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1、-金融资产定价之应用,随机过程,随机过程,基础知识,基本概念,马尔可夫过程,随机分析,平稳过程,鞅和鞅表示,维纳过程,Ito定理,基础资产价格,衍生产品定价,第一章 基 础 知 识,第一节 概 率,第二节 随机变量及其分布,第三节 随机变量的数字特征,第四节 矩母函数和特征函数,第五节 条件期望,第六节 指数分布,第七节 收敛性和极限定理,第一节 概 率,一、基本概念,1随机试验,其结果在事先不能确定的试验。具有三个特性：,（1）可以在相同的条件下重复进行；,（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确 试验的所有可能的结果；,（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。,首页,2样本空间,随机试验
2、所有可能结果的集合，记为。其中每一个结果，称为样本点。,样本空间的一个子集E。,对样本空间的每一个事件E，都有一实数P（E）与之对应，且满足：,（1）,3随机事件,4概 率,（3）对两两互不相容的事件序列,（2）,则称P（E）为事件E的概率。,首页,二、概率的性质：,1,2,3,4,设,两两互不相容，则,5,设两两互不相容的事件,则对于任意事件A，有,首页,三、概率的连续性,1极限事件,对于事件,若,则称事件序列,递增，,若,则称事件序列,递减。,这样可定义一个新的事件，记为,首页,2连续性定理,若 是递增的或递减的事件序列，,证明,则,即 由包含在 中但不在任何前面的（）中的点组成。,设 是
3、递增序列，并定义事件：,定理 1,首页,容易验证（）是互不相交的事件，且满足,和,于是,首页,设E为随机试验，为其样本空间，A、B为任意两个事件，,四、条件概率,为事件A出现的情况下，事件B的条件概率，或简称事件B关于事件A的条件概率。,若,1定义,则称,首页,定理2（乘法公式）,2基本公式,假设 为任意n个事件（），,若,则,首页,定理3（全概率公式与贝叶斯公式）,设事件 两两互不相容，,则（1）对任意事件A，有,（2）对任意事件A，若，有,首页,五、独立性,如果事件A，B满足,设 是n个事件，如果对于任意 和，有,则称事件 相互独立。,则称事件A，B相互独立。,1定义,两个,n个,首页,2
4、独立性的性质,定理4 若事件A，B相互独立，则；分别也相互独立.,定理5 设事件 相互独立，若其中任意 个事件相应地换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。,推论 若事件 相互独立，则,首页,证,返回,首页,一、一维随机变量的分布,第二节 随机变量及其分布,1随机变量,设随机试验的样本空间为，如果对于每一个 都有唯一的一个实数 与之对应，这种对应关系称为一个随机变量，记作 或X。,2分布函数,随机变量X取值不超过x的概率，称为X的分布函数（其中x为任意实数），记为 即,首页,分布函数F（x）具有下列性质：,1,2,是非降函数，即当 时，有,3,4,F（x）是右连续的，即,首页,3分布
5、密度,最常见的随机变量是离散型和连续型两种。,离散型随机变量,随机变量X的可能取值仅有有限个或可列无穷多个。,设 是离散型随机变量X的所有可能的取值，是 的概率：,则称上式为X的概率分布或分布率。且满足,首页,3分布密度,连续型随机变量,如果对于随机变量X的分布函数为F（x），存在非负的函数f（x）,使对任意的实数x有,则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密度，且满足,首页,二、随机变量的联合分布,1联合分布函数,设 是样本空间的n个随机变量，为任意实数，则称,特别地,为随机变量的n维联合分布函数,即是X，Y的二维联合分布函数,首页,2二维分布密度,离散型,设（X，Y）所有可能的取值为
6、，而 是（X，Y）取值 为 的概率，即,则称上式为二维离散型随机向量（X，Y）的联合分布律。它满足,首页,2二维分布密度,连续型,如果存在一个非负的二元函数f（x，y）,使对任意的实数x，y有,则称（X，Y）为二维连续型随机变量，f（x，y）称为（X，Y）的概率密度，满足：,首页,3边缘分布及独立性,边缘分布,设（X，Y）的分布函数为，则X，Y的分布函数、，依次称为关于X和关于Y的边缘分布函数，且有,独 立 性,则称随机变量X和Y是相互独立的。,首页,离散型,若随机变量（X，Y）的联合分布律,分别称为（X，Y）关于X和Y的边缘分布律。,则,X和Y相互独立的充要条件是,首页,连续型,若随机变量（
