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1、第十七章 量子力学基础,第五篇 量子力学基础,内容结构,1.由光量子观念的深入理解，认识到微观粒子的波粒二象性及波粒二象性的数学表述不确定关系2.由微观粒子波粒二象性观念，建立描述微观粒子波粒二象性的动力学方程薛定谔方程3.对薛定谔方程作初步应用，包括求解一维无限深势阱、势垒贯穿、氢原子理论。4.通过氢原子的量子理论，对原子中电子存在状况有一个清晰认识。,17.1.微观粒子的波粒二象性,预备知识 1.物理对象具备波动性或粒子性的判据2.光本质的发展简史牛顿的光的“微粒学说”惠更斯“光的微粒学说”,一德布罗意物质波观念,1.德布罗意物质波观念的内涵,目标：物质微粒的粒子特性(能量、动量)与波动特
2、性(波长、频率)用数学函数联系起来,A.借助爱因斯坦光量子理论，得到能量与频率的普遍关系函数,B.得到动量与波长的关系,2.关于物质波观念的讨论,(1).物质波观念的物理图象,哥本哈根正统学派的波恩解释 A.物质波的本源是粒子 B.粒子的波动性体现为一种空间运动的或然性 C.微观粒子的运动不遵守Laplace机械决定论,(2).物质波数学定义式中能量的含义,物质微粒的能量是指其总能量，而不是粒子的动能只有粒子低速运动情况下，可以用粒子动能近似代替粒子总能量,例：设电子的总能量可写为,推算：物质波波长计算公式；并得到粒子低速运动情况下的近似计算公式,解：由狭义相对论,当时,(3).量子体系与经典
3、体系的界限,作用量：称与mrv有相同量纲的物理量为系统作用量,由量子条件,当微观粒子的作用量与h可相比拟时，微观粒子有明显的波动现象。该系统称为量子系统反之，称为经典系统,例：对氢原子，由上一章讨论可知，其作用量为h的整数倍，具有与h相比拟的作用量，因而氢原子中的电子能显示出明显的波动特性或量子特性,例：分别计算微尘：m1=10-15kg，v1=10-2m/s；小球：m2=10-3kg，v2=10-1m/s；电子：m3=9.1110-31kg，v3=5107m/s的德布罗意波长,解：,二德布罗意波的实验验证,1.戴维逊革末实验,实验现象：集电器电流强度随电压单调增加而作周期性变化，且呈现的周期
4、变化满足布拉格公式,理论分析,对镍单晶，d=0.91 实验时，=65，U=54V理论波长：1.67 实验波长：1.65,17.2.不确定关系,一不确定关系与波粒二象性的关系,描述粒子运动的理论都离不开位移、速度、加速度、动量、角动量等这几个物理量，要全部抛开这些物 理量建立新理论是困难的 描述粒子波动形时，继续采 用上述物理量，但这些物理 量不再具有经典物理中的轨 道物理含义,二不确定关系的内涵,1.不确定关系的特例说明,忽略次极大时，电子在x方向动量范围,电子在x方向动量不确定度,考虑次极大时，电子在x方向动量不确定度,结合单缝衍射第一级暗条纹出现位置的条件,以及德布罗意波,有,2.不确定关
5、系,典型特例表示方法,一般表述方法,严格表示方法,讨论(1).不确定关系是微观粒子波粒二象性的直接结果，是微观粒子的内禀属性(2).量子力学中任何一对广义动量与广义坐标之乘 积都满足不确定关系(3).不确定关系的本质含义是：任何一对广义动量 与广义坐标在理论上不可能同时具有确定值(4).不确定关系只有在量子系统中才明显表现出来,三 不确定关系的应用举例,1.不确定关系适用的条件,例：设小球质量m=10-3kg，速度v=0.1m/s，位置的不确定度为x=10-6m 求：(1).小球的作用量；(2).小球动量、速度不确定度,解：(1).作用量,(2).由 可得,说明：对作用量远大于h的经典物理系统
