的卷积和,(k)*(k)=(k+1)(k),性质求卷积和,例1 复合系统中h1(k)=(k)，h2(k)=(k 5)，求复合系统的单位序列响应h(k)。,解 根据h(k)的定义，有,h(k)=(k)*h1(k)(k)*h2(k)*h1(k)=h1(k)h2(k)*h1(k),=h1(k)*h1(k)h2(k)*h1(k)=(k)*(k)(k 5)*(k)=(k+1)(k)(k+1 5)(k 5)=(k+1)(k)(k 4)(k 5),(k)*(k)=(k+1)(k),例2 如图复合系统由两个子系统级联组成，其中h1(k)=2cos(k)，h2(k)=ak(k)，激励f(k)=(k)a(k-1)，求复合系统的零状态响应响应yf(k)。,解,yf(k)=f(k)*h1(k)*h2(k)=2cos(k)*ak(k)*(k)a(k-1)=2cos(k)*ak(k)-ak(k-1)=2cos(k)*(k)=2cos(k),作业P111-3.8（2），3.1（1）,3.12（2）,