7、X，Y）的概率密度为,则,X和Y相互独立的充要条件是,分别称为（X，Y）关于X和Y边缘概率密度。,首页,4条件分布函数,离散型,若，则称,为在条件 下，随机变量X的条件分布律。,同样,为在条件 下，随机变量Y的条件分布律。,首页,4条件分布函数,连续型,称为在条件 下，随机变量X的条件分布律。,同样,称为在条件 下，随机变量Y的条件分布律。,注意：分母不等于0,返回,首页,第三节 随机变量的数字特征,一、期望和方差,1期望,设离散型随机变量X的分布律为,则,设连续型随机变量X的概率密度为，,则,首页,函数期望,当 X为离散型随机变量,则,当X为连续型随机变量，,则,首页,2。方差,称随机变量
8、的期望为X的方差，即,计算方差时通常用下列关系式：,首页,3性质,（1）,（2）,（3）若X和Y相互独立，则,（4）,的充要条件是,返回,首页,3性质,（5）（柯西许瓦兹不等式）,等式成立当且仅当,（6）若X为非负整数值的随机变量，则,证,首页,（7）若X为非负值的随机变量，则,最后对每一丛向列求和，即得。,首页,1协方差,计算协方差时通常用下列关系式：,二、协方差和相关系数,2.相关系数,首页,3性质,（1）,（2）若X和Y相互独立，则,（4）的充要条件是X与Y以概率1 线性相关，即,（3）,返回,首页,例1,设XN（0，1），求,解,当n为偶数时，由分部积分得,当n为奇数时，,依次递推，注
9、意到，故,首页,在一次集会上，n个人把他们的帽子放到房间的中央混合在一起，而后每个人随机地选取一项，求每人拿到自己的帽子的人数X的均值和方差。,例2（匹配问题）,解,利用表达式,其中,即求EX、DX,故,因,首页,又,而,得,故,所以,返回,首页,一、矩母函数,第四节 矩母函数和特征函数,1定义,称 的数学期望,为X的矩母函数,2原点矩的求法,利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对 逐次求导并计算在 点的值：,首页,3和的矩母函数,定理1,设相互独立的随机变量 的矩母函数分别为，,则其和,的矩母函数为,首页,例1,设X与Y是独立的正态随机变量，各自的均值为 与，方差为 与，求X+Y的矩母函数。,解
10、,而正态分布的矩母函数为,所以,首页,二、特征函数,1.复随机 变量,设X，Y为二维（实）随机变量，则称,为复随机变量.,2.数学期望,3.特征函数,设X为随机变量，称复随机变量 的数学期望,为X的特征函数，其中t是实数。,还可写成,首页,4特征函数与分布函数的关系,特征函数与分布函数 相互唯一确定。,特别,当 存在时，有,5特征函数的性质,性质1,对任何实数t，,证,首页,性质2,证,性质3,设a，b为任意实数，则Y的特征函数 有,证,首页,性质4,性质5,设相互独立的随机变量 的特征函数分别为，,则和,若随机变量X的 n阶绝对矩存在，即,则X的特征函数 有n阶导数，且有,的特征函数为,首页
11、,例2,设随机变量X服从参数为 的泊松分布，求X的特征函数。,解,由于,所以,首页,例3,设随机变量X服从a，b上的均匀分布，求X的特征函数。,解,X的概率密度为,所以,首页,例4,设X B（n，p），求X的特征函数 及和。,解,X的分布律为,所以,由性质4知,故,首页,常见分布的数学期望、方差和特征函数,返回,见教材,首页,一、条件期望的定义,第五节 条件期望,离散型,其中,连续型,其中,条件概率密度,首页,二、全数学期望公式,定理1,对一切随机变量X和Y，有,连续型,是随机变量Y的函数，当 时取值因而它也是随机变量。,离散型,首页,证 只证（X，Y）是离散型随机向量时的情况,首页,一矿工困
12、在矿井中，要到达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走3个小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走5个小时又返回原处，从第三个通道出去要走7个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他到达安全地点平均要花多长时间。,例1,解,设X表示矿工到达安全地点所需时间，Y表示他选定的通道，则由定理1可知,所以,首页,设在某一天内走进一个商店的人数是数学期望等于100的随机变量，又设这些顾客所花的钱都为数学期望是10元的相互独立的随机变量，再设一个顾客化钱时和进入该商店的总人数独立，试问在给定的一天内，顾客们在该店所化钱的期望值为多少？,例2,解,设N 表示进入该店的顾客人数
