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1、2023/3/18,1,随机信号通过线性系统的传输,确定信号通过线性系统的传输,希尔伯特变换,确知信号的分析,1,卷积与相关,2,3,4,5,本章内容,2023/3/18,2,确知信号随机信号,周期信号非周期信号,一、信号的分类：,信号和系统分类,二、系统分类,时不变系统时变系统,线性系统非线性系统,2023/3/18,3,1、傅里叶级数,一个周期性信号f(t),只要它满足狄里赫利条件，就可以用傅里叶级数表示，并可以采用三角函数和指数函数两种不同的表示方式。,信号的频谱分析,2023/3/18,4,三角函数形式,实际情况,其中：,0=2/T称为基波，n0称为n次谐波。,2023/3/18,5,
2、指数表示形式,理论分析,其中：,2023/3/18,6,第二种是推导出来的，它将一个频率为n0的正弦波变为n0和-n0两个频率成分的指数函数。这个表示式没有什么物理意义，但是，它作为一种中间运算工具是很有用处的，是常用的一种表达式。,第一种表示式是基本的，各系数都有相应的计算公式，但由于一个频率成分要用相互正交的两项表示，使用起来不方便。,傅氏级数建立了周期信号f(t)时域和频域的相互关系。,两种表达式特点,2023/3/18,7,傅里叶变换,非周期信号不能直接展开成傅里叶级数，但可以把它看成是周期 T 的极限情况。,2023/3/18,8,特例：冲激函数(t),如果频域函数为()，则时域函数
3、为,所以：,2023/3/18,9,特例：时间门函数,特例：频域门函数,2023/3/18,10,特例：三角脉冲,特例：余弦函数,2023/3/18,11,特例：指数函数,右单边指数信号左边指数信号双边指数信号,2023/3/18,12,傅里叶变换性质,2023/3/18,13,傅里叶变换性质,频移特性,2023/3/18,14,能量谱密度和功率谱密度,1、能量信号和功率信号,一个信号f(t)作用在1电阻上，其瞬时功率为：消耗的能量为：平 均 功 率 为：,如果E存在，则f(t)为能量信号，此时平均功率为0。,如果E不存在，而S存在，则f(t)为功率信号。,2023/3/18,15,2.帕什瓦
4、尔定理,1)若f(t)是能量信号，且其傅里叶变换为F()，则有,能量和功率计算的二种计算方法：通过时域/频域函数,2023/3/18,16,帕塞瓦尔定理的意义：,帕什瓦尔定理把一个信号的能量或功率的计算和频谱函数或频谱联系起来了。,帕什瓦尔定理给出一个很重要的概念:能量信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量的连续和；周期性功率信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出来的功率之和。,2023/3/18,17,设f()为f(t)的能量谱密度，代表信号能量沿频率轴的分布状况,设f()为功率谱密度，代表信号功率沿频率轴的分布状况,3、能量密度谱与功率密度谱,2023/3/18,18,功率谱密度
5、和能量谱密度都与振幅-频率特性有关，而与相位-频率特性无关。因此，从功率谱密度和能量谱密度中只能获得信号振幅的信息，而得不到信号相位的信息。,注意：,2023/3/18,19,随机信号通过线性系统的传输,确定信号通过线性系统的传输,希尔伯特变换,确知信号的分析,1,卷积与相关,2,3,4,5,本章内容,2023/3/18,20,三、卷积与相关,1、卷积的定义与性质,给定两函数f1(t)，f2(t)，则,为f1(t)和f2(t)的卷积,b、与冲击函数的卷积,a、卷积的定义,2023/3/18,21,(1)时间卷积定理,即 时域的卷积对应频域的乘积,(2)频率卷积定理,即 时域中乘积对应频域的卷积
6、,卷积定理,2023/3/18,22,设 为时域内搜索f1(t)、f2(t)两波形相关程度的独立参数，则 记做两函数的互相关函数。,功率信号：,周期为T的信号：,能量信号：,2、相关的定义与性质,2023/3/18,23,如果两个信号的形式完全相同，即f1(t)=f2(t)，则互相关函数就变成自相关函数R()。,对于能量信号,对于功率信号,2023/3/18,24,1)若对于所有的 说明两函数不相关；,2)互相关函数不满足交换率；,3),1),=0时，两波形在时间上完全重和，故相关性最好，R(0)为最大；,自相关函数的性质,互相关函数的性质,2023/3/18,25,3),能量信号，总能量,功
7、率信号，平均功率,4)周期信号的自相关函数也是周期性的，而且是同周期的。,2023/3/18,26,3.自相关函数与密度谱的关系,1)能量信号的自相关函数与其能量谱密度互为傅里叶变换对；,2)功率信号的自相关函数与其功率谱密度互为傅里叶变换对。,2023/3/18,27,随机信号通过线性系统的传输,确定信号通过线性系统的传输,希尔伯特变换,确知信号的分析,1,卷积与相关,2,3,4,5,本章内容,2023/3/18,28,希尔伯特变换的物理意义是将信号f(t)的所频率成分都相移90o，而幅度保持不变。具有这种特性的网络称之为希尔伯特滤波器。,希尔伯特变换的物理意义,2023/3/18,29,希
