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1、2023/3/17,1,多边形面积和重心,2023/3/17,2,基本问题（1）：,给定一个简单多边形，求其面积。输入：多边形（顶点按逆时针顺序排列）输出：面积S,2023/3/17,3,思考如下图形：,2023/3/17,4,先看最简单的多边形三角形,2023/3/17,5,计算几何的方法：,在计算几何里，我们知道，ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。,ABC成左手系，负面积,ABC成右手系，正面积,2023/3/17,6,大功告成：,Area(A,B,C)=1/2*(AB)(AC)=/2特别注意：以上得到是有向面积
2、（有正负）！,Xb X a Yb Y a,Xc X a Yc Y a,2023/3/17,7,凸多边形的三角形剖分,很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心，连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性，保证这些三角形全在多边形内，那么，这个凸多边形的有向面积：A=sigma(Ai)(i=1N-2),2023/3/17,8,凹多边形的面积？,2023/3/17,9,多边形面积公式：A=sigma(Ai)(i=1N-2),结论：“有向面积”A比“面积”S其实更本质！,2023/3/17,10,任意点为扇心的三角形剖分：,我们能把多边形分成N-2个三角形，为什么不能分成N个三角形呢？比如，以多边形内部
3、的一个点为扇心，就可以把多边形剖分成 N个三角形。,P0,P1,P2,P6,P5,P4,P3,2023/3/17,11,前面的三角剖分显然对于多边形内部任意一点都是合适的！,我们可以得到：A=sigma(Ai)（i=1N）即：A=sigma/2（i=1N）,Xi X0 Yi Y0,X(i+1)X0 Y(i+1)Y0,2023/3/17,12,能否把扇心移到多边形以外呢？,2023/3/17,13,既然内外都可以，为什么不设P0为坐标原点呢？,现在的公式？,2023/3/17,14,简化的公式：,A=sigma/2（i=1N）,Xi Yi,X(i+1)Y(i+1),面积问题搞定！,2023/3/
4、17,15,基本问题（2）：,给定一个简单多边形，求其重心。输入：多边形（顶点按逆时针顺序排列）输出：重心点C,2023/3/17,16,从三角形的重心谈起：,三角形的重心是：(x1+x2+x3)/3，(y1+y2+y3)/3,可以推广否？,Sigma(xi)/N,sigma(yi)/N(i=1N)?,2023/3/17,17,看看一个特例：,2023/3/17,18,原因：,错误的推广公式是“质点系重心公式”，即如果认为多边形的质量仅分布在其顶点上，且均匀分布，则这个公式是对的。但是，现在多边形的质量是均匀分布在其内部区域上的，也就是说，是与面积有关的！,2023/3/17,19,Solution:,剖分成N个三角形，分别求出其重心和面积，这时可以想象，原来质量均匀分布在内部区域上，而现在质量仅仅分布在这N个重心点上（等假变换），这时候就可以利用刚才的质点系重心公式了。不过，要稍微改一改，改成加权平均数，因为质量不是均匀分布的，每个质点代表其所在三角形，其质量就是该三角形的面积（有向面积！），这就是权！,2023/3/17,20,公式：,C=sigma(Ai*Ci)/A(i=1N)Ci=Centroid(O Pi Pi+1)=(O+Pi+Pi+1)/3C=sigma(Pi+Pi+1)(Pi Pi+1)/(6A),