13、，表示第i个顾客所花的钱数，,则N 个顾客所花钱的总数为,则一天内顾客们在该店所化钱的期望值是,首页,而,从而,由假设,所以,于是,它说明顾客们花费在该店钱数的期望值为1000元。,首页,三、条件期望的应用,定理2,设X、Y是随机变量，是Borel函数，,证,下面的命题说明在均方意义下，在已知随机变量X的条件下，是Y的最佳预测。,则,首页,由于 当X取定值时是常数，,所以,故得,由定理1，两边取数学期望，即得证。,首页,通常当我们观察到 时，是一切对Y的估值中均方误差最小的一个，我们称之为Y关于X的回归。,例3,设身高为x（cm）的男子，其成年儿子的身高服从均值为，方差为10的正态分布，问身高
14、为175cm的男子，其成年儿子的身高的最佳预测值是多少？,令X表示父亲身高，Y表示儿子身高，则,解,N（0，10）,与X独立,Y的最佳预测是,即其成年儿子的身高的最佳预测值是178cm。,返回,首页,一、指数分布的定义,第六节 指数分布,若连续型随机变量X的概率密度为,分布函数为,则称X具有参数为 的指数分布。,首页,二、无记忆性,若随机变量X满足,则称随机变量X是无记忆的。,如果我们把X看作某仪器的寿命，则X的无记忆性表示:,在仪器已工作了t 小时的条件下，它至少工作 小时的概率与它原来至少工作s 小时的概率是相同的。,换句话说,如果仪器在时刻t是完好的，则它的剩余寿命的分布就是原来寿命的分
15、布。,首页,考虑一个有两名营业员的邮局。假设当A进去时，他发现一名营业员正在给B办事而另一名营业员正在为C服务。还假设已告诉A，一旦B或C离开就为他服务。如果一个营业员为一个顾客所花的时间服从均值是 的指数分布。三个顾客中A最后离开邮局的概率是多少？,例1,解,考虑A发现一个营业员有空的时刻，此时B与C中有一个刚好离开而另一个仍在接受服务。,由指数分布的无记忆性，这另一个人在邮局再花费的时间也服从指数分布，其均值仍为，即仿佛他才开始服务.,因此由对称性，他在A之前结束服务的概率为，故A最后离开邮局的概率也是。,首页,三、失效率函数,指数变量的无记忆性可有指数分布的失效率函数（也称风险率函数）进
16、一步予以阐明。,1定义,设 是一个非负连续随机变量X的分布函数，其密度函数，,则,称为X 的失效（或风险）率函数。,存活函数,首页,2 的直观解释,为了阐明的意义，把X设想为某种元件的寿命，且X假定已经存活t 小时，我们要求再过时间dt它失效的概率，即考虑,由于,可见 表示一个t 岁的元件将失效的可能性大小，即元件将失效的概率强度。,首页,3生起率,假设寿命分布是指数分布，那么由无记忆性，一个t 岁的元件的剩余寿命的分布与一个新元件的寿命分布相同，因此应当是常数。,事实上,指数分布的失效率函数是常数。参数 常称为分布的生起率（或速率）。,于是,4失效率函数 与分布函数关系,（1）失效率函数 唯
17、一决定分布,原因是,首页,积分得,即,令,得,因而,即,（2）决定,（有的定义可知）,一个概率分布可用它的失效率（如果存在的话）来描述。,因此,返回,首页,一、收敛性,第七节 收敛性和极限定理,1概率1收敛（或几乎处处收敛）,如果,随机变量序列 以概率1收敛于X，或称 几乎处处收敛于X，记作,则称,首页,如果,2均方收敛,对于所有的 有,随机变量序列 以均方收敛于X，记作,且,则称,首页,如果,3依概率收敛,对于任意给定的正数，有,随机变量序列 依概率收敛于X，记作,则称,首页,如果,4依分布收敛,设，分别为随机变量 及X 的分布函数,随机变量序列 以分布收敛于X，记作,则称,对于的每一个连续点x，有,首页,（1）若 均方收敛，则 必为依概率收敛；,收敛性之间的关系,（2）若 以概率1收敛，则 必为依概率收敛；,（3）若 依概率收敛，则 必为依分布收敛。,均方收敛与以概率1收敛不存在确定的关系。,注,二、极限定理,1强大数定理,如果 独立同分布，具有均值，则,首页,2中心极限定理,如果 独立同分布，具有均值 与方差，则,注,若令，其中 独立同分布,则,强大数定理 表明 以概率1收敛于；,中心极限定理 表明当 时，有渐进正态分布。,首页,
