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1、22等差数列,22.1等差数列,1数列an的前4项为1,1,3,5，则其一个通项公式为.2若数列an的通项公式是an5n1，则其前5项依次为，第10项为3若an满足a13，an1an4，则该数列的前4项依次为，a2a1，a3a2，a4a3.其通项公式an.,an2n3,6,11,16,21,26,51,3,7,11,15,4,4,4,4n1,1等差数列的定义如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的，通常用字母 表示,二,同一个常数,公差,d,a1(n1)d,3.等差中项(1)如果三个数x、A、y组成，那么 叫做 和 的等差中项(2)
2、如果A是x和y的等差中项，则A4从函数角度认识等差数列若数列 是等差数列，首项a1，公差d，则anf(n)a1(n1)dnd(a1d)由此可看出：(1)an是n的 函数(2)点(n，an)落在直线 上(3)这些点的横坐标每增加1，函数值增加.,等差数列,A,x,y,一次,ydx(a1d),d,5等差数列的性质(1)等差数列的项与序号的关系,(nm),aman,an1,ank1,d,cd,2d,pd1qd2,如果an是公差为d的等差数列，那么，d与an的单调性有什么关系？【提示】等差数列的公差决定了数列的单调性当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列，不是递增数
3、列，也不是递减数列,在等差数列an中，已知a511，a85，求a10.【思路点拨】先求出首项和公差，写出通项公式，再求a10.,在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量,1.本例中，将条件改为已知a511，an1，d2，如何求n?,判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an1and(d为常数)，也可以用an1ananan1(n2)进行判断本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式,三个数x，y，z成等差
4、数列的充要条件是xz2y，即若已知x、y、z成等差数列，则2yxz，反之要证x，y，z成等差数列，则只要证xz2y即可,3.已知a，b，c成等差数列，那么a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)是否构成等差数列？【解析】a，b，c成等差数列，ac2b.又a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2cc2aab(a2b)bc(c2b)a2cc2a2abcac(ac2b)0，a2(bc)c2(ab)2b2(ca)，即a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)能构成等差数列,【思路点拨】既可以用等差数列的性质得到a2a10a3a92a6，也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解,方法一运用了等差数列的性
5、质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法两种方法都运用了整体代换及方程的思想,4.(1)在等差数列中，a1a4a715，a2a4a645，求数列的通项公式(2)设为等差数列，若a3a4a5a6a7450，求a2a8.,梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度【思路点拨】由题意可知，问题就是已知数列的首、末两项和项数，求中间其它项，因此，先求通项公式,在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决若这
6、组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题,5.甲虫是行动较快的昆虫之一下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)你能建立一个模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？,1理解等差数列的定义需注意的问题(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这
7、一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列,2判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)定义法：anan1d(常数)(n2且nN)等价于an是等差数列(2)等差中项法：2anan1an1(n2且nN)等价于an是等差数列(3)通项公式法：anknb(k，b为常数，nN)等价于an是等差数列,3等差数列与一次函数的关系,已知等差数列an：2,5,8，与等差数列bn：1,5,9，它们的项数均为40项，则它们有多少个数值相同的项？【错解】由已知两等差数列的通项公式为；an3n1
8、，bn4n3，(1n40，且nN)令anbn，得3n14n3，即n2.两数列只有一项数值相同，即第2项,【错因】本题中所说数值相同的项，它们的项数并不一定相同，因此，我们所关心的是这个数在两个数列中有没有出现过，而不关心它在数列中的位置,【答案】C,【答案】A,3等差数列中，已知a310，a820，则公差d_.【答案】6,4(1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数【解析】(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad，依题意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a
9、(ad)(ad)24，化简得d216，于是d4，故三个数为2,2,6或6,2，2.,方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，ad，a2d，依题意，3a3d6且a(ad)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a2d)24，得2(2d)(2d)24,4d212，即d216，于是d4，三个数为2,2,6或6,2，2.,(2)方法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.,练考题、验能力、轻巧夺冠,有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明,