6、，广义动量与广义坐标是可以被同时精确测定,例：原子中电子的质量me=9.110-31kg，氢原子的半径为10-10m数量级 求：(1).氢原子中电子的作用量；(2).测量电子速度时的不确定度,解：(1).作用量,(2).由 可得,说明：作用量与h相当的量子系统，不确定关系将起很重要作用，此时，不能再用经典理论讨论物理系统的运动规律,例：显象管中电子运动速度为107m/s数量级，电子束横截面尺寸为10-4m数量级 求：(1).显象管中电子的作用量；(2).电子横向速度的不确定度,解：(1).作用量,(2).由 可得,说明：不能单纯以物理对象是否十分“微小”来判定该系统属于经典系统或量子系统，而必
7、须依据其作用量是否与h相当来判定,2.不确定关系在估算物理量中的应用,例：用不确定关系，估算氢原子中可能有的最低能量,解：不计原子核运动时，氢原子的能量就是原子中电子的能量,取,因,将上式代入能量表达式,求极值,例：利用不确定关系估算谱线的自然宽度，取t10-8s,解：能级宽度：原子中电子的能级有一个宽度电子寿命：电子在每一个能级上停留的时间宽度谱线的自然宽度：电子在能级间跃迁时的频率宽度,17.3.波函数,思路：自由粒子运动规律以平面波描述用波函数来描述有波粒二象性的微观粒子运动规律,一波函数的引入,1.自由粒子的波函数,设可用平面波波函数来描写自由粒子的波动行为,2.一般粒子的波函数,对任
8、意微观粒子，描写其波粒二象性的波函数有更复杂的形式。称描写微观粒子波动性的函数为波函数,二 量子力学中波函数的基本特征,1.波函数必须是复数波函数形式2.波函数的统计解释例：分析光的双缝衍射实验，并说明玻恩统计解释 的基本观点,A.当光的强度很强时，干涉条纹应该理解为大量等能量光子在屏幕上出现位置的统计结果,B.当光的强度很弱时(弱到光子一个一个地通过双缝)，干涉条纹应理解为单个光子通过双缝后在屏幕上出现在某一点的几率。C.在机械波中，振幅的平方代表波动的强度，因此，量子力学中的波函数模之平方应当代表光子出现在屏幕上某点的几率D.如果双缝衍射的不是光子，而是其它量子微观粒子，上述分析也成立,(
9、1).波恩的统计解释,量子力学中波函数不代表任何实在形式的物质波；有物理意义只是波函数的模之平方代表粒子在空间某点出现的几率,(2).几率波的数学表述,说明：A.给波函数乘上一个常数后，并不影响波函数代表离子在空间出现几率相对强弱的分布,B.量子力学中，波函数应该满足归一化条件(自由粒子平面波函数例外),数学表述,归一化波函数可以写为,C.由量子力学中波函数的统计解释，波函数可以相差一个相位因子,D.几率密度,3.量子力学中波函数应该满足标准条件,波函数的标准条件是：单值、连续、有限,4.量子力学中波函数应当满足态叠加原理,态叠加原理：(1).如果1、2分别是粒子存在的一个可能状态，那么，它们
10、的线性叠加12也是粒子的一个可能状态；(2).当粒子处于1和2的线性叠加态时，微观粒子同时处于1和2态,说明：出现交叉项是由于引入复数波函数的结果,各粒子出现的几率为：,17.4.非相对论薛定谔方程,一 建立薛定谔方程的限制条件,1.动力学微分方程的解必须是线性的2.微分方程中的系数不应包含状态参量,二非相对论的薛定谔方程,1.一维自由粒子非相对论的薛定谔方程,一维自由粒子非相对论的波函数为,对时间求一次导数,再由非相对论动量、能量关系式,同时考虑到非相对论自由粒子,对空间求二次导数,于是,2.非相对论的薛定谔方程的一般形式及讨论,对于一般的在势能场中的粒子，其薛定谔方程只需要将上述步骤中的能
11、量由自由粒子的动能推广为粒子的总能量，就可得到一般粒子的薛定谔方程,引入符号,则薛定谔方程可以写为,这便是一般形式下的薛定谔方程,讨论(1).薛定谔方程反映量子微观粒子体系的运动规律(2).如果量子微观粒子体系的势函数不含时间变量t，对应的薛定谔方程可以写为定态薛定谔方程,其中,例：一维无限深势阱问题解：束缚态：量子粒子在保守力场下被限制在一定空间范围内的状态，称为束缚态,由定态薛定谔方程，可得一维无限深势阱的定态薛定谔方程为,令,微分方程为,其通解为,考虑到波函数在边界点上应连续，有,波函数为,（0 xa）考虑归一化条件,于是归一化波函数为,本征能量,讨论A.一维无限深势阱的波函数实际上为驻