8、尔伯特滤波器幅度-频率和相位-频率特性,2023/3/18,30,1.余弦函数的希氏变换为正弦函数；2.低通信号与余弦函数乘积的希氏变换为该函数与正弦函数的乘积。,结论：,希尔伯特变换特例,2023/3/18,31,随机信号通过线性系统的传输,确定信号通过线性系统的传输,希尔伯特变换,确知信号的分析,1,卷积与相关,2,3,4,5,本章内容,2023/3/18,32,如果输入为f(t)，输出为g(t)，那么线性时不变系统有如下特性：,稳定性：输入有限时，输出亦为有限。,1.线性时不变系统的基本特性,2023/3/18,33,单位冲激信号做为线性系统的激励信号时，系统的响应称作单位冲激响应h(t
9、)；,H()称作传输函数，反映了系统对输入函数的影响。,频域表示法,时域表示法,线性系统,(t),h(t),2、线性系统的传输特性,2023/3/18,34,3、无失真传输系统,式中，K、t0是常数。,y(t)=K f(t-t0),定义：所谓无失真传输，是指信号经过线性系统后，输出信号与输入信号相比较只是有衰减、放大、和时延，而没有波形的失真:,2023/3/18,35,传输函数：,冲激响应：,实际应用中，信号本身的带宽有限。只要求系统在信号带宽范围内满足上述条件即可，常采用理想低通滤波器来描述低通线性系统。,4、理想低通滤波器,2023/3/18,36,1、当t0时，h(t)不等于零；2、在
10、-W和W处，传输特性锐截止。,该滤波器是物理不可实现的，实际采用的滤波器只是近似于理想低通滤波器。,(),-W,t0,0,1,H(),W,2023/3/18,37,5、线性系统响应的密度谱,设输入信号为f(t)，系统的冲击响应为h(t)，输出响应为y(t)，且有：,对于能量信号有,对于功率信号有,通过系统后,结论：线性系统输出响应的能量(功率)密度谱是输入信号的能量(功率)密度谱与系统传输函数模值平方的乘积。,2023/3/18,38,随机信号通过线性系统的传输,确定信号通过线性系统的传输,希尔伯特变换,确知信号的分析,1,卷积与相关,2,3,4,5,本章内容,2023/3/18,39,一、随
11、机过程的概念,两个特征：,是一个随机变量，在每一个时刻上的函数值不是确定的；,是一个时间的函数，每一实现称之为随机过程的样本；,比如：通信机输出噪声波形测量,2023/3/18,40,F1(x1,t1)=PX(t1)x1,一维概率密度函数,一维概率分布函数,随机过程的描述和分析采用统计分析的方法,二、概率分布函数和概率密度函数,N维概率分布函数 N维概率密度函数,在实际当中，我们往往只需要理解其数字特征就够了,为充分描述随机过程，需考虑更多时刻的多维联合的状态,2023/3/18,41,三、随机过程的数字特征,1、均值,2、均方值,3、方差,4、自相关函数,直流分量,总平均功率,交流功率,统计
12、平均,时间平均,2023/3/18,42,设X(t)，如果其n维概率密度函数或分布函数与时间无关，即满足 pn(x1,x2,x3xn,;t1,t2tn,)=pn(x1,x2,x3xn,;t1+,t2+tn+,)则称该过程为平稳随机过程。如果上式仅对某个n值成立，则为n阶平稳随机过程，对所有n成立，则为严平稳随机过程(狭义平稳过程)。,如果仅满足,p1(x1,;t1)=p1(x1,;t1+)=p1(x1,;0)=p1(x1),p2(x1,x2;t1,t2)=p2(x1,x2;t1+,t2+)=p2(x1,x2;),则称为广义平稳随机过程。,四、平稳随机过程,1、定义,2023/3/18,43,由
13、以上广义平稳的条件可以推出：,即：广义平稳随机过程的判断转换为对其数字特征的判断。,仅与时间差有关,与时间无关,2023/3/18,44,高斯随机过程在通信中应用的最为广泛，其一维分布服从正态分布。它的一维概率密度函数为：,五、高斯(正态)随机过程,2023/3/18,45,六、瑞利分布与莱斯分布,正态分布噪声的包络服从瑞利分布。,正弦波加正态分布噪声的包络服从瑞利分布。,2023/3/18,46,六、平稳随机过程的功率密度谱,随机信号不能用确切的时间表达式表示，故也无法用频谱来描述，它属于功率信号，所以通常用功率谱来描述。,与确知信号有着同样的关系,平稳随机过程的功率谱密度和自相关函数互为傅里叶变换对。,2023/3/18,47,1、数字特征,七、平稳随机过程通过线性系统,平稳随机过程通过线性系统后的输出至少是广义平稳的。,即：随机过程通过线性系统，其输出功率谱是输入功率谱和传递函数模值的平方的乘积。,2、功率谱密度,Thank You!,Copyright 南京航空航天大学信息科学与技术学院,
