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1、课题9 扭转变形,9.1扭转的概念与外力偶矩的计算,9.1.1扭转的概念,在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的两力偶作用下，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形。,杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反的力偶。杆件的变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动。杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角，简称转角。工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。,9.1.2外力偶矩的计算,计算公式为：式中：Me作用在轴上的外力偶矩，单位为牛 顿米（Nm）；P轴传递的功率，单位为千瓦（kW）；n轴的转速，单位为转/分（r/min）,9.
2、2扭矩与扭矩图,9.2.1内力扭矩,9.2.2扭矩图,【例9-1】齿轮轴如图所示。已知轴的转速为n300r/min，齿轮A输入功率PA50kW，齿轮B、C输出功率PB30kW，PC20kW。不计轴和轴承的摩擦阻力，试作该轴的扭矩图。,【分析】（1）计算作用在齿轮A、B、C上的外力偶矩MeA、MeB、MeC Nm Nm Nm（2）求各段截面上的扭矩（采用截面法）首先，沿截面q-q截开，取左侧部分为研究对象，如图（b）所示，求BA间截面上的扭矩Mx1 M1x0，MeBMx10 Mx1MeB954.9 Nm 其次，沿截面r-r截开，取左侧部分为研究对象，如图（c）所示，求AC间截面上的扭矩Mx2 M
3、2x0，MeBMx2MeA 0 Mx2MeAMeB1591.5954.9636.6 Nm（3）画扭矩图 根据以上计算的结果，按比例画扭矩图，如图（d）所示。,9.3 圆轴扭转变形时横截面上的应力,9.3.1平面假设,在变形微小的情况下，可以观察到下列现象：第一，两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平行四边形；第二，轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变。根据观察到的现象，我们推断，圆轴扭转前的各个横截面在扭转后仍为互相平行的平面，只是相对地转过了一个角度。这就是扭转时的平面假设。,根据平面假设，可得两点结论：（1）由于相邻截面相对地转过了一个角度，即横截面间
4、发生了旋转式的相对错动，出现了剪切变形，故截面上有剪应力存在。又因半径长度不变，剪应力方向必与半径垂直。（2）由于相邻截面的间距不变，所以横截面 上没有正应力。,9.3.2横截面上的剪应力,9.3.2.1横截面上剪应力的分布规律,W称为抗扭截面系数，其单位为mm3或m3。,9.3.2.3极惯性矩和抗扭截面系数,（1）圆形截面（2）圆环形截面,【例9-2】一轴AB传递的功率P7.2kW，转速n360r/min。轴的AC段为实心圆截面，直径D32mm；CB段为空心圆截面，空心部分的直径d16mm，如图所示。试计算AC段横截面边缘处的剪应力以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。,【分析】（1）
5、计算扭矩 Nm（2）计算极惯性矩 AC段：mm4 CB段：mm4（3）计算剪应力 AC段横截面边缘处的剪应力:MPa CB段横截面外边缘处的剪应力:MPa CB段横截面内边缘处的剪应力:MPa,9.4 圆轴扭转时的变形,式中:Mx横截面上的扭矩；两横截面间的距离；G轴材料的切变模量；I横截面对圆心的极惯性矩。,圆轴单位长度上的扭转角称为单位扭转角，用表示，即 上式中，单位扭转角的单位是弧度/米（rad/m），工程上常用的单位是度/米（/m），即,【例 9-3】在【例9-2】中，若轴AC段的长度是2m，并已知G80GPa。试求截面A相对于截面C的扭转角。,【分析】rad,9.5圆轴扭转时的强度和
6、刚度计算,9.5.1强度计算,此式称为圆轴扭转时的强度条件。,9.5.2刚度计算,【例9-4】在【例9-3】中，已知轴的许用剪应力 40MPa，许用扭转角 0.5/m，材料的切变模量G8104MPa。试设计轴的直径。,【分析】（1）最大扭矩 由【例1】可知，|Mxmax|954.9Nm（2）按强度条件设计轴的直径 由 得:mm（3）按刚度条件设计轴的直径 由 得:mm 要使轴同时满足强度条件和刚度条件，取轴的直径D51.14mm52mm。,【例9-5】一空心传动轴的外直径D90mm，壁厚t2.5mm，轴的许用剪应力 60MPa，许用扭转角 1/m，材料的切变模量G8104MPa。若传递的最大力
7、偶矩Memax170Nm，试校核空心轴的强度及刚度。若将空心轴变成实心轴，试按强度设计轴的直径，并比较两者的材料消耗。,【分析】（1）校核强度 轴各截面上的扭矩MxMemax170Nm Mpa 因，所以该轴能满足强度要求。（2）校核刚度/mm0.901/m 因，所以该轴能满足刚度要求。（3）若改为实心轴，按强度条件设计轴的直径 mm,（4）比较材料消耗 空心轴和实心轴在相同条件下的材料消耗比就是截面面积之比，即 该比值说明，空心轴的材料消耗仅为实心轴的32.4%，可节约材料三分之二，所以空心轴是比较经济的。在工程实际中，用钢管代替实心轴，不仅节约材料，还可减轻构件的重量。,9.5.3提高圆轴扭转强度和刚度的措施,要提高圆轴扭转时的强度和刚度，应从以下几个方面进行考虑：（1）合理布置主动轮与从动轮的位置（2）提高轴的转速（3）合理选择截面形状（4）合理选择材料,