12、波解B.一维无限深势阱中的微观粒子并不在势阱中各点均匀出现,C.一维无限深势阱中微观粒子的能量只能取分离值，标志能量是量子化的，且与n相关。称这些分离能量值为能量的本征值 D.微观粒子的最低能量称为它的基态能量。一维无限深势阱中粒子的基态能量不为零，称为零点能,例：设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深方势阱中求：(1).粒子在0 xa/4区间中出现的几率，并对n=1和n=的情况算出概率值(2).在哪些量子态上，a/4处概率最大？,解：(1).粒子在0 xa/4区间中出现的几率,已知粒子定态波函数,概率密度,粒子出现在0 xa/4区间中出现的几率,n=1时,n=时,(2).在哪些量子态上
13、，a/4处概率最大,例：一维方形势垒与隧道效应问题 自学,17.5.量子力学对氢原子的描述,一 氢原子的定态薛定谔方程与求解,1.氢原子的定态薛定谔方程,在球坐标系下，薛定谔方程为,分离变量运算，可得到如下三个方程,其中，ml为待定系数,2.氢原子的定态薛定谔方程的解,通过繁杂的数学求解，可以得到以下结论,(1).能量量子化,在上述条件限制下，可得氢原子能量的本征值与径向本征函数,能量本征值,*径向本征函数,量子力学得到的氢原子能量本征值与玻尔理论给出的能量本征值是相同的径向波函数与量子数n,l同时相关，表明相同n，不同l，氢原子中电子运动状态是不相同的，但这些运动状态却有相同的总能量 对同一
14、个n，有n个电子的不同运动状态 简并态：对物理量，如果不同微观粒子运动状态对应相同的值，称这些运动状态是物理量的简并态简并度：m个不同微观粒子运动状态对应相同的值，称物理量是m度简并的,主能量量子数n(主量子数、能量量子数)：决定能量主要部分的量子数称为主能量量子数,B.量子数与物理模型,相同量子数n的所有轨道(n个)组成同一电子壳层；相同n，不同l的每一个轨道称为一个电子亚壳层,(2).角动量量子化,将已得量子数取值代入分离变量式的第一和第二式并求解，可以得到如下结论,其中，本征函数为缔合勒让德多项式，m为空间量子数(或称磁量子数)，取值范围,讨论,量子力学中角动量的数学表达式与玻尔理论得到
15、的角动量表达式是不同的，角动量量子数的取值范围也不相同l恒定角动量的分离取值情况，称为角动量量子数 在物理模型上，表示同一能量主壳层分裂为n个不同角动量的“电子亚层”角动量量子数分别取1,2,3,4,5,6,7时，分别称微观粒子处于s,p,d,f,g,h,i等电子状态角动量为矢量，满足平行四边形合成法则,(3).角动量的空间量子化,解分离变量式中的第一式，容易得到以下结论,角动量z方向取值,方向的本征波函数,磁量子数ml的取值范围,讨论,角动量z方向的量子化角动量z方向：磁场方向称为z方向,角动量在z方向不能连续取值，只能取系列可能的分离值，称该现象为微观粒子的空间量子化现象空间量子化的实验证
16、据斯特恩(O.stern)革拉赫(W.Gerlach)实验,(i).实验装置(ii).实验现象(iii).实验现象解释验证了电子轨道的确是空间取向量子化的理论,17.6.自旋量子数、原子中电子的存在状态,一自旋量子数,设用l表示斯特恩革拉赫实验中银原子电子轨道角动量量子数，用s表示电子由于“某种方式的自旋”而具有的角动量量子数，按两个角动量合成规则，总角动量量子数(用j表示)的可能取值为,对每一个总角动量量子数j，又有2j+1各空间字旋取向，每一个自旋取向，对应斯特恩革拉赫实验中的一条黑斑,实验观察到两条银原子黑斑，即j有两个空间自旋取向，由空间量子化理论,讨论单电子自旋角动量单电子自旋角动量的z分量,其磁量子数为,自旋角动量不是电子自旋产生的角动量，现在将它理解为电子的内禀属性，没有经典物理模型与之对应。但是，它作为一种角动量，满足角动量的定义与其它特征 考虑电子自旋后，同一n,l,ml状态的电子，又有两个空间自旋空间取向,
